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第 28 卷 第 1 期 高 师 理 科 学 刊 Vol.28 No.1 2008 年 1 月 Journal of Science of TeachersCollege and University Jan 2008 文章编号：1007-9831（2008）01-0073-04 矩阵的早期发展 董可荣1，2（1.淄博师范高等专科学校 数理科学系，山东 淄博 255100；2.山东大学 数学与系统科学学院，山东 济南 250100）摘要：运用文献综述法对矩阵的早期发展进行分析研究尽管在九章算术中用矩阵形式解方程组已相当成熟，但没有建立起独立的矩阵理论，而仅用它作为线性方程组系数的排列形式解决实际问题直到 18 世纪末到 19 世纪中叶，这种排列形式在线性方程组和行列式计算中应用日益广泛，行列式的发展提供了矩阵发展的条件，矩阵理论才得到进一步的发展 关键词：矩阵；早期发展；矩阵思想；矩阵概念 中图分类号：O151.21 文献标识码：A 在九章算术中用矩阵形式解方程组已相当成熟，但那时仅用它作为线性方程组系数的排列形式解决实际问题，并没有建立起独立的矩阵理论直到 18 世纪末至 19 世纪中叶，这种排列形式在线性方程组和行列式计算中应用日益广泛，行列式的发展提供了矩阵发展的条件矩阵的早期发展，除了矩阵理论在内容上的发展，即从不同领域的研究中发展出来的有关矩阵的概念，以及随之引起的相似、对角化和标准型的矩阵分类以外，还有矩阵发展中更深刻的一面，即西尔维斯特、凯莱等人在行列式和矩阵理论上的发展及思想，这为代数不变量理论的创立奠定了理论基础 1 矩阵早期发展的社会与文化背景 矩阵的早期发展是随着 17，18 世纪生产和科学技术的发展与要求而发展的矩阵概念产生并发展于19 世纪的欧洲，欧洲的社会环境为矩阵的早期发展提供了适宜的舞台在历史上，中世纪（约 395 年-1500年）的欧洲虽然是发展的缓慢时期，但它牢牢地建立在古典著述的基础之上，从古代世界继承了丰富的科学和技术遗产，社会体制也比古代任何一个国家或者东方文明更加自由到了 18 世纪初期，法国随革命及科学的复兴坚定了达朗贝尔（J.dAlembert，1717-1783）、范德蒙（A.T.Vandermonde，1735-1796）、拉格朗日（J.L.Lagrange，1736-1813）、拉普拉斯（Laplace，1749-1827）、柯西（A.L.Cauchy，1789-1857）等数学家致力于数学的信念，使法国的数学研究走在前列德国继承并发展了革命时期的新数学，相继出现了高斯（C.F.Gauss，1777-1855）、雅可比（J.Jacobi，1804-1851）、艾森斯坦（F.G.Eisenstein，1823-1852）、格拉斯曼（H.G.Grassmann，1809-1877）等数学家，使德国的数学蒸蒸日上而欧洲各国的发展并不平衡英法战争等许多社会的、经济的、政治的因素促成了英国科学的相对缓慢，而英国工业上的成功正始于 18世纪并最终确立于 19 世纪，英国工业的成功是其与科学技术相适应的特点促成的随着向量、四元数、超复数和群的出现，英国在没有外来影响下也对数学的发展做出了贡献，如皮科克（G.Peacock，1791-1858）、布尔（G.Boole，1815-1864）等，并且欧洲大陆的数学思想也渗透在西尔维斯特（J.J.Sylvester，1814-1897）、凯莱（A.Cayley，1821-1895）等人身上，使英国的数学研究扩展开来 矩阵的早期发展是伴随其它理论的研究而产生的矩阵早期的一些重要概念及思想，是独立于矩阵理论自身，从不同领域及思想的研究发展而来，并最终包含在矩阵理论之中数学不同领域的严密逻辑性为矩阵的早期发展作了奠基性的工作在欧洲，早在 17 世纪和 18 世纪初，行列式在解线性方程组中就得到 收稿日期：2007-09-23 作者简介：董可荣（1970-），女，山东沂源人，讲师，在读硕士，从事数学史研究E-mail：sfdkr 74 高 师 理 科 学 刊 第 28 卷 了发展，克莱姆（Gramer，1704-1752）、范德蒙等一大批行列式理论的奠基者做出了重要的贡献18 世纪末，瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler，1707-1783）、拉格朗日、达朗贝尔等都直接或间接地提到过四维或n维空间的概念，拉格朗日在研究二次型化为标准形时，引入了n个变量),(21nxxx?的二次型19 世纪，柯西、雅可比、凯莱等进一步推动了行列式的形成和发展在行列式理论与应用发展的同时，矩阵理论以及与之相联系的线性空间、线性变换的理论也蓬勃地发展起来 从 19 世纪初代数只不过被看作符号化的算术，不象在算术中对具体的数进行运算，到英国数学家皮科克最先研究代数结构，并于 1830 年发表 代数论著，短短三十几年的时间，就使得在算术代数与符号代数之间作出区别格雷戈里（D.F.Gregory，1813-1844）于 1840 年在论文（On the real nature of symbolic algebra）中清楚表明代数的交换律与结合律，1843 年爱尔兰数学家哈密顿（W.R.Hamilton，1805-1865）发明了不符合乘法交换律的代数这种不可交换的非常规代数的发现，揭开了欧洲数学家们对代数中新的存在结构的研究开端，使代数学从传统的实数系代数中解放出来1844 年，格拉斯曼发表名著张量演算，一般性地发展了哈密顿的四元数代数，由此说明n维空间的概念已成为一个脱离空间直观的纯数学概念 哈密顿和格拉斯曼等发表了意义深远的成果，导致了代数学转向抽象空间，促进了抽象代数的发展 2 18 世纪末 19 世纪初高斯和艾森斯坦等人的矩阵思想 2.1 二次型理论研究中孕育的矩阵思想 从 18 世纪末到 19 世纪初，数学家们对矩阵的阵列形式是用二次型的形式来表示的，对矩阵理论的发展及思想的形成是渗透在二次型理论中的1773 年164，拉格朗日将齐次多项式的表达式222rzqyzpy+通过线性代换+=+=nxmszNxMsy，变换成222RxQsxPs+，其中222)(NmMnqprQPR=1801 年高斯出版算术研究，将欧拉、拉格朗日的二次型理论进行了系统的推广过程如下：一整数n表示成整数a，b，x，y的形式，设ncybxyaxyxF=+=222),(，令+=+=yxyyxx，则 F 变换成一个新的形式222),(ycyxbxayxF+=，其中222)(=acbcab，F的系数依赖于 F 的系数和变换本身1高斯指出如果F通过另一个变换+=+=yxyyxx变成F ，那么这 2 个变换的复合就是一个把F变成F 的新的变换+=+=yxyyxx)()()()(，这个新变换的系数矩阵是原来的 2 个变换的系数矩阵的乘积高斯在研究三元二次型222222FzEyzDxzCyBxyAx+时，演算了一个类似的计算过程166，这实际上给出了 33 矩阵相乘的法则 在这里高斯把变换的系数写成矩阵阵列的形式，甚至用单个的字母S指代一个特殊的变换，但是没有明确指出这种复合的思想就是乘法 2.2 微分方程研究中孕育的矩阵思想 18 世纪，物理问题促进了微分方程的研究，微分方程成为一门独立的学科到 18 世纪中期，微分方程的求解成为微分方程课题的目标在微分方程中对解的问题的研究渗透了矩阵的一些概念二阶常微分方程早在 1691 年就在物理问题中出现了2235最初，数学家们用一个没有积出的积分来表示解，然后寻求把解表成积出形式，同时寻找用有限个初等函数来表示解在达朗贝尔的从 1743 年到 1758 年的著作中，对二阶微分方程组)3 ,2 ,1(0dd3122=+=iyatykkiki进行了探讨3535为了解这个方程组，对个方程分别乘上一个常量iv，而后加在一起得=+31)3 ,2 ,1(0ikikikvav，即如果),(321vvv是矩阵)(ikaA=相应于的特征向量，那么变换332211yvyvyvu+=就把方程化简成单个的微分方程0dd22=+utu在化简的过程中孕育了特征向量、特征值等概念 1815 年，柯西对)3 ,2 ,1(0dd3122=+=iyatykkiki作了进一步的研究，他的研究过程孕育了对称矩阵、特征方程、正交变换等概念柯西是受二次曲面的启发通过二次型的化简进行了研究柯西把一个中心在第 1 期 董可荣：矩阵的早期发展 75 原点的二次曲面用一个方程kzyxf=),(给出，这里f是一个二次型，然后需要找到一个坐标变换使f变成一个只含平方项的形式1829 年，柯西找到变量的线性变换，使矩阵在这个线性变换的作用下是对角化的，并把这个问题推广到了有n个变量的二次型中，其系数可写成一个对称矩阵3537例如，二元二次型222cybxyax+定义了 22 的对称矩阵cbba 在寻找把222),(cybxyaxyxf+=转化成平方和形式的线性变换的过程中，柯西得到 2 个方程=+xbyax，=+ycybx，可以写成方程组=+=+0)(0)(ycbxbyxa，柯西得出只有当行列式等于 0 的时候，这个方程组才有非平凡解，即0)(2=bca，在后来的矩阵理论中，这个等式就是特征方程 det（IA）=0在弄清特征方程的根是如何把一个矩阵对角化的过程中，柯西用变量的线性替换+=+=vyuyyvxuxx2121得到的二次型是2221vu然后证明了所有对角矩阵的特征向量（至少在不等的情况下）都是实的，并且矩阵可以通过正交变换而对角化1829-1830 年，柯西第一次证明了实对称矩阵的特征根是实数419 2.3 行列式计算中孕育的矩阵思想 在行列式的发展史上，第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述的，是法国数学家范德蒙继范德蒙之后，在行列式的理论方面做出突出贡献的就是柯西1812 年，柯西先后用S（nnaaaa?332211）、S（nnaaaa.3.32.21.1?）表示行列式nnnnnnaaaaaaaaa.2.1.22.21.2.12.11.1?，他第一次用双下标sra.表示sra1，两条竖线是凯莱在 1841 年引进的1815 年，柯西发表了一篇关于行列式理论的基础性文章4，给出了系统的一般行列式乘法定理，证明了新组的行列式是原来 2 个组的行列式的乘积，即jijijibac,=，这里jia,和jib,代表n阶行列式，jknkkijibac,1,=在这篇文章中他用缩写的记号（na,1）代表称之为“对称组”的矩阵：nnnnnnaaaaaaaaa,2,1,22,21,2,12,11,1?1843年，高斯的学生艾森斯坦用明确的符号TS来表示2个变换S和T的复合 这些内容写在 1844 年他的一篇讨论三次型的论文中关于这个记号，艾森斯坦写道3537：“顺便地，在它的基础上可以建立一个算法，其中包括把乘除法以及乘幂的一般运算规则应用到两个线性方程组的符号方程上正确的符号方程总是可以得到，它思考的中心问题是因子的顺序，即方程组复合的顺序往往不可以改变”，艾森斯坦这里所说的变换的一般运算规则实际上是矩阵的运算法则，并指出矩阵运算不符合交换律 3 19 世纪中叶西尔维斯特等人促进了矩阵概念的形成 关于矩阵的一些基本概念与结论很早就已经知道了，但都只是给出矩阵的排列形式没有明确给出矩阵概念这就是说“在逻辑上，矩阵的概念先于行列式的概念，而在历史上次序正相反”5208但是，矩阵的这种排列形式在行列式计算中的广泛应用，在线性方程组求解过程中的日趋简化，为矩阵概念的形成和发展提供了有利的条件，因为一方面在矩阵引进的时候行列式的基本性质就已经清楚了，另一方面行列式的应用为矩阵的发展提供了工具，从而使矩阵理论得到进一步的发展 继柯西之后，在行列式理论方面最多产的是雅可比1827 年雅可比给出结论：斜对称矩阵的秩是偶 数4261846 年凯莱给出了对称矩阵与斜对称矩阵的概念45交换 A=（sra.）的行与列得到矩阵（rsa.）称为 A 的转置矩阵，记作TA，若AA=T，则称 A 是对称矩阵；若AA=T，则称 A 是斜对称矩阵特征方程的概念隐含地出现在欧拉 1748 年的著作中，拉格朗日在其关于线性微分方程组的著作中首先明确地给出了这个概念，拉普拉斯在同一领域的著作中也出现了这个概念特征方程这个术语出现在柯西 1840 年 76 高 师 理 科 学 刊 第 28 卷 的文章中5203 西尔维斯特在矩阵的早期发展中做出了重要的贡献矩阵（Matrix）一词是由西尔维斯特最先使用的1850 年，他在研究方程的个数与未知量的个数不相同的线性方程组时，由于无法使用行列式，所以引入了矩阵6西尔维斯特创造矩阵一词来表示“一项由m行n列元素组成的矩形阵列”1855 年，凯莱注意到在线性方程组中使用矩阵是非常方便的，因而引进矩阵以简化记号 7 他用=),(?),(?zyx 表示方程组?+=+=+=+=zyxzyxzyx，继而把方程组的解用矩阵的逆来表示凯莱接着给出零矩阵、单位矩阵等概念1858 年，凯莱发表重要文章矩阵论的研究报告，用单个的字母表示矩阵，给出矩阵相等、相加、相乘的定义和规则5209 4 结论 从 18 世纪开始，物理等自然科学的研究领域给予数学以新的推动力，为矩阵这一工具的早期发展提供了外部源泉整个 18 世纪和 19 世纪初的数学工作，远较其他世纪更为受到物理问题的激励，数学工作的目标被认为就是求解物理问题，数学只是物理的一个工具 因此，大多数数学家并不关心数学的严密性，非常热衷于扩大数学的应用，而很少阐明其数学来源到了 19 世纪中期，一些数学家包括雅可比、达朗贝尔、凯莱、西尔维斯特8等对证明的考虑更少，数学家们所关心的是数学对其它领域的贡献，没有注重在贡献概念的同时对思想渊源的概括和抽象，所以我们看到了西尔维斯特在著名的结论后面没有给出证明，凯莱有关矩阵结论的错误断言以及凯莱对凯莱-哈密顿定理的不完整证明不难理解，数学在没有逻辑支持的前提下，出现了行列式与矩阵这种不合逻辑的发展但是，数学作为工具在探索宇宙中的贡献，恰恰证明了不同领域的数学家们对数学真理的不懈追求，正是这种非常规的证明思路、逻辑演绎孕育了数学家们的灵感与思想，使得数学原本自然并最终回归自然，才可能为其它领域提供强有力的工具 参考文献：1 Muir，ThomasThe theory of determinants in the historical order of development（4 vols.）MNew York：Dover press，1960：40-66.2克莱因 M古今数学思想（第 2 册）M朱学贤，申又枨，叶其孝，等译上海：上海科学技术出版社，2002：235-236，362.3 冯健中国大百科全书数学M北京：中国大百科全书出版社，2004：535，537.4 Macduffee C CThe Theory of Matrices，ChelseaMNew York：Chelsea Publishing Company，1946：5-26.5 克莱因 M古今数学思想（第 3 册）M朱学贤，申又枨，叶其孝，等译上海：上海科学技术出版社，2002：203-209 6 Sylvester，James JosephThe collected Mathematical Papers（1 vols.）MLondon：Cambridge University Press，1904：145.7 Cayley，ArthurThe Collected Mathematical Papers（2 vols.）MLondon：Johnson Reprint Corp.，1963：185-188.8 克莱因 M数学确定性的丧失M李宏魁，译长沙：湖南科学技术出版社，2000：165.The earlier period development of the matrix theory DONG Ke-rong1,2（1.Department of Mathematics and Physics Sciences，Zibo Normal College，Zibo 255100，China；2.School of Mathematics and System Sciences，Shandong University，Jinan 250100，China）Abstract：Abstract：Studied on the earlier period development of matrix theory by using of the documentary summary and analysiz methodSolving equation groups by matrix form was fairly ripe in“Nine Chapters of Arithmetic”，but it hasn，t built matrix theory independence，and only solving practical problem as permutation form of linear equation groups coefficient.Until the end of the 18th century and the middle of the 19th century，this permutation form used widespread day by day in calculation of linear equation groups and determinant，and the development of determinant provided the condition of matrix development，so the matrix theory had further development.Key words：Key words：matrix；matrix s earlier period；matrix s ideology；matrix s concept