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学习乘法公式应注意的问题 乘法公式是初中数学中的重要公式之一，应用也很广泛但要真正学好它，必须注意以下几点：一、注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”例1 计算(-2x2-5)(2x2-5)分析：本题两个因式中“-5”相同，“2x2”符号相反，因而“-5”是公式(a+b)(a-b)=a2-b2中的a，而“2x2”则是公式中的b解：原式=(-5-2x2)(-5+2x2)=(-5)2-(2x2)2=25-4x4例2 计算(-a2+4b)2分析：运用公式(a+b)2=a2+2ab+b2时，“-a2”就是公式中的a，“4b”就是公式中的b；若将题目变形为(4b-a2)2时，则“4b”是公式中的a，而“a2”就是公式中的b（解略）二、注意为使用公式创造条件例3 计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)分析：粗看不能运用公式计算，但注意观察，两个因式中的“2x”、“5”两项同号，“y”、“z”两项异号，因而，可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式的形式解：原式=(2x+5)+(y-z)(2x+5)-(y-z)=(2x+5)2-(y-z)2=4x2+20x+25-y+2yz-z2例4 计算(a-1)2(a2+a+1)2(a6+a3+1)2分析：若先用完全平方公式展开，运算十分繁冗，但注意逆用幂的运算法则，则可利用乘法公式，使运算简便解：原式=(a-1)(a2+a+1)(a6+a3+1)2=(a3-1)(a6+a3+1)2=(a9-1)2=a18-2a9+1例5 计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)分析：此题乍看无公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一项（2-1），则可运用公式，使问题化繁为简解：原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)=(24-1)(24+1)(28+1)=（28-1）（28+1）=216-1三、注意公式的推广计算多项式的平方，由(a+b)2=a2+2ab+b2，可推广得到：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc可叙述为：多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积的2倍例6 计算(2x+y-3)2解：原式=(2x)2+y2+(-3)2+22xy+22x(-3)+2y(-3)=4x2+y2+9+4xy-12x-6y四、注意公式的变换，灵活运用变形公式例7 (1)已知x+y=10，x3+y3=100，求x2+y2的值；(2)已知：x+2y=7，xy=6，求(x-2y)2的值分析：粗看似乎无从下手，但注意到乘法公式的下列变形：x2+y2=(x+y)2-2xy，x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)，(x+y)2-(x-y)2=4xy，问题则十分简单解：(1)x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)，将已知条件代入得100=103-3xy10，xy=30故x2+y2=(x+y)2-2xy=102-230=40(2)(x-2y)2=(x+2y)2-8xy=72-86=1例8 计算(a+b+c)2+(a+b-c)2+(a-b+c)+(b-a+c)2分析：直接展开，运算较繁，但注意到由和及差的完全平方公式可变换出(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)，因而问题容易解决解：原式=(a+b)+c2+(a+b)-c2+c+(a-b)2+c-(a-b)2=2(a+b)2+c2+2c2+(a-b)2=2(a+b)2+(a-b)2+4c2=4a2+4b2+4c2五、注意乘法公式的逆运用例9 计算(a-2b+3c)2-(a+2b-3c)2分析：若按完全平方公式展开，再相减，运算繁杂，但逆用平方差公式，则能使运算简便得多解：原式=(a-2b+3c)+(a+2b-3c)(a-2b+3c)-(a+2b-3c)=2a(-4b+6c)=-8ab+12ac例10 计算(2a+3b)2-2(2a+3b)(5b-4a)+(4a-5b)2分析：此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算，但逆用完全平方公式，则运算更为简便解：原式=(2a+3b)2+2(2a+3b)(4a-5b)+(4a-5b)2=(2a+3b)+(4a-5b)2=(6a-2b)2=36a2-24ab+4b2学习“乘法公式”六注意初学者对于各乘法公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义往往不易掌握，运用时容易混淆，因此要学习好乘法公式，必须注意以下几点：一、注意乘法公式的推导乘法公式是直接计算特殊的多项式乘法得来的，即平方差公式：（a + b）（a - b）= a 2 - ab + ab - b2 = a 2 - b2 ；完全平方公式：（a + b）2 =（a + b）（a + b）= a 2 + ab + ab + b2 =a 2 +2ab + b2；（a - b）2 =（a - b）（a - b）= a 2 - ab - ab + b2 = a 2 - 2ab + b2 由此可见，理解乘法公式要与多项式乘法联系起来，这样对公式才理解的深、记得准、记得牢，一旦把公式忘记了，自己也可以把公式推导出来 二、注意掌握乘法公式的结构特征乘法公式的结构特征是各公式的本质所在在学习时，应仔细观察其结构特征，并会用语言加以表述平方差公式：（a + b）（a - b）= a 2 - b2 ；结构特征：公式的左边是两个数的和与这两个数的差的积，而右边是这两个数的平方差 完全平方公式：（a b）2 = a 2 2ab + b2 结构特征：公式的左边是两数和（或差）的平方，而右边是这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍三、注意弄清乘法公式中的字母含义公式中的字母a、b可以是具体的数，也可以是单项式、多项式只要符合公式的结构特征，就可以利用公式例如：（2m + 5n) (2m - 5n）=（2m）2 -（5n）2 = 4m 2 - 25n2 （4x + 3y）2 = (4x) 2 + 24x3y + (3y)2 = 16x 2 + 24xy + 9y 2 四、注意运用公式容易出现的错误在学习中不少同学经常出现如下错误：（1）（a + b）（a + b）= a 2 + b2 ；（2）（a + b）2 = a 2 + b2 ；（a - b）2 = a 2 - b2 错误（1）的原因是模仿平方差公式所至，切记只有平方差公式，没有平方和公式；错误（2）的原因是与积的平方 (ab)2 = a2 b2 相混淆对于这些错误，同学们只要利用多项式的乘法计算一下，即可得到验证五、注意掌握公式的形式变形平方差公式的常见变形：（1）位置变化：（a + b）（- b + a）= ；（2）符号变化：（- a - b）（a - b）= ；（3）系数变化：（3a + 2b）（3a - 2b）= ；（4）指数变化：（a 3 + b2）（a 3 - b2）= ；（5）项数变化：（a + 2b - c）(a - 2b +c)= ；（6）连用变化：（a + b）(a - b) (a 2 + b2 )= 只要掌握了平方差公式的结构特征，这些变形即可得解 .完全平方公式的常见变形：（1）a 2 + b2 =（a + b）2 - 2ab =（a - b）2 + 2ab；（2） （a + b）2 +（a - b）2 = 2（a 2 + b2）；（3）（a + b）2 -（a - b）2 = 4ab 这些变形应用十分广泛，因而要熟记这些变形公式六、注意公式的灵活运用1、连续运用乘法公式例 1 计算(x + 3) (x - 3) (x 2+ 9) . 解：原式 = ( x 2 - 9) (x2 + 9) = x 4 - 81例 2 计算 (m + n) (m - n) (m2 - n2 ). 解：原式 = (m2 - n2 ) (m2 - n2 ) = (m2 - n2 ) 2 = m4 - 2m2 n2 + n4 说明：例 1是两次运用平方差公式；例 2是先运用平方差公式，再运用完全平方公式2、灵活选用乘法公式例 3 计算 (x + 3y) (x - 3y) 2 . 分析：本题若先根据积的乘方性质，再用完全平方公式计算比较复杂，而先用平方差公式，再运用完全平方公式，简捷明快，富有较强的灵活性解：原式 = ( x 2 - 9y 2 ) 2 = x 4 - 18 x 2y 2 + 81y 4 .3、逆用乘法公式例 4 计算 (ab + 1) 2 - (ab - 1) 2 . 课本P38：第1(3)题 分析：本题的常规解法是先用完全平方公式将(ab + 1) 2和(ab - 1) 2展开，再合并同类项 . 若能想到平方差公式逆用, 其解法非常简便.解：原式 = (ab + 1)+ (ab - 1) (ab + 1)- (ab - 1) = 4ab .4、变形运用乘法公式例 5 已知x + y = 4，且x - y = 10，则2 xy = .分析：本题的常规解法是解二元一方程组，而运用完全平方公式的变形公式求解，会更巧妙、灵活.解： 4xy =（x + y）2 -（x - y）2 = 16 - 100 = - 84，2xy = - 42 .