构造造函数结合导数方法证明不等式.doc

高二年级数学组
构造函数结合导数方法证明不等式

南漳县高级中学 张琳 孙波
摘要：利用构造函数，借助导数的方法证明不等式。把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证明不等式。
关键词：构造函数 导数 不等式 证明
新版教材编入了导数求解函数的单调性和极值都比较方便。所以在可能的条件下尽量用导数去证明求解不等式。
将所证的不等式通过构造函数的形式，利用导数判定出原函数的单调性，找出最值（值域）使之获证。基于此，如何合理的构造函数，成为我们能否有效解决问题的核心。本文试就一些常见的构造方法作出例析如下：
一、利用作差法构造函数
1、sinx＜x. x∈0,π）
分析：题中所给的sinx,x属不同函数类型，无法直接化简证明，可用构造函数后求出其单调性找其最值（值域）从而得证。
证明：构造函数f(x)=sinx－x，X∈（0,π）
则f′(x)＝cosx－1
∵0＜x＜π　　∴－1＜cosx＜1　　∴－2＜cosx－1＜0
∴f′(x) ＜0　∴f(x)在（0，π）单调递减
∴f(x) ＜f(0)＝0
∴sin x －x＜0
∴sin x＜x得证
二、利用题中所给条件直接构造函数
2、求证：π· sinπ+cosπ＞·sim+cos
分析：题中π，不是特殊角，若用传统方法证明将会很很困难。考虑到原不等式的结构相同，分别x .sinx+cosx，当x＝π，时的值，为此构造出函数f(x)＝x .sinx+cosx来证
证明：构造出函数f(x)＝x .sinx+cosx
则f′(x)＝sinx+ x cosx－sinx＝x cosx
当x∈（0，）时，f′(x) ＞0
∴f(x)在（0,）是增函数
∵π＞ ∴f（π）＞f（）得证
三、变换主元构造函数
3.（2004年全国卷），已知g(x)=xLnx,0＜a＜b,证明：
0＜g(a)+ g(b)－2g()＜(b－a) ln2
分析：根据已知条件中的g(x)将a,b代入直接证明不等式方法将会很困难，可考虑变换主元构造函数，用求系方法求其单调性得其最值（值域）
证明：可以b为主元构造函数
F（x）＝g (a)+ g(x) －2 g（）
＝alna+xlnx－2ln
= alna+xlnx－(a+x)ln (x＞a＞0)
则f′(x)＝lnx－ln
∵(x＞a＞0) ∴＜＝x
∴ln＜lnx
∴f′(x) ＞0
∴f(x)在（a1+∞）为增出数
又∵F(a)=0且F(x)在(a，+∞)上连续
∴F(x)＞F(a)=0
即F(b)＞0
∴g(a)+g(b)-2g()＞0
对右边不等式构造函数
G(x)=F(x)-(x-a)1n2 (x＞a＞0)
G′(x)=F′(x)-1n2
=1nx-1n-1n2
=1nx-1n(a+x)
∵x＞a＞0　∴a+x＞x＞0　∴1n(a+x)>1nx
∴G′(x)＜0，G (x)在(0，+∞)单调递减
∴G(x)＜G(a)=0
即G(b)＜0得证
4.【09年广东卷】：
已知曲线cn＝x2-2ny+y2=0(n=1,2,…)，从点p（-1,0）向曲线cn引斜率为kn(kn＞0)的切线cn，切点为
pn(xn , yn).
（1）.求数列{xn }与{ yn }的通项公式.
（2）. 证明：x1：x3：x5.……x2n-1＜ .
解：（1）易求xn＝ .
（2）分析所证不等式变为：

证明 ，可用数学归纳法

证法一：
构造函数：f(x)=x-
纳
证明函数f(x)＞0恒成立，即证f(x)的最小值＞0
f′(x)=cosx－
当x∈ 上单调递增
∴f(x)＞f(0)＝0
∴sin
证法二：

即证：
构造函数：f(x)= ，证明f(x)> 恒成立，即求f(x)的最小值>
f(x)=
令g(x)=x-tanx,g′(x)=1－
当x ∈
∴当x ∈ f′(x)＜0
∴ 单调递减
而x＝

∴

∴

故原命题得证

gi 大多数情况下，我们易直接构造关于自变量的函数，但有时函数虽然构造出来了，可在接下来的证明过程中将会出现难做的情形，换个思路则产生柳暗花明的效果。导数法为证明不导式问题开辟了新方法，使过去不等式的证明方法，从特殊技巧变为通性通法，通过合理的构造函数，能使我们解题时更具指向性。

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