《三角形》单元综合练习.doc

第三章 三角形
【巩固基础训练】
题型发散
1，选择题，把正确答案的代号填入题中括号内．
(1)下列各条件中，不能作出惟一三角形的是( )
(A)已知两角和夹边
(B)已知两边和夹角
(C)已知两边和其中一边的对角
(D)已知三边
(2)已知一个三角形的周长为15cm，且其中两边都等于第三边的2倍，那么这个三角形的最短边为( )
(A)1cm (B)2cm (C)3cm (D)4cm
(3)如果角形的一个内角等于其余两个内角的和，那么这个三角形是
(A)锐角三角形 (B)直角三角形
(C)钝角三角形 (D)锐角三角形或钝角三角形
(4)已知线段AB，用规尺作AB的垂直平分线CD，垂足为E，在CD上取—点F，使EF=AB，连结AF，BF，那么∠AFB的度数是 ( )
(A) (B) (C) (D)
(5)在Rt△ABC中，∠ACB=，CD⊥AB，E为AB的中点，AC=3cm，AB=6cm，那么∠DCE的度数是 ( )
(A) (B) (C) (D)
2．填空题．
(1)若两个三角形全等，则它们对应高、对应中线、对应的角平分线分别______________.
(2)在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥AC，交BC于D，若AB=a，则CD=
(3)在△ABC中，∠A是∠B的2倍，∠C比∠A+∠B还大，则这个三角形是__________角三角形．
(4)在△ABC中，∠ACB=，CD⊥AB，垂足是D，E是AB的中点，如果AB=10，BC=5，那么CE=___________，∠A=___________，∠B=_______，∠DCE______，DE=___________
(5)在△ABC中，若∠A=，∠B<∠C，则三边的大小关系________
解法发散
1．如图5—61，已知在直角三角形ABC中，∠C=，AD=AC，BE=BC．求∠DCE的度数．(用四种解法)

2．如图5—62已知D、E在BC上，∠BAD=∠CAE，∠B=∠C．求证：AD=AE．(用两种方法证明)

3．如图5—63，已知AB=AC，DE=DF，求证：BE=CF．(用两种方法证明)

变更命题发散
1．在△ABC中，AB>AC，AM是BC边上的中线．求证：∠CAM>∠BAM．
2．如图5-64，已知AB>AC，延长BC到E，使CE=CA，延长CB到D，使BD=AB．求证：AD>AE.

3．如图5-65，已知在△ABC中，AB>AC，且∠BAC>，AB、AC边上垂直平分线分别交BC边于D、E两点，求证：AD>AE．

变换发散
1．如图5—66，已知在△ABC中，∠1=∠2，AB+BP=AC．求证：∠B=2∠C.

2．如图5-67，已知△ABC为正三角形，P是任意一点．求证：PA≤PB+PC．

逆向发散
1．如图5—68，已知AD∥EC，CE>CB．求证：∠B>∠A．

2．如图5—69，在△ABC中，AB=AC，D为AC上一点．求证：∠ADB>∠ABD．

构造发散
1．如图5—70，在△ABC中，AB=AC．E是AB上任意一点，延长AC到F，使BE=CF．连接EF交BC于M，求证：EM=FM．

2．如图5—71，已知AE∥BC，AD、BD分别平分∠EAB、∠CBA，EC过点D．求证：AB=AE+BC．

纵横发散
1．如图5—72，△ABC为等边三角形，D、E分别是BC、AC上的一点，且BD=EC，AD和BE相交于F，BG⊥AD于G．求的值．

2．已知斜边和一锐角，作直角三角形．
已知：线段c及锐角α．求作Rt△ABC，使斜边等于c，其中—个锐角等于α．
综合发散
1．如图5—73所示，△ABC中，AB=AC，EF∥BC，分别交AB、AC于E、F，分别以AE、AF为边在△ABC的外部作等边△AEG和△AFH，连结BH与CG交于O．求证：
(1)BH=CG；
(2)AO平分∠BAC．

2．设AD是△ABC中∠A的平分线，过A引直线MN⊥AD，过B作BE⊥MN于E．求证：△EBC的周长大于△ABC的周长．
3．如图5—74，△ABC是等边三角形．∠ABE=∠BCF=∠CAD，求证：△DEF是等边三角形．

4．AD是△ABC中BC边上的中线，F是DC上—点，DE=EC，AC=BC，求证：AD平分∠BAE．
5．在△ABC中，AD是∠A的平分线且AB=AC+CD．求证：∠C=2∠B

【提高能力测试】
题型发散
1．选择题，把正确答案的代号填入题中括号内．
(1)下列各条件中，不能作出惟一直角三角形的是 ( )
(A)已知两直角边
(B)已知两锐角
(C)已知一直角边和一锐角
(D)已知斜边和一直角边
(2)已知AM、AH、AD分别是△ABC的BC边上的中线、高线和∠A的平分线，AB≠AC，那么AM、AH、AD的位置关系为 ( )
(A)AD在AM和AH之间
(B)AM在AD和AH之间
(C)AH在AD和AM之间
(D)不能确定
(3)已知三角形的两边长为2和7，第三边的数值是奇数，那么这个三角形的周长是 ( )
(A)14 (B)15 (C)16 (D)17
(4)在△ABC中，若∠A=∠B=∠C，那么这个三角形是 ( )
(A)锐角三角形 (B)直角三角形
(C)钝角三角形 (D)以上都不对
(5)已知线段m，n(m>n)，用直尺和圆规作等腰△ABC，使AB=AC=m，BC=n，再分别以AB、AC为边向三角形外作等边△ABD和等边△ACE，连结BE、CD，那么 ( )
(A)BE>CD (U)BE=CD (C)BEAC，AD为BC边上的中线，则∠DAB与∠DAC的大小关系是 ( )
(A)∠DAB>∠DAC (B)∠DAB<∠DAC
(C)∠DAB=∠DAC (D)不能确定
2．填空题．
(1)在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于D，DE垂直平分AB，垂足为E，则∠C=_________
(2)在锐角△ABC中，高AD和BE交于H点，且BH=AC，则∠ABC=________度．
(3)已知△ABC，D在AC上，∠A=，∠DBC=，∠C=，那么∠BDC=_________度，∠ABD=_________度，其中等腰三角形有__________
(4)边长为2，x-4，5的三根木条首尾相接组成三角形，则x的取值范围是______________.
(5)在△ABC中，如果，b=4n，则c=_______时，∠C=．
(6)在Rt△ABC中，AB=2AC，CD、CE分别是斜边上的中线和高，则∠DCE=____________.
解法发散
1．如图5—75，已知在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使 BD=AB，E为AB的中点，求证：CD=2CE．

(按原图与如下四个图(见图5-76(a)～(d))所作辅助线用五种方法证明)

2．如图5—77，已知在△ABC中，∠A=，∠C的平分线交对边AB于点E，交斜边上的高AD于O，过点O作OF∥CB交AB于F，求证：AE=BF．(用两种方法证明)

3．如图5—78，已知△ABC中，∠B是锐角，且∠B=2∠C，AD是BC边上的高．求证：AB+BD=DC
(用两种方法证明)

变换发散
1．如图5—79，已知在△ABC中，AB=AC，P是三角形内一点且有∠APB>∠APC．求证：PB．

变更命题发散
1．如图5—85，已知在△ABC中，CF是AB边上的高，BE是AC边上的高，若AB>AC．求证：BE>CF．

2．如图5—86，AB=AE，∠B=∠E．BC=ED．F是CD的中点．求证：AF⊥CD．

3．如图5—87，AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，求证：∠C=∠D.

迁移发散
1．已知△ABC的周长是12cm，若c+a=2b,c-a=2cm，求a、b、c的长度．
2．如图5—88，已知△ABC中，AB=2CA，且CA为最小边．求证：(AB+BC+CA)角顶点A作BC上的高AD．求证：AD+BC>AB+AC

2．如图5—90，C是线段AB上一点，分别以AC、CB为一边作等边三角形ACD和CBE，AE交CD于M，BD交CE于N．求证：
(1)△CMN是等边三角形；
(2)MN∥AB．

3．已知D是△ABC中∠BAC平分线AE上一点，AB>AC．求证：AB-AC>BD-DC．
4．在△ABC中，∠C=，AC=BC，过C在△ABC外作直线MN，使AM⊥MN于M，BN⊥MN于N．
(1)求证：MN=AM+BN；
(2)若过C在△ABC内作直线MN，当MN位于何位置时，AM、BN和MN之间满足关系式AM-BN=MN．并证明之．
5．如图5—91，已知：O是△ABC内一点．求证：(1)∠BOC>∠A；
(2)(BC+CA+AB)∠5+∠1+∠2)=-2(∠1+∠2)①
同理∠B=-2(∠2+∠3)．②
①+②得：2(∠1+∠2+∠3)+2∠2=-(∠A+∠B)，即+2∠2=-(∠A+∠B)，
故∠2=∠DCE=．
解法2∵∠4=-∠B，∠5=-∠A，
∴∠4+∠5=-．
又∠2=-(∠4+∠5)，
∴∠2=．
解法3∵∠4=∠1+∠A，∠4=-∠1，
∴∠1+∠A=-∠1．2∠1=-∠A即∠1=∠B．
同理∠3=∠A．
∠2=-(∠1+∠3)=．
解法4 -2∠4-2∠5=∠A+∠B，-2(∠4+∠5)=，2(∠4+∠5)=，∠4+∠5=；
∴∠2=．
2．证法1在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AC=AB．
在△ABD和△ACE中，
∵∠BAD=∠CAE，AB=AC，∠B=∠C，
∴△ABD≌△ACE．AD=AE．
证法2 在△ABD和△ACE中，
∵∠B=∠C，∠BAD=∠CAE，
∴∠ADB=∠AEC，
∴∠ADE=∠AED．AD=AE．
3．证法1如图，过E、F分别作BC的垂线，交BC和BC的延长线于M、N．

∵∠EMD=∠FND=，∠1=∠2，DE=DF，
∴△MDE≌△NDF，EM=FN．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=∠NCF．又∠EMB=∠ENC=，
∴Rt△EMB≌Rt△FNC．BE=CF．
证法2如图，在BC上取点G，使DG=DC，连结EG，则△EDG≌△FDC．

∴EG=CF，∠DEG=∠DFC．
∴EG∥AF，∠3=∠4．
又AB=AC，∴∠B=∠4．∴∠B=∠3．
∴BE=EG．BE=CF．
变更命题发散
1．分析：如图，延长AM至D，使AM=MD，通过证明△CMD≌△AMB，将∠BAM=∠CDM和∠CAM集中到同一个三角形ACD中，进行证明．

证明：延长AM到D，使MD=AM，连结CD，则△AMB≌△DMC．
∴∠1=∠D，AB=DC，∵AB>AC，
∴CD>AC．∠DAC>∠D．
故∠CAM>∠BAM．
2．∵AB>AC，∴∠ACB>∠ABC.
∴∠ABD>∠ACE．
又∵AB=BD．∴∠D=∠DAB=(-∠ABD)，
同理得：∠E=(-∠ACE)，
∴∠E>∠D．在△ADE中，
∵∠E>∠D，∴AD>AE．
3．在△ABC中，∵AB>AC，∴∠C>∠B，∴DF垂直平分AB，
∴AD=BD．∴∠B=∠1．同理∠C=∠2．
∵∠ADE=∠B+∠1=2∠B，∠AED=∠C+∠2=2∠C，
∴∠AED>∠ADE．AD>AE．
变换发散
1．分析：用对称法．本题利用角平分线是角的对称轴，在AC上截取，得到，从而构造与△ABP两个轴对称图形．
证明：在AC上截取连结．
∵AB=，∠1=∠2，AP=AP，∴△ABP≌△(SAS)．
∴∠B=∠3，BP=．AB+BP=AC，，
∴AB+BP=．
又∵
∴∠4=∠C．∠B=∠3=2∠C．
2．分析：考虑本题是等边三角形，如图，以B为旋转中心，将△PBC旋转，则BC和BA重合，△BPC落到的位置，连．

∵，
∴为等边三角形．
∴，而与AP构成一个三角形，
∴AP<，即APP上，
则在中，，
∴BP+PC>PA．若，
则落在AP上，这时，
∴PA≤BP+PC．
逆向发散
1．∵AD∥EC，
∴∠A=∠CEB．在△CEB中，
∵CE>CB，∴∠B>∠CEB．∴∠B>∠A．
2．在△CBD中，∠ADB>∠C．∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C．∴∠ADB>∠BAC，
又∵∠ABC>∠ABD，
∴∠ADB>∠ABD.
构造发散
1．分析：本题通过作辅助线来构造全等三角形，过E作ED∥AC，那么∠1=∠2=∠B，BE=ED=CF，不难证得△EDM≌△FCM，于是EM=FM．
证明：过E作ED∥AC交BC于D．
∵ED∥AC(作法)，
∴∠1=∠2(两直线平行，同位角相等)，
∠EDM=∠FCM(两直线平行，内错角相等)．
∵AB=AC(已知)，∴∠B=∠2(等边对等角)．
∴∠B=∠1(等量代换)，EB=ED(等角对等边)．
又∵EB=CF(已知)．∴ED=CF．在△EDM与△FCM中，
∵ED=CF，∠EDM=∠FCM，∠EMD=∠EMC(对顶角相等)，
∴△EDM≌△FCM(AAS)．∴EM=FM．
2．分析：本题在BA上截取BF=BC，构造新△AFD，通过证明△ADF≌△ADE达到将线段AE的位置转移到AF，使得AB=AF+FB转化为AB=AE+BC．
证明在BA上截取BF=BC，连结DF．
在△BCD和△BFD中，∵BD=BD，∠CBD=∠FBD，CB=FB，
∴△BCD≌△BFD．∴∠BCD=∠BFD．
∵BC∥AE，∠C+∠E=．
又∠BFD+∠AFD=，
∴∠AFD=∠E．在△AFD和△AED中，
∵∠AFD=∠E，∠FAD=∠EAD，AD=AD，
∴△AFD≌△AED．∴AF=AE．
∵AB=AF+FB．AB=AE+BC．
纵横发散
1．解△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABD=∠BCE=．
又BD=CE．∴△ABD≌△BCE，∴∠BAD=∠CBE，
从而∠BFG=∠BAD+∠ABE=∠CBE+∠ABE=，
∠FBG=．∴BF=2FG，即的值为2．
2．作法图，
(1)作∠DBE=α．
(2)在BD上截取BA=c．
(3)过A作AC上BE交BE于C．
则△ABC为所求作的三角形．

证明:由作法得，∠DBE=α，BA=c，AC⊥BE，∠ACB=Rt∠．
∴△ABC即为所作的三角形．
综合发散
1．(1)证△AGC≌△AHB；
(2)证△AOB≌△AOC．
2．延长BE到,使=BE，连结．
3．∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ABC=∠ACB=①
又∵∠ABE=∠BCF=∠CAD，②
①-②得：∠BAE=∠CBF=∠ACD．
∵∠EDF=∠CAD+∠DCA，∠DEF=∠ABE+∠BAE，∠DFE=∠FBC∠BCF．
∴∠EDF=∠DEF=∠DFE．
∴△DEF是等边三角形．
4．如图，延长AE到F，使EF=AE，连接DF，则△DEF≌△CEA(SAS)．

∴DF=AC，∠1=∠C，
∵BD=DC，AC=BC，
∴AC=CD=BD．
∴∠CAD=∠2，DF=BD=AC．
∵∠ADB=∠C+∠CAD，
∴∠ADB=∠1+∠2．
∴△ADB≌△ADF(SAS)．
∴∠BAD=∠FAD，即AD平分∠BAE．
5．如图，在AB上截取AE=AC，连接DE，

∵AD平分∠A，
∴△ACD≌△AED．
∴CD=DE，∠ACD=∠AED．
∵AB=AC+CD，
∴DEBE，∠EDB=∠EBD．
∴∠AED=2∠B，即∠ACB=2∠B．

【提高能力测试】
题型发散
1.(1)(B) (2)(A) (3)(C) (4)(B) (5)(B) (6)(B)
2.(1) (2) (3),△ABC,△ABD,△BCD. (4)7
以下四种证法省略．
2．证法1如图5—77，过点E作EK⊥BC，垂足为K．
∵E是∠C平分线，∠BAC=，
∴EK=EA．又∠1和∠2同是∠ACB的余角，
∴∠1=∠2，∠2=∠3，∠1=∠3．
∴AE=AO=EK，又FO∥BC，
∴∠AFO=∠EBK,∠AOF=∠EKB=，
∴Rt△AOF≌△EKB．
∴AF=EB．故AE=BF．
证法2如图过点O作OG∥AB交BC于G，则BGOF是平行四边形．

∴BF=GO．
∵∠AOE=∠1+∠3，∠AEO=∠B+∠2，
又∠BAC=，AD⊥BC，
∴∠B=∠1．∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠2=∠3．∴∠AOE=∠AEO．
∴AE=AO．
在△AOC和△GOC中，
∵∠CGO=∠B=∠1，∠2=∠3，OC为公共边，
∴△AOC≌△GOC，AO=GO=AE=BF，故AE=BF．
3．证法1在DC上截取DE=DB，连结AE．
∵AD⊥DE，BD=DE．AB=AE．∴∠B=∠AEB．
∵∠B=2∠C．∴∠AEB=2∠C．
∴∠C=∠EAC．∴AE=EC=AB．
∵DC=DE+EC，∴AB+BD=DC．
证法2如图，延长CB到F，使BF=AB，连AF．

在△AFB中，
∵AB=BF.∴∠F=∠BAF．
∵∠ABC=∠F+∠BAF，即∠ABC=2∠F，
又∠ABC=2∠C，∠F=∠C．
∴AC=AF．又AD⊥FC，FD=DC．
∵FD=FB+BD，FD=AB+BD，即AB+BD=DC．
变换发散
1．分析：∵AB=AC，本题以等腰三角形ABC的顶点A为旋转中心，顶角(∠BAC)为旋转角，旋转到，的位置．
欲证，连，只须证．
∵，又
∴．∴.
问题得证．
证明：以A为顶点，以AC为边，在△ABC外作，在上取，连．
∵AB=AC．∴．
∴，连
∵，∴
∴．∴
∵．∴PC>PB.
2．证法1在△中，
∵，AC平分，∴AC是等腰的顶角平分线，
即，.
又在△AMC和中，
∵，，AM=AM，
∴．
∴．故平分.
证法2可通过证明，从而得可证得，平分．
逆向发散
提示连结AD，AD是等腰三角形的顶角平分线，本题应用角平分线的两个互逆定理证明.
构造发散
1．分析：因有∠BGE=∠F，欲证BG=CF可考虑证明其所在的三角形全等，而△GBE和△CFE明显不全等，故须构造含已知角和欲证线段为边的直角三角形，或使夹已知角的另一对边相等，又注意到条件中有BE=CE，若作BP⊥EF，CQ⊥EF，须证BP=CQ，然此易由Rt△BPE≌Rt△CQE得到．
证明：过B、C分别作BP⊥EF，CO⊥FE.
垂足分别为P、Q，则BP∥CQ阅．
∴∠PBE=∠QCE，而BE=CE，
∴Rt△QPE≌Rt△CAE．BP=CQ．
又EF∥DA，AD平分∠A，∠BGE=∠F．
∴Rt△BPG≌Rt△CQF．故BC=CF．
2．证明：在CB上截取CE=CA，连DE，构造新三角形△CDE．
在△ACD和△ECD中，
∵AC=EC，∠1=∠2，CD=CD，
∴△ACD≌△ECD．∴AD=DE，∠CED=∠A．
∵∠A=2∠B，∴∠CED=2∠B．
∴∠B=∠EDB.∴DE=EB=AD．
∵BC=CE+EB，∴BC=AC+AD．
3．分析：延长BD到F，使DF=BC连结EF，则BE=BF，构造△DEF，欲证△BCE≌△FDE．
证明：∵∠B=，BE=BF，∴△EFB是等边三角形．
∴∠B=∠F．∵BC=DF，BEFE，
∴△BCE≌△FDE．∴CE=DE．
变更命题发散
1．∵，
∴．
∵AB>AC，∴BE>CF．
2．连结AC、AD．在△ABC和△AED中，
∵AB=AE，∠B=∠E，BC=ED，∴△ABC≌△AED．
∴AC=AD．在△ACF和△ADF中，
∵AC=AD，AF=AF，CF=DF，∴△ACF≌△ADF．
∴∠AFC=∠AFD．∵∠CFD=，
∴∠AFC=．∴AF⊥CD．
3．连结AC、AD．
∵AB=AE，∠B=∠E，BC=ED，∴△ABC≌△AED(SAS)．
∴∠1=∠2，AC=AD(全等三角形的对应角、对应边相等)．
∴在△ACD中，∠3=∠4．
∴∠1+∠3=∠2+∠4，即∠BCD=∠EDC．
迁移发散
1．解：依题意，得方程组：
解方程组，得：a=3(cm),b=4(cm)，c=5(cm)．
2．设AC=a，AB=2a，周长AB+BC+CA=l，则：
AB+BC+CA=2a+a+BC．
∵BC>a，∴AB+BC+CA>2a+a+a=4a．∴
又BC直角三角形全等．
证明：如图，在BC上截取BE=AB，作EF⊥AC于F，连结AE．

∵BA⊥AC，EF⊥AC，
∴AB∥EF．∴∠BAE=∠2．
又∠BAE=∠1，∴∠1=∠2．
在Rt△ADE和Rt△AEF中，
∵AE=AE，∠1=∠2，
∴Rt△ADE≌Rt△AEF．
∴AD=AF．
∵BE=AB，EC>FC，
∴AD+BE+FC>AF+AB+FC,
即AD+BC>AB+AC．
2．(1)∵△ACD和△CBE是等边三角形，
∴AC=CD，CE=CB．
∵∠ACD=∠ECB=，∴∠BCE=．
∴∠ACE=∠DCB．
∴△ACE≌△DCB．(SAS).∴∠AEC=∠DBC．
在△MCE和△NCB中，
∵∠AEC=∠DBC，CE=CB，∠MCE=∠NCB=，
∴△MCE≌△NCB．
∴MC=NC．
又∠MCN=,∴△CMN是等边三角形．
(2)∵∠NMC=∠ACM=，∴MN∥AB．
3．∵AB>AC，在AB上截取AF=AC，连结DF，则△ADF≌△ADC，
∴DF=DC．
在△DBF中，BF>DB-DF，
∴BF>DB-DC．
∵BF=AB-AC．即有AB-AC>DB-DC．
4．(1)如图，

∵AM⊥MN，BN⊥MN，
∴∠AMC=∠BNC=．
∵∠ACB=.
∴∠MCA+∠NCB=．
∴∠ACM=∠CBN．又AC=CB，
∴△ACM≌△CBN，MC=BN，AM=CN．
∴MN=AM+BN．
(2)若过C在△ABC内作直线MN，当MN经过等腰直角△ABC的底边AB的中点时，MN、AM、BN之间满足关系式MN=AM-BN．
证明略．
5.(1)如图延长BO交AC于点D．

∵∠BOC是△OCD的外角，
∴∠BOC>∠1．
同理可证∠1>∠A，
∴∠BOC>∠A．
(2)连结OA．在△ABO中，
∵AB