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数列不等式的证明
四川省邻水县三古乡初级中学——曹小霞
摘要: 数列是数学中的重要内容之一，它从等差、等比数列入手涉及到通项与求和，以及数列的性质（有界性、单调性、周期性、整除性），还常常与函数叠代，集合分拆，初等数论等其它知识交织成综合题.而把数列知识与不等式的知识整合起来，形成的数列不等式的相关问题，既是高考的重点，又是竞赛数学研究的焦点.数列不等式的证明要调动证明不等式的各种方法，同时结合数列的相关知识，题型错综复杂值得深入研究.本文主要通过对例题的分析，探索解决数列不等式的一般规律，目的是使复杂的问题明朗化.本文主要运用数学归纳法，三个重要不等式以及数列的性质，探索归纳有关证明数列不等式的一般规律.
关键词: 数列 不等式

1．引言
数列是数学中的重要内容之一，它从等差、等比数列入手涉及到通项与求和，以及数列的性质（有界性、单调性、周期性、整除性），还常常与函数叠代，集合分拆，初等数论等其它知识交织成综合题.而把数列知识与不等式的知识整合起来，形成的数列不等式的相关问题，既是高考的重点，又是竞赛数学研究的焦点.数列不等式的证明要调动证明不等式的各种方法，同时结合数列的相关知识，题型错综复杂值得深入研究.本文主要通过对例题的分析，探索解决数列不等式的一般规律，目的是使复杂的问题明朗化.
2．数列性质的应用
例1[11]．设满足 ① 的实数序列而是由下式定义的实数列， ② 证明：⑴对任意成立.⑵对于中任意，存在具有性质①的序列，使得由它构成的序列②中有无穷多个下标n满足.
分析与证明 由题设易知

求前n项和，显然，但无法保证，因此可将其作为恒等变形：

=

为证问题（2），关键是选取以便计算，可将特殊化，取为常数，此时为等比数列.因而，取，则
此时只要就有无穷多个下标，使
因此当时，取就有，故证得满足题设条件的序列存在.
例2．数列的前n项和为，,, , .
求的通项公式，并证明
解：当n=1时，
当时，
（n）

故
例3.设为常数数列的通项公式为 （n）
若对任意不等式恒成立，求的取值范围.
解：
因为 等价于 ①
⑴当时
①式即为此式对…恒成立
⑵当, …时 ①式即为
即 此式对 …恒成立，
综上①式对任意成立，有0 ，故的取值范围为
例4[5].求证： （其中）.
证明：构造数列模型，
则有
=
=

所以数列为递增数列.
又因为，
故（其中），即原不等式得证.
例5[11].如果（）,证明：对于一切，都有

证明：因为，
所以 ，
.
又因为
=
由于
=
=

故
由以上例题我们可以看到，数列不等式的证明中，在涉及数列与常数比较大小的问题上，我们常借助于数列的有界性去解决；在涉及到数列前后两项大小已知的问题上，常常采用数列的单调性去解决.在解决不等式问题时，亦可构造数列把不等式问题转化为数列问题，然后借助数列的性质去解决，从而使证明过程更简捷、明了.
3．三个重要不等式的应用
3.1排序不等式
设， ，则有

3.2 平均不等式
对于任意个正数，，
令

这样的分别叫做这个正数的算术平均值,几何平均值，调和平均值，次幂平均值，其中均为大于的自然数.四种平均值之间，具有如下关系： .当且仅当时等号成立.
3.3 柯西不等式
设和为任意实数
则
当且仅当时等号成立.
例1[9].设，且对任意正整数都有，证明：

证明：因 则 又因为

于是
所以

=

例2[11]．设是正实数数列，对所有的满足条件证明对所有的，
证：先证一个更一般的命题，设都是正数，且①
若对所有的 ②
则有 事实上，设，由①和②可得

改变求和次序得 由此可得两边同时平方再利用柯西不等式，可得
令，则

例3[2].设是个互不相等的自然数，证明：

证法一：设是的一个排列，且，
又
由反序和乱序和得： 当时，等式成立.
又

证法二：是个互不相等的自然数，
由
即：
又
即

例4[2].设,都是正数，且
证明:
证明：由柯西不等式有
又=

故命题得证.
综上述可以看到，三个不等式在涉及数列不等式中的运用非常灵活，同时也具有较强的技巧性，在运用过程中常涉及复杂的变形以及巧妙的构造数列.运用三个不等式解数列不等式的关键就是构造出相关模型，使复杂问题简单化、模式化,从而达到解题的目的.
4 .数学归纳法的应用
例1[9] .数列的各项均为正数，且，证明：对一切且，都有.
证明：（1）当时，=，结论成立.
（2）假设当时结论成立，
因=在上是增函数，故在上也是增函数，因此在的条件下，有

=
=
=
即当时结论成立.
由（1）（2）知，对一切且，结论成立.
例2[9] .数列中， （）求证：
分析：易知，在假设条件下去推时，
①
要继续放大①的右边，就必须知道小于什么？即要知道大于什么？而在中，无法推知大于什么，但从①式可知，欲使，只要 ②
于是考虑如果，即，那么②式必成立，因此可将命题强化为在原条件下，证明 ③证明：⑴当时，知③成立.
⑵假设当时，有
则当时，，当且仅当，即时等号成立，由于，故上式等号不能取，于是，又
=+
（时取等号，此时，故知）
故，故由数学归纳法知加强命题③式成立，从而原命题成立.
例3[2] .设数列满组足和其中是一个给定的正整数，试证明：
证明：因==
故有 我们用数学归纳法证明对所有的有
①
假设对，①式成立，于是

=

=

由上两式知，①式对也成立，因此①式对所有成立.由①式中取便得
故原式得证.
例4[11]．设非负实数满足条件求证：对任意均有
证明：由，可得 ①
下面用数学归纳法证明对一切，有
固定，当时

由①易知，当时命题成立.假设当时命题成立，分两种情况：
⑴ 若，则由①有
由 知 ，
由此得到
⑵ 若则，由条件得
根据假设有
所以
综合⑴⑵知，当时命题成立，所以对一切均有
例5[12]．数列满足求证：存在正数，使得
证明：用数学归纳法可以证明 ①
即为所求.
事实上，当时，有可知①显然成立.设当时，①式成立.于是

由此可得，

即 ②
另一方面，由归纳假设
所以 ，
即 ③
由②和③得，当时，①也成立，从而完成了对①的归纳证明.
综上述可以看到，在解决与自然数有关的命题时，我们常采用数学归纳法证明，由于题型变化多端，在证明的过程中常常会通过加强命题以及跳跃式归纳法来达到原命题的证明.另外某些命题所给条件不能直接运用数学归纳法时，我们也可以采用构造法，构造一个函数或者数列，然后再运用数学归纳法证明.从而使解题过程简洁明了.
结束语
证明数列不等式的途径多种多样，快速而有效解决问题的关键在于方法.以上归纳出了常见的几种解决办法：在涉及数列与常数比较大小的问题上，通常采用数列的有界性去解决；在涉及数列前后两项大小已知的问题上，常常采用数列的单调性去解决；在涉及两数列乘积的问题时，常借助三个重要不等式；在解决与自然数有关的命题时，常采用数学归纳法证明.通过本文的归纳总结，找出了解决数列不等式的常见方法，从而使这类问题的解决具有一定的规律可寻.

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