借助几何直观,理解图形翻折与圆锥曲线.pdf

一 数学教学 2 0 1 4 年第4 期 借助几何直观，理解图形翻折与圆锥 曲线 3 1 1 8 0 0 浙江省诸暨市教师进修学校楼可飞 普通高中数学课程标准中提到：在高 中数学教学中，教师的讲授仍然是重要的教学 方式之一，但要注意的是必须关注学生的主体 参与，师生互动 高中数学课程在教育理念、学科内容、课程资源的开发利用等方面都对教 师提出了挑战 在教学中，教师应根据高中数 学课程的理念和 目标、学生的认知特征和数学 的特点，积极探索适合高中学生数学学习的教 学方式应注意几个方面，如：加强几何直观，重视图形在数学学习中的作用，鼓励学生借助 直观进行思考在几何和其他内容的教学中，都应积极倡导借助几何直观，来揭示研究对象 的性质和关系 例如，借助几何直观理解图形 翻折、圆锥曲线等 一、理解图形翻折 把一个平面图形按某一条直线折起，折成 一个空间图形，进而研究图形在位置关系和数 量关系上的变化，这就是翻折问题 图形 的展 开与翻 折是 一个 由抽象 到直 观、由直观到抽象的过程在历年高考试题 中，时常 出现图形翻折问题，重在考查空间想 象能力、动手操作能力，值得重视 1 直线与直线垂直 例 1(2 0 1 2 年浙江省高考(理)第 1 0 题)已 知矩形A BCD，A B=I，B C：、2，将A BD 沿矩形的对角线日D所在的直线进行翻折，在 翻折过程中，有 一f)(A)存在某个位置使得直线 C与直线 BD垂直：(B)存在某个位置，使得直线A B与直线 CD垂直：(C)存 在 某个 位 置，使得 直线AD与 直线 BC垂 直：(D)对 任 意 位 置，三对 直线“C与BD”，“AB与 D”，“AD与BC”均不垂直 分析：在翻折过程 中，需要先弄清楚哪些 元素是运动的、哪些元素是静止的，元素包括 点、线、面、角、距离等 翻折后得到的图形 相当于是一个 以折线为轴的二面角，在二面角 的每个半平面 内，点、线、面、角、距离等都 是不变的，相应的位置关系与数量关系都是不 变的，这是解决这类图形翻折问题的基础 点是最基本的元素 这里点A是一个动点，记为点P，点P在 JE D所在的平面上的射影 P 让教师与学生一起动手操作：当点 翻折 到 BD所 在的平 面时，点 ，它们关于 直线JE 7 D对称，点P 的轨迹是线段，从而得 到P C的轨迹 是 C、A C，如图 2 关于f A)：由“AB=I，BC=、2”，得尸 不垂直于BJ )，则P 不垂直于BD，所 以在翻折 过程 中，任一条直线A C与直线BD不垂直(否 则，若存在点P ，使得尸 _l _ BD又 _l I BD，则B D上 面 A c，得B D上 ，这与BD A C 矛盾)，选项f A)错误 这里用 反证法来解释，事半功倍 关于(B 1：如 图3，由于动点P的两个极端位 置 是 点、，所 以点 P 有 可 能 尸 BC且 2 0 1 4 年第4 期 数学教学,-3 5 PP 上面CBD，这 时P B_ L CD 又P P_ L CD，得C D面BP P，所以 D上 P B，即这时的A B CD，选择(B)J D 关于(c)：如图4，点P 的轨迹是线段A4 ，从 而得 到P D的 轨迹 是AD、D，很 直 观地可 以看到：它们与BC都不垂直，选项(C)错 误 2 直线与平面垂直 例2 在四边形 BCD中，AB=BC=2，AB：3 0。，A D：2 DC现把AA CD沿着 边A 翻折，求所得到的四面体A B D体积的 最大值 分析：如图5，在翻折前、翻折后，哪些元 素发生 了变化?哪些元素不发生变化?AA BC没有变化，A C=2、3，面积S A A B C =三 2 2 s i n 1 2 0。：、3 。匕=：C C 图 5 在四面体A BC D中，设DD1 上 面AB C，垂 足为点D 1，则体积V A B C D=去 s A B a D D 1=DD1 T DD1 的最大值 在翻折过程中，点D为动点，直观地可以看到：点D1 落在直线 AC上 时DD1 有 最 大 值，这 时DD1 J _ j ABC，面A D上面 CB 在 AAC D中，点D本身是个动点，但动 中有静：A D=2 DC，点D的运动轨迹为圆周 若以直线 为 轴、以线段 的垂直平分线 为Y 轴建立坐标系，点(一 ，0)、(0)设 由丽I D A 即 -2 j 整 理 得，(一 )=(、1 ，它 J J 表示 为E-35-，0)，半 径 为 R=的 圆 一 0 C E 图6 在四面体中，点 D的运动轨迹为球，DD R，得四面体体积的最大值V A B C D=DD1 ，3 4 43 4 一3 丁=3 平面与平面垂直 例3(2 0 0 9 年浙 江省 高考(理)第1 7 题)如 图 7，在长方形ABCD中，AB=2，BC=l，点 为DC的中点，点F为线段EC(端点除外)上一 动点现将AF D沿 F 折起，使平面A BDj-平面 J E ，在平 面 J E D内过 点D作D 上 B，点 为垂足 设A K=t，则t 的取值范围是 分析一：设点D关于直线A 的对称点为 点 D ，则点 K DD，如图8 令 DF=m，1 仇2 ADA KAF DA，而A D=丽AK，1 =1，得 0 例 4 如 图1 0，B是一条长度 为定值的 平面Q 的斜线段，点B为斜足若点P在平面内 运动 使得A BP的面积为定值，则动点P的 轨迹是 f 1 分析二：如果我们能动手实践：折纸，则本 题可 以较 快 地解 决 如 图7 所 示，给 出一 张长 2 0 c m 宽 1 0 c m 的长方 形纸 当ADE沿 着 A E拆叠时，A K=I；如图9 当 AAD C沿着 折 叠 时 由J E 上 B 面 BD上面 B，得 _ l-面 D JE 上 BD，所以JE D=、3 在 z S ADB中，由AB2=AD2+DB2，得 J )上DJ E 7 又D 上 B，得 D =A K A JE ，得=去，1 Z 所以妄t 1 n C 图 9 说明：这里体现了极端性原则的思想 点 F的两个极 端位 置是 点E、点，折叠 线AF的 两个极端位置是AE、C 二、理解圆锥 曲线 圆、椭圆、双 曲线、抛物线都属于平面 图形，仅运用平面几何的知识和研究方法很难 研究透彻 解析几何学科的特点和优越性在这 个研 究 过程 中可 以得 到 强烈 的显 现为什 么 椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥 曲线?用一 个平面截圆锥，当截面与圆锥的轴夹角不同时，可 以得 到不 同的截 口曲线，它们 分别是 圆、椭 圆、双 曲线、抛物线 理解数 学概 念 首先 从定义 入手当看到 一个动 点到两个定 点的距 离之和为定长 时，学 生能否联 想到 圆锥 曲线 的定义，教师 的引 导和 点拨则是关键 如何理解直线与圆锥曲线的位置关系?如 直线与圆锥 曲线相交，从形的角度直观地看 到，直线与圆锥 曲线恰好有两个公共 点：从数 的角度看，将直线的方程代入圆锥曲线的方程，(B)椭圆；(D)两条直线 分析：设点 P IJ AB的距离为 h，J J AABP 的 面 积=每 ，得 为 定 值，这 说 明 动 点 尸 在 以A日为轴，半径 为定 值 的 圆柱 的表 面上，平 面 相当于一个不垂直于 h AB的截面，如图 1 1，所以截口为椭圆，选择(B)图 1 0 图 l 1 例5(2 0 1 2 年上海市高考(理)第 1 4 题)如 图 1 2，AD与B 是 四 面 体 B D中 互 相 垂 直 的棱，=2 若 D=2 c，且+J E D=+=2 0，其中a、c 3 O 常数，则四面体 B D 体积的最大值是 分析：AD=2 c 说 明线段 AD 的长度 是定 值，可 以先固定线段 AD如何理解“AB+BD=AC+CD=2 a”?说明：点B到两定点A、D 距离的和为定值2 n，点 到两定点A、D距离的 和为定值2 n，联 想到椭圆的定义，动点、在 以 、D为焦点的椭圆上，不过动中有静：BC =2 其实，这里涉及的是空间问题，应理解为：动 点、C在 以、D为焦点 的椭球 上，不过动 中有静：BC=2，如图l 3 D 图 1 2 D C 图 l 3 (下转g4-4 5-)2 0 1 4 年第4 期 数 学教 学 5 图4 点评：生物遗传学中需要扎实的概率论知 识，全 概率 公 式 是高 中数 学 大纲 之外 的 内容：欧拉公式在研究有机物分子结构中有重要的应 用，但在各版本的高中数学教材中大多不属于 必修内容 3 数理结合比较思想方法 数学发展史表明，很多数学问题来源于人 们对 自然 界的客观现象 的研 究 数学与理科有 很多共同的思想方法，比如苯的结构的发现过 程中体现 了“对称性”思想的精髓 用理科相关 原理和 数学方法解 决同 一个数学 问题，并对这 两类方法 加 以比较，定 能使 学生对 相关 思想 方 法产生深刻的体会 下面的例子是圆锥曲线的 光学性质：例 8 f 2 0 0 1 年 复旦 大 学 自主 招 生 笔试 试 题1求 证：从椭 圆一 一 个 焦点发 出的光线 经椭 圆 反射后必经过另一焦点 解：(物理方法)在 同一介 质 中，光线在 两 点 间的实际路径是使光程为极值 的路径 记两个焦点分别为 F】、，、B 是椭圆 上任意两点，由椭圆定义知，光在 F 1、F 2 两点(上接 第4 3 6 页)由于AD上 JE ，则B 应在椭球中与轴A D 垂 直 的 圆周平 面上，设 此 圆周平 面与AD交 于 点(=)】01 EBC，垂足为点E，则B(二)】的面 积S A B O 1 C=妄 B C 0 1 E=0 1 E，四面体 ABCD体积1 1 V A B C D=S a B O】C A D=言 o 1 E 2 c 在线段BC所在的圆面上，弦心距O 1 E=、直观地可以看到，与轴A D垂直的 圆面有无数个，在这些相互平行的圆面中，存 在半径最大的圆面，即是椭球中过A D中点(二)、且 与轴AD垂直 的 圆面，这个 最大 圆面 的 半径(二)C=x CD2 0D2=、a 2 一C 2 故(=)E=问的任意两条路径 F 2、F 1 B F 2光程都是 相等的，从而都是极值 f 既是极大值也是极小 值)，所以都是光线的实际路径，因此命题成立 点评：极值 问题是实现数理结合 的有效 载体，很多涉及极值的问题，往往都有物理和 数学 两种 解决 方案 其 中，物理 方法 强调最 终 结 果和状 态，重 点研 究临界值，解答过 程较 为 简洁，且有明确的实际意义，比如本例中运用 了光 学 中 的费 马 原理；而 数 学 方 法 的解 答 过 程有 时较为繁琐，但更 能够反映各量变 化 的整 个过程有兴趣 的读者还可 以研究 2 0 0 7 年高 考湖南卷 f 理)第 1 7 题和 2 0 0 8 年高考江苏卷 第 1 7 题，利用物理中的全反射知识可以较简捷 地处理解题中的关键步骤 在数学拓展课上实践“数理结合”是数学 教学 中的个极小 的新课题，但 却是一个 很有 意思、值得讨论的课题，希望本文能起到抛砖 引玉的作用，也请广大 同行批评 和指正 参考文献 f 1 虞关寿 谈谈新教材中对 自然学科知 识的教学处理 中学数学教学，2 0 0 4(5)：1 4-1 6 f 2 1 顾 向忠高中新课程数学与物理学科 知识的教学整合 J 中学数学教学参考(高 中)，2 0 1 3 (5)：2 7-2 9 3 1 范端喜 名牌大学 自主招生高效备考数 学 f M 上海：华东师 范大学 出版社，2 0 1 3 二 ，如 图 1 4，这 时Y a B C D的最 大值 为 詈 c 图 1 4 C