导数的综合应用.doc

一、课前小测摸底细
1.【课本典型习题，P37B组第2题】已知某商品进货价为a元/件，根据以往经验，当售价是b（）元/件，可卖出c件．市场调查表明，当售价下降时，销量可增加，现决定一次性降价，销售价为多少元时，可获得最大利润．
2. 【2014辽宁高考理第11题】当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3. 【浙江省“六市六校”联盟2014届高考模拟考试】若对任意的都成立，则的最小值为 　　 ．
4.【基础经典试题】设，函数，若对任意的，都有成立，则的取值范围为 ．
5. 【改编者2014全国1高考理第11题】已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、课中考点全掌握
考点1 与函数零点有关的参数范围问题
【题组全面展示】
【1-1】方程x3－3x＝k有3个不等的实根, 则常数k的取值范围是　　　　　　
【1-2】已知函数有且仅有两个不同的零点，，则（　　）
A．当时，， B．当时，，
C．当时，， D．当时，，
【1-3】【北京市东城区2014届第一次模拟考试（理）】若函数有零点，则k的取值范围为_______.
【1-4】【2014年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）】已知函数，若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围为 ．
【1-5】已知函数，其中，则零点的个数是 ( )
A．0个或1个 B．1个或2个 C． 2个 D．3个
综合点评：与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图像，讨论其图象与轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题．
【基础知识重温】
1．方程有实根函数的图象与轴有交点函数有零点．
2．求极值的步骤：
①先求的根（定义域内的或者定义域端点的根舍去）；
②分析两侧导数的符号：若左侧导数负右侧导数正，则为极小值点；若左侧导数正右侧导数负，则为极大值点.
3．求函数的单调区间、极值、最值是统一的，极值是函数的拐点，也是单调区间的划分点，而求函数的最值是在求极值的基础上，通过判断函数的大致图像，从而得到最值,大前提是要考虑函数的定义域.
4．函数的零点就是的根，所以可通过解方程得零点，或者通过变形转化为两个熟悉函数图象的交点横坐标.
【方法规律技巧】
1.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.
2.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.
【新题变式探究】
【变式一】【浙江省湖州中学2013学年第一学期高三期中考试】函数在区间上恰有一个零点，则实数的取值范围是_____.
【变式二】已知是函数的零点,,则:①；②；
③;④，其中正确的命题是（　 　）
A．①④ B．②④ C．①③ D．②③
【综合点评】借助导数工具，判断函数大致图象并结合零点相关性质求解．
考点2 与不等式恒成立、有解、无解等问题有关的参数范围问题
【题组全面展示】
【2-1】已知函数,若||≥,则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【2-2】已知是自然对数的底数，若函数的图象始终在轴的上方，则实数的取值范围 .
A． B．∪
C． D．∪
【2-3】已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 ．
【2-4】若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 .
【2-5】函数对于总有≥0 成立，则的取值集合为 　 ．
综合点评：恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．
【基础知识重温】
不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理．
：
【方法规律技巧】
含参数的不等式恒成立、有解、无解的处理方法：①的图象和图象特点考考虑；②构造函数法，一般构造，转化为的最值处理；③参变分离法，将不等式等价变形为，或，进而转化为求函数的最值.
【新题变式探究】
【变式一】已知函数．
(I)讨论的单调性；
(Ⅱ)若在(1，+)恒成立，求实数a的取值范围．
【变式二】已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)若,在区间恒成立,求a的取值范围．
【综合点评】恒成立问题的两种常见解题思路：①参变分离；②构造函数．
考点3 利用导数证明、解不等式问题
【题组全面展示】
【3-1】若的定义域为，恒成立，，则解集为（ ）
A． B． C． D．
【3-2】函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意x∈R，f(x)＋f′(x)>1，则不等式ex·f(x)>ex＋1的解集为(　　)
A．{x|x>0}
B．{x|x<0}
C．{x|x<－1或x>1}
D．{x|x<－1或0 B．{x|－11} D．{x|x>1}
【3-4】已知是可导的函数，且对于恒成立，则( )
A． B．
C． D．
【3-5】设函数的导函数为，对任意都有成立，则（　　）
A． B.
C. D. 与的大小不确定
综合点评：利用导数求解不等式问题，往往需要构造函数，通过导数研究函数的性质，从而求解不等式．
【基础知识重温】
无论不等式的证明还是解不等式，构造函数，运用函数的思想，利用导数研究函数的性质（单调性和最值），达到解题的目的，是一成不变的思路，合理构思，善于从不同角度分析问题，是解题的法宝.
【方法规律技巧】
1.利用导数方法证明不等式f(x)>g(x)在区间D上恒成立的基本方法是构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数h(x)>0，其中一个重要技巧就是找到函数h(x)在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口
2.利用导数解不等式的基本方法是构造函数，通过研究函数的单调性 ，从而解不等式的方法.
【新题变式探究】
【变式1】已知
（1）求函数在上的最小值；
（2）对一切恒成立，求实数的取值范围；
（3）证明：对一切，都有成立.
【变式二】已知函数.若,求证:.
【综合点评】利用求函数最值的方法来证明不等式，但是注意是的充分不必要条件；适当对不等式等价变形，通过换元法，转化为含有一个未知数的不等式，并通过构造函数，并且利用导数研究的单调性，达到证明的目的.
考点4 利用导数研究生活中的优化问题
【4-1】某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是，则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是(　　)
A. 150 B. 200 C. 250 D. 300
【4-2】若一球的半径为r，作内接于球的圆柱，则其圆柱侧面积最大为(　　)
A. 2πr2 B. πr2 C. 4πr2 D. πr2
【4-3】某公司规定：对于小于或等于150件的订购合同，每件售价为200元，对于多于150件的订购合同，每超过一件，则每件的售价比原来减少1元，则使公司的收益最大时应该订购的合同件数是（    ）
A. 150 B. 175 C. 200 D. 225
【新题变式探究】
【变式一】某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为元，并且每件产品需向总公司交元的管理费，预计当每件产品的售价为元()时，一年的销售量为万件．
（1）求该分公司一年的利润 (万元)与每件产品的售价的函数关系式；
（2）当每件产品的售价为多少元时，该分公司一年的利润最大？并求出的最大值．
【变式二】某水产养殖场拟造一个无盖的长方体水产养殖网箱，为了避免混养，箱中要安装一些筛网，其平面图如下，如果网箱四周网衣（图中实线部分）建造单价为每米56元，筛网（图中虚线部分）的建造单价为每米48元，网箱底面面积为160平方米，建造单价为每平方米50元，网衣及筛网的厚度忽略不计.
（1）把建造网箱的总造价y（元）表示为网箱的长x（米）的函数，并求出最低造价；
（2）若要求网箱的长不超过15米，宽不超过12米，则当网箱的长和宽各为多少米时，可使总造价最低？（结果精确到0.01米）
【综合点评】选择适宜的变量，将实际问题用函数表达式表示，利用导数求函数的最值，再回到实际问题中去．
三、易错试题常警惕
易错典例：已知函数.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）设，若对任意，均存在，使得＜，求的取值范围．
易错分析：（Ⅰ）忽视定义域致误；（Ⅱ）对全称量词和特称量词理解不深刻致误．
温馨提醒：(1)研究函数问题应竖立定义域优先原则；(2) 任意，指的是区间内的任意一个自变量；存在，指的是区间内存在一个自变量，故本题是恒成立问题和有解问题的组合.
【变式】【浙江省温州市十校联合体2014届高三10月测试数学试题（理科）】已知函数（为自然对数的底数）
（1）求函数的单调区间；
（2）设函数，是否存在实数，使得？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.

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