1、对称的知识结构
1、 对称类型的理解:
轴对称? （亦称双侧对称或反射对称）；
中心对称（亦称旋转对称 ）；
平移对称。
(1) 一般性解释
轴对称图形 ——? 如果沿某条直线L对折，对折的两部分是完全重合的，这样的图形称为轴对称图形。L—对称轴。
如果是两个图形有此性质，那么我们称这两个图形呈轴对称（或反射对称）。
中心对称——如果图形以某个中心点旋转一定角度后，形成一个和旋转前完全相同的图形，那么这样的图形称为中心对称图形（或旋转对称图形）；
平移对称——如果有一个图形依照一定的轨迹
2、平移一段距离之后，与另外一个图形完全重合，那么这两个图形呈平移对称性。
(2) 数学化解释
轴对称的解释：
一个物体，即一个空间图形，如果在关于给定平面E的反射下变成其自身，我们就说它是关于E是对称的。取垂直于E的任意直线L 以及L 上的任意一点P，那么此时在L 上（在E的另一侧）就存在一点P’（且只存在一点P’）与E有同样的距离。仅当P在E上，点P才与P’重合。
中心对称的解释：
首先定义映射：每当确立了一个规则，而由此规则每一点P都有一个像P’与之对应，这就定义了一个映射。那么，假如绕一垂直轴旋转某度角，这一旋转将空间中的每一个点
3、P变为另一点P’，因此也就定义了一个映射。
其次，对中心对称进行定义：
如果图形在绕轴L的所有映射之下（不仅仅一次，包括无穷多次），仍能变为自身，那么我们就称该图形关于轴L有中心对称。
(3) 对数学化解释之再抽象——“群”的引出
建立在前面的分析基础上，数学家逐渐抽取出对称的最本质操作（得到对称的过程，而不仅仅是对称本身），最终得到“群”的基本定义。
从对称的一般性解释到对称的数学化解释，再到对数学化解释的再抽象，经历了一个对数学对象的不断抽象的过程。
从本质上说，这是一个对象逐步获得统一的过程：
一般性解释
4、阶段 （轴对称与中心对称尚属两个泾渭分明的概念）。
数学化解释阶段 （已看出用映射概念将两者统一的苗头）。
“群”的提出阶段 （数学家已经抛开各种对称的类型，而是直接抽取出得到对称的操作过程以及其中最本质的性质，即单位元、互逆性、传递性）。
2 对称类型的辨析:
能识别出不同类型的对称（轴对称图形、中心对称图形）并能深刻意识到两种对称之间的差别:
轴对称的本质是翻转，中心对称的本质旋转;
能找出轴对称图形的轴;
能识别复杂旋转对称图形的旋转角度;
能区分不同对称图形之间的细微差别（如180度的旋转对
5、称是否是反射对称）;
图形的对称复合，轴对称与中心对称之间的相互转化与依存，对称与不对称之间的相互转化与依存关系
3 对称的解析理解：
坐标轴的引入、坐标意义下对称点的求法（涉及到直线方程、斜率等）;
解析意义下的某些对称图形（圆、椭圆等）及其性质研究。
通过这一过程，主要培养学生对几何代数化的认识，建立对对称图形性质的深刻理解。从而在真正意义上，感受到经验的直观美与形式的数学美之间的统一。
4 对称作为一种数学思想方法的理解：包括对代数、算术中的对称形式的理解:
数、式、形上所具有的对称;让学生自己挖掘、探究:为什么会具有这样的对称?如果具有这样的对称，有什么好处?
利用对称思想解决一些源于生活或源于数学内部本身的问题。
通过这一过程让学生感受并理解对称真正地是一种数学的文化、人类的文化。
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