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第二课时 集合(二)
教学目标：
使学生了解有限集、无限集概念，掌握表示集合方法，了解空集的概念及其特殊性；通过本节教学，培养学生逻辑思维能力；渗透抽象、概括的思想.
教学重点：
集合的表示方法，空集.
教学难点：
正确表示一些简单集合.
教学方法：
自学辅导法
在学生自学基础上，进行概括、总结.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
集合元素的特征有哪些?怎样理解?试举例说明.
集合与元素关系是什么?如何表示?
Ⅱ.讲授新课
1.集合的表示方法
通过学习提纲，师生共同归纳集合表示方法，常用表示方法有：
（1）列举法：把集合中元素一一列举出来的方法.
（2）描述法：用确定条件表示某些对象是否属于这个集合的方法.
［师］由方程x2－1＝0的所有解组成的集合可以表示为{－1，1}，不等式x－3＞2的解集可以表示为{x｜x－3＞2}.
下面请同学们思考：
幻灯片(A)：
请用列举法表示下列集合
(1)小于5的正奇数
(2)能被3整除且大于4小于15的自然数
(3)方程x2－9＝0的解的集合
(4){15以内的质数}
(5){x｜∈Z , x∈Z}
［生］(1)满足题条件小于5的正奇数有1，3.故用列举法表示为{1，3}
(2)能被3整除且大于4小于15的自然数有6，9，12.故用列举法表示为{6，9，12}
(3)方程x2－9＝0的解为－3，3.故用列举法表示为{－3，3}
(4)15以内的质数 2，3，5，7，11，13.故该集合用列举法表示为{2，3，5，7，11，13}
(5)满足∈Z的x有：3－x＝±1，±2，±3，±6，解之x＝2，4，1，5，0，6，－3，9.故用列举法表示为{2，4，1，5，0，6，－3，9}
［师］通过我们对上述题目求解，可以看到问题求解的关键应是什么?
［生］依题找出集合中的所有元素是问题解决的关键所在.
［师］用列举法表示集合时，要注意元素不重不漏，不计次序地用“，”隔开并放在大括号内.
除了刚才练习题目中涉及到的问题外，还有如下问题，注意比较各问题的形式，试用描述法表示下列集合.
(6)到定点距离等于定长的点
让学生充分考虑，相互研讨后师给出结果
{（x，y）|（x－a）2＋（y－b）2＝r2}
(7)方程组的解集为｛（x，y）|｝
(8)由适合x2－x－2＞0的所有解组成集合
{x｜x2－x－2＞0}
下面给出问题，经学生考虑后回答：
幻灯片（B）：
用描述法分别表示：
(1)抛物线x2＝y上的点.
(2)抛物线x2＝y上点的横坐标.
(3)抛物线x2＝y上点的纵坐标.
(4)数轴上离开原点的距离大于6的点的集合.
(5)平面直角坐标系中第Ⅰ、Ⅲ象限点的集合.
［生］(1)集合中的元素是点.它是坐标平面内的点，其坐标是一个有序实数.对，可表示为{（x，y）｜x2＝y}
(2)集合中的元素是实数.该实数是平面上点的横坐标，用描述法表示即为{x｜x2＝y}.
(3)集合中的元素是实数.该实数是符合条件的平面上点的纵坐标.用描述法表示即为 {y｜x2＝y}.
(4)该集合中元素是点.而数轴上的点可以用其坐标表示，其坐标是一个实数，所以可以表示成{x∈R||x|＞6}.
(5)平面直角坐标系中点是该集合元素.该点可以用一对有序实数对表示，用描述法即可表示为{（x，y）｜xy＞0}.
［师］同学们通过对上述问题的解答，解决该类问题的关键是什么?
［生］(经讨论后得出结论)
解决该类问题关键是找出集合中元素的公共属性，确定代表元素.
［师］集合中元素的公共属性可以用文字直接表述，也可用数学关系表示，但必须抓住其实质.
［师］再看几例
1.用列举法表示1到100连续自然数的平方；
2.{x}，{x，y}，{（x，y）}的含义是否相同.
［生］{x}表示单元素集合；{x，y}表示两个元素集合；{（x，y）}表示含一点集合.
而对于1题经教师指导给出结论，该集合列举法表示为{1，4，9，25，…，1002}.
3. {x｜y＝x2＋1}，{y｜y＝x2＋1}，{（x，y）｜y＝x2＋1}，的含义是否相同.
(3)集合相等
两个集合相等、应满足如下关系：
A＝{2，3，4，5}，B＝{5，43，2}，即有集合A的元素都是集合B的元素，集合B的元素都是集合A的元素.
幻灯片：
一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素.我们就说集合A等于集合B.记作A＝B.
用式子表示：如果AB，同时BA，那么A＝B.
如：{a，b，c，d}与{b，c，d，a}相等；
{2，3，4}与{3，4，2}相等；
{2，3}与{3，2}相等.
［师］请同学互相举例并判断是否相等.
稍微复杂的式子特别是用描述法给出的要认真分辨.
如：A＝{x｜x＝2m＋1，m∈Z}，B＝{x｜x＝2n－1，n∈Z}.
2.集合的分类

师指出：
（1）有限集——含有有限个元素的集合.
（2）无限集——含有无限个元素的集合.
那么投影(A)中的集合和（B）中的集合是有限集还是无限集，经重新投影后，学生作答.
［生］幻灯片（A）中的五个集合都是有限集；幻灯片（B）中的五个集合都是无限集.
3.空集
［师］表示空集，既不含任何元素的集合.
例如：{x｜x2＋2＝0}，{x｜x2＋1＜0}
请学生相互举例、验证，师补充说明：
4.［师］集合的表示除了列举法和描述法外，还有恩韦图(文氏图)叙述如下：
画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合.如图：
表示任意一个集合A
表示{3，9，27}

表示{4，6，10}

边界用直线还是曲线，用实线还是虚线都无关紧要，只要封闭并把有关元素和子集统统包含在里边就行，但不能理解成圈内每个点都是集合的元素.
Ⅲ.课堂练习
1.解：(1)满足题意的集合可用描述法表示
{x∈N｜x＞10}；它是一个无限集.
(2)满足题意的集合可用列举法表示如下：
{2，3，6}；它是一个有限集.
(3)满足题意的集合可用列举法表示如下：
{－2，2}；它是一个有限集.
(4)满足题意的集合可用列举法表示如下：
{2，3，5，7}；它是一个有限集.
2.解：(1)该集合可用描述法表示如下：
{x｜x是4与6的公倍数}；它是一个无限集.
(2)该集合可用描述法表示如下：
{x｜x＝2n，n∈N*}；它是一个无限集.
(3)该集合可用描述法表示如下：
{x｜x2－2＝0}；它是一个有限集.
(4)不等式4x－6＜5的解集可用描述法表示如下：
{x｜x＜}；它是一个无限集.
问题的解决主要靠判断集合中元素的多少，进而确定表示方法.
3.判断正误：
（1）x＝－1，0，1时，y＝x2＋1的值的集合是｛2，1，2｝
（2）方程组的解集是｛1，－1｝
（3）方程x2＋2x－3＝0的解集是
{x｜1，－3}，{x｜x＝1，x＝－3}，{ 1或－3}，｛（1，－3）｝，｛1｝或｛－3｝
4.方程组的解集用列举法表示为_____________；用描述法表示为_______.
解：因的解集为方程组的解.
解该方程组x＝，y＝－
则用列举法表示为{（，－）}；用描述法表示为｛（x，y）|}
5.{(x，y)｜x＋y＝6，x，y∈N}用列举法表示为__________.
解：因x＋y＝6，x，y∈N的解有：

故列举法表示该集合，就是{(0，6),(1，5),(2，4),(3，3),(4，2),(5，1),(6，0)}
Ⅳ.课时小结
1.通过学习，弄清表示集合的方法有几种，并能灵活运用，一个集合并不是只要是有限集就用列举法表示，只要是无限集就用描述法表示，在某种情况下，两种方法都可以.
2.注意在解决问题时所起作用，这一小节仅仅是认识，具体性质在下一节将研究.
Ⅴ.课后作业
（一）1.用列举法表示下列集合：
(1)x2－4的一次因式组成的集合. (2){y｜y＝－x2－2x＋3，x∈R,y∈N}.
(3)方程x2＋6x＋9＝0的解集. (4){20以内的质数}.
(5){（x，y）｜x2＋y2＝1，x∈Z,y∈Z}. (6){大于0小于3的整数}.
(7){x∈R｜x2＋5x－14＝0}.
(8){（x，y）}｜x∈N，且1≤x＜4，y－2x＝0}.
(9){（x，y）｜x＋y＝6，x∈N，y∈N}.
分析：用列举法表示集合的关键是找出集合中的所有元素，要注意不重不漏，不计次序地用“，”隔开放在大括号内.
解：(1)因x2－4＝（x－2）（x＋2），故符合题意的集合为{x－2，x＋2}.
(2)y＝－x2－2x＋3＝－（x＋1）2＋4，即y≤4，又y∈N，∴y＝0，1，2，3，4.
故{y｜y＝－x2－2x＋3，x∈R,y∈N}＝{0，1，2，3，4}.
(3)由x2＋6x＋9＝0得 x1＝x2＝－3 ∴方程x2＋6x＋9＝0的解集为{－3}.
(4){20以内的质数}＝{2，3，5，7，11，13，1719}.
(5)因x∈Z , y∈Z ，则x＝－1，0，1时，y＝0，1，－1.
那么{(x，y)｜x2＋y2＝1，x∈Z ,y∈Z}＝{（－1，0），（0，1），（0，－1），（1，0）}.
(6){大于0小于3的整数}＝{1，2}.
(7)因x2＋5x－14＝0的解为x1＝－7，x2＝2，则{x∈R｜x2＋5x－14＝0}＝{－7，2}.
(8)当x∈N且1≤x＜4时，x＝1，2，3，此时y＝2x，即y＝2，4，6.
那么{（x，y）｜x∈N且1≤x＜4，y－2x＝0}＝{（1，2），（2，4），（3，6）}.
(9){（x，y）｜x＋y＝6，x∈N，y∈N}＝{（0，6）1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），（6，0）}.
2.用描述法表示下列集合：
(1)方程2x＋y＝5的解集. (2)小于10的所有非负整数的集合.
(3)方程ax＋by＝0（ab≠0）的解. (4)数轴上离开原点的距离大于3的点的集合.
(5)平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅲ象限点的集合.
(6)方程组的解的集合. (7){1，3，5，7，…}.
(8)x轴上所有点的集合. (9)非负偶数.
(10)能被3整除的整数.
分析：用描述法表示集合的关键是找出集合中元素的公共属性，确定代表元素，公共属性可以用文字直接表述，也可用数学关系表示，但要抓住其实质.
解：(1){（x，y）｜2x＋y＝5}.
(2)小于10的所有非负整数的集合用描述法表示为{x｜0≤x＜10，x∈Z}.
(3)方程ax＋by＝0（ab≠0）的解用描述法表示为{（x，y）｜ax＋by＝0（ab≠0）}.
(4)数轴上离开原点的距离大于3的点的集合用描述法表示为{x｜x＞3}.
(5)平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅲ象限点的集合用描述法表示为{（x，y）｜xy＜0}.
(6)方程组的解的集合用描述法表示为{（x，y）｜}.
(7){1，3，5，7，…}用描述法表示为{x｜x＝2k－1，k∈N*}.
(8)x轴上所有点的集合用描述法表示为{（x，y）｜x∈R，y＝0}.
(9)非负偶数用描述法表示为{x｜x＝2k，k∈N}.
(10)能被3整除的整数用描述法表示为{x｜x＝3k，k∈Z}.
3.已知A＝{－2，－1，0，1}，B＝{x｜x＝｜y｜，y∈A}，求B.
解：∵y∈A ∴y＝－2，－1，0，1
此时｜y｜＝0，1，2，则有B＝{0，1，2}.
4.将方程组的解集用列举法、描述法分别表示.
解：因的解为（3，－7）
则用描述法表示该集合：{（x，y）｜}；
用列举法表示该集合：{（3，－7）}.
5.设集合A＝{x｜x＝2k，k∈Z}，B＝{x｜x＝2k＋1，k∈Z}，C＝{x｜x＝4k＋1，k∈Z}，又有a∈A，b∈B，判断元素a＋b与集合A、B和C的关系.
解：因A＝{x｜x＝2k，k∈Z}，B＝{x｜x＝2k＋1，k∈Z}，则集合A由偶数构成，集合B由奇数构成.
即a是偶数，b是奇数 设a＝2m，b＝2n＋1（m∈Z ,n∈Z）
则a＋b＝2（m＋n）＋1是奇数，那么a＋bA，a＋b∈B
又C＝{x｜x＝4k＋1，k∈Z}是由部分奇数构成且x＝4k＋1＝2·2k＋1
故m＋n是偶数时，a＋b∈C；m＋n不是偶数时，a＋bC.
综上a＋bA，a＋b∈B，a＋bC.
（二）预习内容：1.预习课本P8～P9 子集，子集的概念及空集的性质.
2.预习提纲：
(1)两个集合A、B具有什么条件，就能说明一个集合是另一个集合的子集？
(2)一个集合A是另一个集合B的真子集，则其应满足条件是什么?
(3)空集有哪些性质?

集 合 (二)
1.用列举法表示下列集合：
(1)x2－4的一次因式组成的集合.

(2){y｜y＝－x2－2x＋3，x∈R,y∈N}.

(3)方程x2＋6x＋9＝0的解集.

(4){20以内的质数}.

(5){（x，y）｜x2＋y2＝1，x∈Z,y∈Z}.

(6){大于0小于3的整数}.

(7){x∈R｜x2＋5x－14＝0}.

(8){（x，y）}｜x∈N，且1≤x＜4，y－2x＝0}.

(9){（x，y）｜x＋y＝6，x∈N，y∈N}.

2.用描述法表示下列集合：
(1)方程2x＋y＝5的解集.

(2)小于10的所有非负整数的集合.

(3)方程ax＋by＝0（ab≠0）的解.

(4)数轴上离开原点的距离大于3的点的集合.

(5)平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅲ象限点的集合.

(6)方程组的解的集合.

(7){1，3，5，7，…}.

(8)x轴上所有点的集合.

(9)非负偶数.

(10)能被3整除的整数.

3.已知A＝{－2，－1，0，1}，B＝{x｜x＝｜y｜，y∈A}，求B.

4.将方程组的解集用列举法、描述法分别表示.

5.设集合A＝{x｜x＝2k，k∈Z}，B＝{x｜x＝2k＋1，k∈Z}，C＝{x｜x＝4k＋1，k∈Z}，又有a∈A，b∈B，判断元素a＋b与集合A、B和C的关系.

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