向量的直角坐标运算.doc

向量的直角坐标运算
【教学目标】
1. 理解平面向量的坐标表示，掌握平面向量的坐标运算．
2. 能够根据平面向量的坐标，判断向量是否平行．
3. 通过学习，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辩证思维能力．
【教学重点】
平面向量的坐标表示，平面向量的坐标运算，根据平面向量的坐标判断向量是否平行．
【教学难点】
理解平面向量的坐标表示．
【教学方法】
本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法，教师可以充分发挥学生的主体作用，开展自学活动，通过类比、联想，发现问题，解决问题．引导学生分析归纳，形成概念．
【教学过程】
环节
教学内容
师生互动
设计意图
导
入
a
O
x

y
A(a，b)
1．平面内建立了直角坐标系，点A可以怎么表示?

2．平面向量是否也有类似的表示呢?
3．平面向量基本定理的内容是什么?
教师提出问题．
学生回忆解答．

为知识迁移做准备．

新
课

O
x
y
e1
e2
a1 e1
a2 e2

a

新
课

新
课

新
课

新
课

新
课

新
课

1．向量的直角坐标
在直角坐标系内，我们分别：
(1) 取基向量: 取与 x 轴和y 轴的正方向相同的两个单位向量e1，e2作为基向量．
(2) 得到实数对：任作一个向量a， 由平面向量基本定理，有且只有一对实数a1，a2，使得a＝a1e1＋a2e2，我们把(a1，a2)叫做向量a 的坐标，记作
a＝(a1，a2)， ①
其中a1 叫做a 在x轴上的坐标，a2 叫做a 在y轴上的坐标．e1，e2叫做直角坐标平面上的基向量．
①式叫做向量的坐标表示．

探究：
（1）如图，e1，e2是直角坐标平面上的基向量，你能写出0，e1，e2的坐标吗？
y

e2

x
O
e1

e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，0＝(0，0)．
（2）向量的坐标与点的坐标之间有何关系？
e2
e1
O
A(x，y)
x
y

x
y

设点A的坐标为(x，y)，则
＝xe1＋ye2＝(x，y)．
即点A的位置向量的坐标(x，y)，也就是点A的坐标；反之，点A的坐标也是点A相对于坐标原点的位置向量的坐标．
例1 如图，用基向量e1，e2分别表示向量a，b，c，d，并求出它们的坐标．
－1
e1
e2
a
x
y
O
1
2
3
1
2
3
－2
－3
－1
－2
－3
b
d
c

解 由图可知
a＝3e1＋2e2＝(3，2 )，
b＝－2e1＋3e2＝(－2，3)，
c＝－2e1－3e2＝(－2，－3)，
d＝2e1－3e2＝(2，－3)．

2．向量的直角坐标运算
(1) 如果 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则
a＋b＝(a1，a2)＋(b1，b2)
＝(a1＋b1，a2＋b2)；
a－b＝(a1，a2)－(b1，b2)
＝(a1－b1，a2－b2)；
λa＝λ(a1，a2)＝(λa1，λa2)，
其中 λ 是实数．
证明
a＋b＝(a1，a2)＋(b1，b2)
＝(a1e1＋a2e2)＋(b1e1＋b2e2)
＝a1e1＋b1e1＋a2e2＋b2e2
＝(a1＋b1) e1＋(a2＋b2) e2
＝(a1＋b1，a2＋b2)．
请同学仿照上面的证明，自己证明其他两个结论．
上述向量的坐标运算公式，也可用语言分别表述为：
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差；
数乘向量积的坐标等于数乘上向量相应坐标的积．

例2 已知 a＝(2，1)，b＝(－3，4)，求a＋b，a－b，3a＋4b．
解 a＋b＝(2，1)＋(－3，4)
＝(－1，5)；
a－b＝(2，1)－(－3，4)＝(5，－3)；
3a＋4b＝3(2，1)＋4(－3，4)
＝(6，3)＋(－12，16)
＝(－6，19)．

例3 已知A (x1，y1)，点 B (x2，y2)，求的坐标．
解 ＝－
＝(x2，y2)－(x1，y1)
＝(x2－x1，y2－y1)．
x
y

o

B (x2，y2)

此结论可用语言表述为：
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的相应坐标．

练习一
1．已知a，b的坐标，求a＋b，a－b：
(1) a＝(4，3)，b＝(－4，8)；
(2) a＝(3，0)，b＝(0，4)．
2．已知 A，B 两点的坐标，求 ， 的坐标：
(1) A(－3，4)，B(6，3)；
(2) A(－3，6)，B(－8，－7)．

例4 已知A (－2，1)，点 B (1，3)，求线段AB中点M的坐标．
A
M
B
x
O
y
1
1

解 因为
＝－
＝(1，3)－(－2，1)＝(3，2)；
所以
＝＋
＝＋
＝(－2，1)＋(3，2)
＝(－，2)．
因此M(－，2)．

3．用向量的坐标表示向量平行的条件
复习：
（1）平行向量基本定理：如果向量b≠0，则a//b 的充分必要条件是，存在唯一实数λ，使 a＝λb；
（2）数乘向量：已知b＝(b1，b2)，则λb＝(λb1，λb2) ．
问题：在直角坐标系中，向量可以用坐标表示，那么，能否用向量的坐标表示两个向量的平行呢？
探究：设 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，如果b ≠ 0，则条件 a＝λb 可用坐标表示为
(a1，a2)＝λ(b1，b2)，
即

消去 λ，得
a1b2－a2b1＝0．
一般地，对于任意向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，都有
a//b Û a1b2－a2b1＝0．

例5 判断下列两个向量是否平行：
(1) a＝(－1，3)，b＝(5，－15)；
(2) e＝(2，0)，f＝(0，3)．
解 (1) 因为(－1)×(－15)－3×5＝0，所以向量 a 和向量 b 平行；
(2) 因为2×3－0×0＝6≠0，所以向量 e 和 f 不平行．

例6 已知点A(－2，－1)，B(0，4)，向量a＝(1，y)，并且∥a，求a的纵坐标y．
解 由已知条件得
＝(0，4)－(－2，－1)＝(2，5)，
因为∥a，所以
1×5－2×y＝0．
解得y＝．

例7 已知点A(－2，－3)，B(0，1)，C(2，5)，求证：A，B，C三点共线．
证明 由已知条件得
＝(0，1)－(－2，－3)＝(2，4)，
＝(2，5)－(－2，－3)＝(4，8)．
因为2×8－4×4＝0，所以 ∥ ，又线段AB和AC有公共点A，所以A，B，C三点共线．

练习二
1．已知a＝(－3，－4)，b＝(2，y)，并且a ∥b，求y．
2．已知点A(－1，－3)，B(0，－1)，C(1，1)，求证：A，B，C三点共线．

学生阅读课本，讨论并回答教师提出的问题：
（1e1，e2与平面向量基本定理中的e1，e2有什么区别？
（2）向量的坐标与有序实数对之间是什么关系？
教师针对学生的回答进行点评．
教师引导学生学习向量的直角坐标表示．

学生尝试解答．教师针对学生的回答进行点评．

教师提出问题．
师生共同解答．

试一试：在平面直角坐标系xOy中作向量 a＝(1，2)，作有向线段，使得点 A(1，2)，并说明向量a与有向线段表示的向量的关系．

学生讨论求解．

学生阅读课本向量的直角坐标运算公式，在理解的基础上记忆坐标运算公式．

教师对于第一个性质引领学生仔细推导．教师给出具体的证明步骤．

学生可分组讨论证明其他两个公式；
小组讨论后，教师对学生的回答给以补充、完善．
师生共同总结向量的直角坐标运算公式及文字叙述．

教师简单点拨，学生尝试解答a＋b，a－b，3a＋4b．

教师点评，并板书详细的解题过程．

教师出示问题．
学生阅读图形，讨论并回答教师提出的问题：
（1）是哪两个向量的差向量？
（2）和坐标分别为什么？
教师针对学生的回答进行点评．

师生共同总结文字结论．

学生抢答．
教师点拨，学生讨论解答．
老师巡回观察点拨、解答学生疑难．
教师点评，并板书详细的解题过程．

师生共同复习．

教师提出问题．引出探究的问题．

师生共同探究用向量的坐标表示向量平行的条件．教师给出具体的探究步骤．

学生尝试解答．

师生共同解决例5，教师详细板书解题过程，带领学生仔细分析解题步骤．

教师点拨，学生讨论解答．

师生合作共同完成．

问题是为突出本课重点而设计．通过对比教学可以加深学生的印象．通过问题的详细探究，比直接给出说明更符合学生的特点，容易被学生接受．

求特殊向量的坐标，可以加深学生对向量坐标概念的理解，从而提高学生的读图能力．

加深对“向量的坐标与点A的坐标一一对应”这个结论的理解，在向量坐标与原有的点坐标之间架起桥梁，为应用向量知识解决几何问题奠定基础．

通过例1可让学生加深对向量的直角坐标表示概念的理解，从而进一步提高学生的读图能力．

在板书证明的过程中，突出解题思路与步骤．

通过学生讨论，老师点拨，可以突出解题思路，深化解题步骤，分解难点．

巩固理解，形成技能．

可以进一步培养学生的读图，识图能力，培养学生数形结合的思想．

在板书例题的过程中，突出解题思路与步骤．

为知识迁移做准备．

通过例5可让学生加深对向量平行的条件的理解．

通过例6进一步加深学生对向量的坐标表示向量平行的条件的理解．

通过学生讨论、教师点拨，帮助学生顺利证明A ，B，C三点共线．再次巩固用向量的坐标表示向量平行的思路和步骤．

学习新知后紧跟练习有利于帮助学生更好的梳理和总结本节所学内容．有利于教师检验学生的掌握情况．
小
结
1．向量的直角坐标
a＝a1e1＋a2e2＝(a1，a2)．
2．向量的直角坐标运算：
（1） 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差；
（2） 数乘向量积的坐标等于数乘上向量相应坐标的积；
（3）一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的相应坐标．
3．若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则
a∥b Û a1b2－a2b1＝0．
学生阅读课本，畅谈本节课的收获，老师引导梳理，总结本节课的知识点．
梳理总结也可针对学生薄弱或易错处进行强调和总结．
作
业
教材 P49 练习A 组第 1 题(1) (3)，第 2 题(1)(3)；
教材 P51 练习 A组第 3题．

巩固拓展．