从一个实例分析电磁场的角动量_刘艳秋.pdf

第31 卷第1 期上海师范大学学报(自然科学版)Vol.31,No.12 0 0 2 年 3 月Journal of Shanghai Teachers U niversity(Natural Sciences)M ar.2 0 0 2从一个实例分析电磁场的角动量刘艳秋,朱炯明(上海师范大学 数理信息学院,上海 200234)摘要:通过对处于变化外磁场中的圆柱形电容器的定性讨论和定量计算,把电磁场的角动量这一较为抽象的概念具体化,分析并论证了电磁场确具有角动量,且可与机械角动量相互转换,在转换过程中遵循守恒定律.关键词:电磁场;角动量;圆柱形电容器中图分类号:O441.3文献标识码:C文章编号1000-5137(2002)01-0094-040引言收稿日期:2001-10-30基金项目:上海市教委课程建设项目(K200135)作者简介:刘艳秋(1976-),女,上海师范大学课程与教学论硕士研究生;朱炯明(1948-),男,上海师范大学数理信息学院副教授.电磁场作为物质存在的一种形式,它具有能量、动量和角动量,并且可以与其他形式的能量、动量和角动量相互转换,在转换过程中遵循各自的守恒定律.这是电磁场的重要属性,也是电磁场理论在众多领域获得广泛应用的原因之一.但在教学过程中,由于场的概念较为抽象,而且电磁场的能量、动量和角动量又很难直接观测,学生往往觉得较难理解.尤其对于电磁场的角动量,更是如此.本文以一个处于变化外磁场中的圆柱形电容器为具体例子,通过定性研究和定量计算,根据角动量守恒定律来论证电磁场角动量的存在以及它和其他形式的角动量之间的联系.这样能让初学者对电磁场的角动量有一个直观的感受,从而能更好地理解电磁场的这一重要属性.1变化外磁场中的圆柱形电容器 1圆柱形电容器由长为 L,半径分别为 R1和 R2(R1 R2)的内外两个同轴薄圆筒构成,整个电容器绕轴的转动惯量为 I,充电后内、外圆筒间的电压为V.开始时,电容器内(在 r R2的区域)有一均匀外磁场 B0,磁场方向与圆筒轴线平行.现在,慢慢撤去磁场 B0,结果发现电容器由静止开始绕轴转动起来.在撤去磁场的过程中没有任何机械的外力矩作用在电容器上,那么电容器是怎么会发生转动的?它转动的角动量是哪里来的呢?2电磁力的冲量矩在撤去磁场的过程中,变化的轴向磁场会产生沿切向的感生电场.电容器内外筒壁因带有电荷而受到感生电场力的作用,在合力矩的作用下,电容器发生转动.当电容器内外筒壁所带的电荷随电容器一起转动时,就在内外筒壁上形成了方向相反的电流,因而又受到磁场力的作用.据此可以计算出电磁力的冲量矩,及在这一冲量矩的作用下电容器所获得的角动量和角速度.电磁场对电容器的作用力为 2dF=(Q E+j B)dS,(1)式中Q和 j 分别为导体圆筒上的电荷密度与电流密度,B为沿轴向的磁场,电场E 包括静电场E1和感生电场E2,其中沿半径方向的静电场为 3E1=Vln(R2R1)redr,(2)沿切向的感生电场 E2可由法拉第定律算得 3E2=-r2dBdtedH,(3)电磁场作用于电容器的力矩为:dM=r dF,考虑到 r E1=0 和 r (j B)=0,即有dM=r E2dq,(4)将该式分别对内、外筒壁上的电荷积分,便得到圆柱形电容器的两个圆筒所受的力矩M1=-PE0LVR21ln(R2R1)dBdtedz,(5)M2=P E0LV R22ln(R2R1)dBdtedz,(6)当外磁场完全撤去时,整个电容器所受的电磁力的冲量矩为(M1+M2)dt=-B0P E0LV(R22-R21)ln(R2R1)ed2.(7)这一冲量矩使电容器获得了角动量Lm=-B0P E0LV(R22-R21)ln(R2R1)ed2.(8)而电容器的转动的角速度为X=LmI-B0P E0LV(R22-R21)Iln(R2R1)ed2.(9)电容器由静止变为转动,获得了角动量.在这过程中,虽然没有受到外界施加的任何机械力矩,但受到电磁场作用于它的力矩.正是这一电磁力的冲量矩,使得电容器转动起来.3电磁场的角动量当电磁场对电容器施加力矩使得电容器转动起来时,电磁场自身发生了什么变化呢?电磁场的角动量发生了改变.电磁场角动量可表示为 2Lem=vr (E B)dS.(10)开始时 E=E1,见(2)式,B=B0edz.代入(10)式得电磁场角动量95第 1 期刘艳秋,朱炯明:从一个实例分析电磁场的角动量Lem=-B0PE0LV(R22-R21)ln(R2R1)ed2.(11)磁场完全撤去后,B=0,由(10)式直接可知电磁场角动量变为零.在撤去磁场过程中,电磁场的角动量减少了 Lem.比较(8)式和(11)式得 Lem=Lm,这表明电容器所获得的转动角动量确实是由电磁场所减少的角动量转化而来.这一转化是通过电磁力作用于电容器的冲量矩来实现的.如果将电磁场和电容器视为一个系统,那么在转化过程中,由于没有外力矩的作用,整个系统的角动量是守恒的.4建立电磁场过程中外力的冲量矩从以上分析可以看出电磁场确实具有角动量而且可以转化为机械角动量.还可以进一步分析,电磁场的角动量又是哪里来的呢?是不是可以在电磁场的建立过程中由其他形式的角动量转化而来呢?由于电磁场的角动量只取决于电磁场的分布状况,而与电磁场建立的过程无关,不妨设想这样一 个过程:开始时电容器的内筒与外筒重合在一起(半径为 R2),正负电荷抵消,因而没有电场;圆筒内有均匀磁场 B0;然后沿径向均匀地将带正电的内筒从 R2处缓慢向内压缩(假设电容器筒壁可以随意压缩),一直压缩到 R1处为止.这样,内筒带正电,外筒带负电,两圆筒间有一径向的电场 E1 见(2)式.在压缩过程中,电容器的内筒受到洛沦兹力的作用fL=q(E+v B),(12)式中q 为内筒所带的电量;v 为内筒壁的运动速度,沿圆筒径向向内.由圆柱形电容器的对称性和电荷分布的均匀性知,电场 E 不会对力矩 T 有所贡献,所以洛仑兹力的力矩为T=qr (v B).(13)为了不让内筒转动,在压缩过程中必须施加一个与 T 方向相反的外力矩.到压缩过程结束时,这一外力的冲量矩所产生的且被储存在电磁场中的角动量为L=-qr (v B)dt=-B0PE0LV(R22-R21)ln(R2R1)ed2.(14)将(14)式与(11)式比较,可以看出这正是电磁场的角动量.由此可见,在建立电磁场的过程中,外力矩作用于电容器的冲量矩转化为电磁场的角动量;而在撤去磁场的过程中电磁场的角动量又转化成了电容器的机械角动量.这又一次说明电磁场确实具有角动量.5结论通过对处于变化外磁场中的电容器运动状态变化的分析,从一个侧面论证了电磁场确具有角动量并且可以与其他形式的角动量相互转换,在转换过程中遵循守恒定律.与其类似的还有关于费曼圆盘佯谬的讨论 4,5,它也是关于电磁场角动量及其守恒的实例.本文的方法使得原本抽象的概念变得具体化,有利于初学者对电磁场的这一重要属性的理解.当然,此方法只是运用了一个实例来说明问题,并不具有普适性,要更深入地处理电磁场的角动量问题,还应该采用系统的场论处理方法 2.需要指出的是,为了使计算显得简捷明了,在以上分析中均未计及电容器开始转动后,由于圆96上海师范大学学报(自然科学版)2002 年筒上的电荷随之转动而在圆筒内产生的附加磁场.如果电容器的转动惯量较大,因而其转动角速度很小,那么这一附加磁场可以忽略.如果不是这样,则只要在第 2 节的计算中将磁场视为外磁场与附加磁场的合磁场,在第 3 节的计算中外磁场完全撤去后的总磁场并不为零,同样可以得到满意的结果.但在这种情况下,电磁场的角动量只有一部分转换成了电容器的转动角动量,其余部分仍然被储存在电磁场中,计算结果的表达式也会变得相当复杂.参考文献:1蔡圣善.经典电动力学 M.上海:复旦大学出版社,1985.2郭硕鸿.电动力学(第二版)M.北京:高等教育出版社,1997.3贾启民,郑永令,陈暨耀.电磁学(第二版)M.北京:高等教育出版社,2001.4贾兆平,等.Feynman 圆盘详谬与角动量守恒 J.大学物理,1983(4).4陈熙谋.能流密度概念不适用于静声情形吗J.大学物理,1982(4).Analyzing Angular Momentum of ElectromagneticField with a Concrete ExampleLIU Yan-qiu,ZHU Jiong-ming(Mathematical and Science College,Shanghai Teachers University,Shanghai 200234,China)Abstract:The abstraction of angular momentum of electromagnetic fields is concretized through qualitative analysisand quantitative calculation for a cylindrical capacity in a varying electromagnetic field.It has been shown that angularmomentum exists indeed in an electromagnetic field and can be transformed mutually with mechanical angularmomentum.And the conservation law is obeyed in process of transformation.Key words:electromagnetic field;angular momentum;cylindrical capacitor97第 1 期刘艳秋,朱炯明:从一个实例分析电磁场的角动量