直线和平面垂直.doc

高二 年级 数学 教学案（2010年9月 13 日）
周次
3
课题
直线与平面的位置关系（二）
第　课时
授课形式
新授
主编

审核

教学目标
1．理解直线与平面垂直的定义，并能画图表示。
2．掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理。
3．掌握判定直线和平面垂直的方法，并能进行初步应用。
重点难点
直线与平面垂直的定义，判定定理和性质定理。
利用线面垂直的判定定理和性质定理解题。
课堂结构
一、自主探究
1．直线与平面垂直的定义：如果一条直线a与一个平面内的 ，我们就说直线a与平面互相垂直。
2．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，同样， 。
3．从平面外一点引平面的垂线， ，叫做这个点到这个平面的距离．
4．直线与平面垂直的判定定理
(1)文字语言：如果一条直线和一个平面内的 ，那么这条直线垂直于这个平面。
(2)符号语言：若 ， ， ， ，则。
5．直线和平面垂直的性质定理
(1)文字语言：如果两条直线 ，那么这两条直线平行，即垂直于同一个平面的两条直线平行。
(2)符号语言：已知直线a，b和平面，若 , ，那么a//b。
二、重点剖析
（一）直线与平面垂直的概念
直线与平面垂直的定义：如果一条直线a与一个平面内的任意一条直线都垂直，则称这条直线和这个平面互相垂直．其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足.
注意：(1)若直线a与平面互相垂直，记作
(2)直线和平面垂直的概念是利用直线和直线垂直的概念定义的，要注意定义中的“任何一条直线”这个词语，它与“所有直线”是同义词，但与“无数条直线”不同，定义的实质就是直线与平面内的所有直线都垂直，有了这样的定义就可判定线面垂直，即当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线。
(3)直线与平面的无数条直线垂直时，直线与平面不一定垂直，因为这无数条直线有可能互相平行。

(4)画法：画直线与平面垂直时，一般使直线与表示平面的平行四边形一边垂直，如下图所示，

（二）直线与平面垂直的判定定理
直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

简记为：“线线垂直，则线面垂直。”
注意：(1)判定定理的条件中，“平面内的两条相交直线”是关键性词语，一定要记准。
(2)命题1：如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面；
命题2：如果一条直线垂直于平面的无数条直线，那么这条直线垂直于这个平面．
以上两个命题都是错误的，因为对于这两个命题，都没有体现出两直线相交这一特性，无数条直线可以是一簇平行线，并不一定具备有两条相交直线和已知直线垂直的特征，因此也就不一定得出这一直线垂直于这个平面这一结论。
(3)要判定一条直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，这是无关紧要的。
(4)其他判定直线和平面垂直的方法：
两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面。
（三）直线与平面垂直的性质定理
直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。
注意：直线与平面垂直还有如下性质：
(1)如果一条直线和一个平面垂直，则这条直线和这个平面内任一条直线垂直。
(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于同一个平面。
(3)若于A，AP，则。

三、例题讲解
　例1、给出以下结论：
①若直线a垂直平面内的无穷多条直线，则直线a垂直平面；②无论直线a与平面是否垂直，a总垂直平面内的无穷多条直线；③若直线a垂直平面内的两条直线，则直线a垂直平面；④若直线a垂直平面内的所有直线，则直线a垂直平面
其中正确的结论为　　　　　　。（写出序号即可）．

例2、如右图，已知空间四边形ABCD的边BC＝AC，AD＝BD，引BE⊥CD，E为垂足，作AH⊥BE于H，求证：AH⊥平面BCD。

变式训练：如右图，已知P是△ABC所在平面外一点，PA，PB，PC两两垂直，H是△AC的垂心，求证：PH⊥平面ABC。

例3、如右图，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB交SB于E，过E作EF⊥SC交SC于F，
（1）求证：AF⊥SC；
（2）若平面AEF交SD于G，求证：AG⊥SD。

变式训练：如右图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，，
求证：OO1⊥平面ABCD。

四、归纳小结
1．线面垂直的有关概念
2．线面垂直的判定定理和性质定理
3．线面垂直，线线垂直的判定方法