1、数学中的对称美对称性是数学美的最重要的特征。 几何中的轴对称、中心对称,代数中的许多运用都能给人以美感。发掘学生对数学的审美能力,这对引发学生的数学兴趣和学习上都有很大的帮助。许多数学教师在教学中关注怎样利用数学中的对称美,提高学生学习数学的兴趣,提高解题的能力。我认为,数学教师在教学中,更要注意引导学生利用对称美提出问题,进行数学创新。这样做,有利于学生跳出题海,掌握学习的主动权。一 :代数中的对称美:常出现在规律运算、数列运算、函数运算中例如1: “回文数”是一种数字,也是一种对称数。如:98789,这个数字正读是98789,倒读也是98789,正读倒读一样,所以这个数字就是回文数。计算1
2、11111111111111111的值解:我们最常见的一组算式:11=1 1111=12111111=1232111111111=1234321从上述计算中得出对称规律可得:111111111111111111=12345678987654321例如2、计算 :1 + 2 + 3 + + 100引导学生利用数学对称美来解。解:设x = 1 + 2 + 3 + + 100倒过来x = 100 + 99 + + 1 + 得2x = 101 100 x = 5050即:1 + 2 + 3 + + 100 = 5050例如3、已知正比例函数 与反比例函数 的一个交点是(2,3),则另一个交点是( ,)
3、.分析:因为正比例函数 与反比例函数 都是关于原点中心对称图形,从而它们的交点也是关于原点中心对称。所以另一个交点是( 2,3).例如4、 如图,请写出ABC中各顶点的坐标在同一坐标系中画出直线m:x=-1,并作出ABC关于直线m对称的ABC若P(a,b)是ABC中AC边上一点,请表示其在ABC中对应点的坐标 分析:直线m:x=-1表示直线m上任意一点的横坐标都等于-1,因此过点(-1,0)作y轴的平行线即直线m画出直线m后,再作点A、C关于直线m的对称点A、C,而点B在直线m上,则其关于直线m对称的点B就是点B本身解:(1)ABC中各顶点的坐标分别是A(1,4)、B(-1,1)、C(2,-1
4、)(2)如右图,过点(-1,0)作y轴的平行线m,即直线x=-1(3)如右图,分别作点A、B、C关于直线m对称的点A(-3,4)、B(-1,1)、C(-4,-1),并对顺次连接A、B、C三点,则ABC即为所求(4)观察发现三组对称点的纵坐标没有变化而横坐标都可以表示为2(-1)减去对应点的横坐标所以点P的对应点的坐标为(-2-a,b)。注意:2(-1)中的-1即对称轴x=-1若对称轴不是x=-1,而是y=2,相信聪明的你是一定能作出对称的三角形的,也一定能发现其中坐标变化的规律二、几何中的对称美:“对称”在数学上的表现则是普遍的,几何上平面的情形有直线对称(轴对称)和点对称(中心对称),空间的
5、情形除了直线和点对称外,还有平面对称。正偶边形既是中心对称图形又是轴对称, 正奇边形不是中心对称图形但是轴对称。比如正方形既是轴对称图形(以过对边中点的直线为轴),以是中心对称图形(对角线的交点为对称中心),圆也是。例如1:在锐角AOB内有一定点P,试在OA、OB上确定两点C、D,使PCD的周长最短分析:PCD的周长等于PC+CD+PD,要使PCD的周长最短,根据两点之间线段最短,只需使得PC+CD+PD的大小等于某两点之间的距离,于是考虑作点P关于直线OA和OB的对称点E、F,则PCD的周长等于线段EF的长作法:如图作点P关于直线OA的对称点E;作点P关于直线OB的对称点F;连接EF分别交O
6、A、OB于点C、D则C、D就是所要求作的点证明:连接PC、PD,则PC=EC,PD=FD在OA上任取异于点C的一点H,连接HE、HP、HD,则HE=HPPHD的周长=HP+HD+PD=HE+HD+DFED+DF=EF而PCD的周长=PC+CD+PD=EC+CD+DF=EFPCD的周长最短例如2:作图设计,村庄A、B位于不平行的两条小河的两侧,若要在两条小河上各架设一座与河岸垂直的桥,并要使A到B的路程最近,问桥应架在何处?解:此题看来很复杂,但利用对称的原理来稍做改变,问题就可以迎刃而解了设河岸为L1、L2、L3、L4,L1/L2,L3/L4,作AA1L1,BB1L3,使AA1的长为L1与L2之间的距离连接A1B1交L2于A2,交L3于B2,则A2、B2就是加桥的地址,再从A2、B2出发作两座桥对称美在数学解题中有重要的应用,在解题过程中注意到对称性,则可以以简驭繁,化难为易,提高解题效率,达到事半功倍的效果.