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动能定理的应用题型
马富山
（ 兰州市第六十一中学 甘肃省 兰州市 730060）
电话[phone] mafushanx@
动能定理是高中物理的一个重要定理，也是高考中的一个热点。动能定理是利用状态量来描述过程量，因此应用动能定理来解题时，只需考虑始末运动状态，无需关注运动过程中的细节变化，这样显得更为简捷。因此 ，对于每一个高中生来说，在物理的学习中，都必须能灵活地运用动能定理。下面谈谈关于动能定理的应用。
1、知识讲解
1.1动能定理的内容：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。
1.2动能定理的表达式：
1.3应用动能定理的解题步骤：
（1）选择研究对象，动能定理的研究对象可以是一个物体也可以是一个系统选取研究对象，明确并分析运动过程。
（2）明确过程和状态，动能定理表达式中的初动能和末动能都是状态量，只有明确过程才有确切的初末状态的动能。
（3）在确定对象和过程的情况下，对物体准确受力分析。分析受力及各力做功的情况，有哪些力？有哪些力做功？在哪段位移过程中做功？正功还是负功？做了多少功。最后求出各个力做功的代数和。明确过程始末状态的动能。
（4）列方程，必要时注意分析题目的隐含条件，补充方程进行求解。
1.4应用动能定理时必须注意以下几点：
（1）应用动能定理解题时，在分析过程的基础上，无须深究物体运动状态过程中变化的细节，只须考虑整个过程中各个力做的总功及物体的初动能和末动能。
（2）动能定理的研究对象是单个物体，作用在物体上的外力包括所有的力，因此必须对物体进行受力分析。
（3）动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参照系，一般以地面为参照系。
（4）求总功可分为下述两种情况：
a．若各恒力同时作用一段位移，可先求出物体所受的合外力，再求总功；也可用总功等于各力所做功的代数和的方法求。
b．若各力不同时对物体做功，总功应为各阶段各力做功的代数和。
（5）动能定理是功能基本关系之一，凡是涉及力所引起的位移而不涉及加速度的问题，应用动能定理分析讨论，常比牛顿第二定律简捷。
2、实例分析  
1、 匀变速直线运动
1.1水平面模型
【例1】如图所示，用拉力F使一个质量为m的木箱由静止开始在水平冰道上移动了s后撤去F，拉力F与木箱前进的方向的夹角为θ，木箱与冰道间的动摩擦因数为μ，求：撤去F时木箱获得的速度及撤去F后木箱滑行的距离．
解：由题意，如图1.1所示，撤去拉力F前，F对物体做正功，摩擦力Ff做负功，G 和FN不做功．初动能Ek1=0，末动能
由动能定理得：
且 .
解得：
撤去F后，木箱在摩擦力作用下滑行直到停止，由动能定理：
，得
1.2斜面模型
【例2】 一物体质量为m=10kg，在平行于斜面的恒定拉力F作用下沿斜面向上运动，斜面与物体间的动摩擦因数为，当物体运动到斜面中点时，去掉力F，物体刚好可运动到斜面顶端停下。设斜面倾角为，取，求拉力F。
解：取物体为研究对象，在斜面下半段物体受四力：重力mg，拉力F，斜面的支持力N和摩擦力。受力分析如图2所示。在斜面上半段去掉F，其它力都不变。设斜面长为S，对物体从斜面底端运动至顶端的过程，由动能定理有：

解得：F=117.3N
小结：本题型要求学生掌握动能定理的解题步骤，进行熟练、基本应用。
2、 非匀变速直线运动
【例3】质量为m的物体从距弹簧上端h处下落落到竖直放置的弹簧上。设物体接触弹簧到最低的过程中，物体克服弹力做功为 W 1 ，空气阻力为f，求弹簧的最大压缩量．
解：由题意，如图所示
法一：至弹簧前，由动能定理：

此后，同理得：
解得：
法二：全程由动能定理

解得：
小结：弹簧在压缩的过程中，物体所受弹力一直在变化，物体做非匀变速直线运动，而动能定理无须深究物体运动状态过程中变化的细节，只须考虑整个过程中各个力做的总功及物体的初动能和末动能，本题充分体现了动能定理的这一优点。
3、 多过程问题
【例4】如图4所示，斜面足够长，其倾角为α，质量为m的滑块，距挡板P为S0，以初速度V0沿斜面上滑，滑块与斜面间的动摩擦因数为μ，滑块所受摩擦力小于滑块沿斜面方向的重力分力，若滑块每次与挡板相碰均无机械能损失，求滑块在斜面上经过的总路程为多少？
解：滑块在滑动过程中，要克服摩擦力做功，其机械能不断减少；又因为滑块所受摩擦力小于滑块沿斜面方向的重力分力，所以最终会停在斜面底端。
在整个过程中，受重力、摩擦力和斜面支持力作用，其中支持力不做功。设其经过和总路程为L，对全过程，由动能定理得：

得：
小结：物体在某个运动过程中包含有几个运动性质不同的小过程（如加速、减速的过程），此时可以分段考虑，也可以对全过程考虑，但如能对整个过程利用动能定理列式则使问题简化。
4、 求变力做功问题
【例5】如图5所示，AB为1/4圆弧轨道，半径为R=0.8m，BC是水平轨道，长S=3m，BC处的摩擦系数为μ=1/15，今有质量m=1kg的物体，自A点从静止起下滑到C点刚好停止．求物体在轨道AB段所受的阻力对物体做的功．
解：物体在从A滑到C的过程中，有重力、AB段的阻力、BC段的摩擦力共三个力做功， ，由于物体在AB段受的阻力是变力，做的功不能直接求。根据动能定理可知：，所以
即
小结：如果我们所研究的问题中有多个力做功，其中只有一个力是变力，其余的都是恒力，而且这些恒力所做的功比较容易计算，研究对象本身的动能增量也比较容易计算时，用动能定理就可以求出这个变力所做的功．
5、求解曲线运动问题
【例6】一质量为m的小球，用长为L的轻绳悬挂于O点．小球在水平力F作用下从平衡位置P点缓缓地移动到Q点，如图6所示，则力F所做的功为（　 　）
A、mgLcosθ B、FLsinθ C、mgL(1－cosθ) D、FLcosθ
解：小球从平衡位置P点缓慢地移动到Q点的过程中，对球从P到Q的过程，有重力做功，且重力做负功.重力为恒力，恒力的功可直接用,所以；还有F做功，且F做正功，用W表示.物体的动能没发生变化，由动能定理得

得 拉力F所做的功为：
小结：本题有两个难点：一是曲线运动，另外一个是阻力做功，且是阻力为变力的问题，
6、求解图像问题
【例7】质量为1kg的物体在粗糙的水平面上滑行，其动能和位移变化情况如图7所示，则物体与地面间的动摩擦因数μ=______，滑动过程持续的时间是______s．（g取10m/s2）
解：根据动能定理得：
  而，则得
又
所以有 ，得
由图得知：初动能EK1=50J，s=20m，m=1kg，代入解得，μ=0.25
由得 初速度v=10m/s
根据运动学公式得：解得，t=4s
故答案为：0.25，4．
小结：图像直观和定量反映出动能和位移的对应关系和数量变化关系，读懂图像，应用动能定理求解。
7．系统的动能定理的应用
对于一个由几个存在相互作用的物体组成的系统，外力可以对系统做功，内力也可以对系统做功，内力做功就表示系统的动能可以和系统内部某种形式的能量进行转化．即系统动能的变化是由系统的内力与外力做功之和来决定的．可见，对于系统也可以运用动能定理。
【例8】如图8，一质量为M的长不板，静止在光滑的水平面上，一质量为m的小滑块（可视为质点）以水平速度从长木板的一端开始在木板上滑行，直到离开木板．滑块离开木板时的速度为．若把此木板固定在水平桌面上，其它条件相同时，求滑块离开木板时的速度．

解：设第一次滑块离开时木板速度为v，由系统的动量守恒，有：

设滑块与木板间摩擦力为f，木板长为L，则对于滑块与木板组成的系统，只有两者间的内力即摩擦力做功，对系统应用动能定理，得：

当木板固定时，滑块离开木板时速度为v/，对滑块应用动能定理，得：

由以上三个方程解得，木板固定滑块离开木板时的速度为：

小结：本题系统的内力做功使系统的部分动能转化为系统的内能．木板固定与不固定两种情况，内力与相对位移都相同，内力所做的功也就相同，即系统产生的热能相同．