特殊四边形教案.doc

特殊的平行四边形知识点一：矩形的定义要点诠释：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。知识点二：矩形的性质要点诠释：矩形具有平行四边形所有的性质。此外，它还具有如下特殊性质： 1.矩形的四个角都是直角；2.矩形的对角线相等；推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。3.矩形是轴对称图形也是中心对称图形。知识点三：矩形的判定方法要点诠释：1. 用矩形的定义： 一个角是直角的平行四边形是矩形； 2.有三个角是直角的四边形是矩形；3.对角线相等的平行四边形是矩形；4.对角线互相平分且相等的四边形是矩形。知识点四：菱形的定义要点诠释：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.知识点五：菱形的性质要点诠释：菱形具有平行四边形一切性质，此外，它还具有如下特殊性质：1.菱形的四条边相等。2.菱形的两条对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角。3.菱形是轴对称图形也是中心对称图形，两条对角线所在的直线是它的两条对称轴。知识点六：菱形的判定办法要点诠释：1.用菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；2.四条边都相等的四边形是菱形；3.对角线垂直的平行四边形是菱形；4.对角线互相垂直平分的四边形是菱形。知识点七：正方形的定义要点诠释：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。知识点八：正方形的性质要点诠释：1.正方形的四个角都是直角，四条边都相等；2.正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；3.正方形既是轴对称图形也是中心对称图形。知识点九：正方形的判定方法要点诠释：1.正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。2.有一组邻边相等的矩形是正方形；3.有一个角是直角的菱形是正方形.归纳整理，形成认知体系1 复习概念，理清关系2集合表示，突出关系 3性质判定，列表归纳平行四边形矩形菱形正方形性质边对边平行且相等对边平行且相等对边平行，四边相等对边平行，四边相等角对角相等四个角都是直角对角相等四个角都是直角对角线互相平分互相平分且相等互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角判定两组对边分别平行；两组对边分别相等；一组对边平行且相等;两组对角分别相等；两条对角线互相平分.有三个角是直角;是平行四边形且有一个角是直角;是平行四边形且两条对角线相等.四边相等的四边形；是平行四边形且有一组邻边相等；是平行四边形且两条对角线互相垂直。是矩形，且有一组邻边相等；是菱形，且有一个角是直角。对称性只是中心对称图形既是轴对称图形，又是中心对称图形面积S= ahS=abS=注：d1,d2为菱形两条对角线的长度。S= a2类型一：矩形1如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，已知AC=6 cm，BOC=120求：（1）ACB的度数；（2）求AB、BC的长度思路点拨：本题是对矩形性质的考查（1）要求ACB的度数，而已知BOC120，在BOC中，由矩形的性质，知OBOC，从而OBC=ACB由此可求出ACB（2）在RtACB中，对角线AC=6cm，第（1）问已求出ACB=30，因此AB即可求出然后利用勾股定理求出BC的长总结升华：矩形问题通常通过对角线将其转化为等腰三角形或直角三角形来解决举一反三：【变式1】已知ABCD的对角线AC，BD相交于O，ABO是等边三角形，AB4cm，求这个平行四边形的面积。思路点拨：（1）先判定ABCD为矩形。（2）求出RtABC的直角边BC的长度。（3）计算矩形ABCD的面积为ABBC解析：四边形ABCD是平行四边形。ABODCO又ABO是等边三角形 DCO也是等边三角形，即AOBOCODO ACBD ABCD为矩形。AB4cm，ACAO+COAC8cm在RtABC中，由勾股定理得：BCcm矩形ABCD的面积为：ABBC16cm2【变式2】如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AEBD于E，则：（1）图中与BAE相等的角有_；（2）若AOB=60，则AB：BD_。图中DOC是_三角形（按边分）类型二：菱形2如图，BD是ABC中ABC的平分线，DE/BC交AB于E，DF/AB交BC于F.试判断四边形BFDE的形状并说明理由. 思路点拨: 此题条件中有角分线有平行线，一般会有等腰三角形存在.解析：DE/BC，DF/ABDE/BF，DF/EB，2=3.四边形EBFD是平行四边形又BD平分ABC1=21=3 BE=ED四边形BFDE是菱形.总结升华：菱形的四条边都相等，对角线互相垂直且平分一组对角。在解决菱形的有关问题时，经常要用到菱形的这些特殊性质。举一反三：【变式1】已知如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F。试判断四边形AFCE的形状并说明理由. 【答案】： EF是AC的垂直平分线 AE=EC，1=2 平行四边形ABCD可得AE/FC 1=3 3=2 在直角三角形EOC和FOC中，OEC=OFC CE=CF AE=CF AE=FC且AE/FC 四边形AFCE是菱形【变式2】(贵州贵阳)如图，在平行四边形ABCD中，分别为边的中点，连接（1）求证：（2）若，则四边形是什么特殊四边形？ 请证明你的结论解：（1）在平行四边形ABCD中，AC，ADCB，ABCD E，F分别为AB，CD的中点 AE=CF （2）若ADBD，则四边形BFDE是菱形 证明：， 是，且是斜边（或） 是的中点，由题意可知且， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形【变式3】已知如图，菱形ABCD中，E是BC上一点，AE、BD交于M，若AB=AE,EAD=2BAE，求证：AM=BE。【答案】设BAE为x度，EAD为2x度，由菱形ABCD可知AD/BC且BD平分ABC，则AEB=EAD=（2x），ABD=DBC=x在三角形ABE中，x+2x+2x=180x=36ABM中，ABM=BAM=36 ， AM=BMEBM中，BME=BEM=72 ， BM=BE AM=BE类型三：正方形3.（黄冈中考）已知：如图，点是正方形的边上任意一点，过点作交的延长线于点。求证： 思路点拨：证明两条线段相等的方法有很多种，而本题中DE, DF分别在DAE与DCF中，结合正方形的性质，我们可以证明DAE与DCF全等，利用全等三角形的对应边相等来说明。举一反三：【变式1】（青岛市中考）已知：如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CECG，连接BG并延长交DE于F（1）求证：BCGDCE； （2）将DCE绕点D顺时针旋转90得到DAE，判断四边形EBGD是什么特殊四边形？并说明理由。【答案】（1）证明：四边形为正方形 BCCD，BCGDCE90 CGCE， BCGDCE（2）答：四边形EBGD是平行四边形 理由： DCE绕点D顺时针旋转90得到DAE CEAE CGCE CGAE ABCD，ABCD， BEDG，BEDG， 四边形EBGD是平行四边形 【变式2】如图B、C、E是同一直线上的三个点，四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形，连接BG、DE.（1）观察猜想BG与DE之间的大小关系，并证明你的结论.（2）在图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请指出，并说出旋转过程；若不 存在，请说明理由.【答案】（1）BG=DE 四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形， GC=CE，BC=CD，BCG=DCE=90 BCGDCE BG=DE （2）存在. BCG和DCE BCG绕点C顺时针方向旋转90与DCE重合【变式3】如图2，在梯形纸片ABCD中，AD/BC，ADCD。将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点处，折痕DE交BC于点E，连接。（1）求证：四边形是菱形（2）若BC=CD+AD，试判断四边形ABED的形状，并加以证明。解析：（1）根据题意可知CD=，=CDE，=CED。 因为AD/BC，所以=CED，所以CDE=CED, 所以CD=CE 同理=， 故CD=CE=， 所以四边形是菱形。（2）当BC=CD+AD时，四边形ABED为平行四边形。 证明：由（1）知CE=CD，而BC=CD+AD，则BE=AD，又因AD/BE。 所以四边形ABED为平行四边形。【变式4】如图3所示，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD相交于点O。若不添加辅助线，要使得四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是_。【答案】此题为开放性题目，答案不唯一。由“AB=BC=CD=DA”可以判断出四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质可得出需增加的条件为：AC=BD或BAD=90或ABC=90或BCD=90或CDA=90等。总结升华：特殊四边形主要根据其特有性质来判定，做题时，一定要找准边、角、对角线三个要素的特殊关系。类型四：添加辅助线构造特殊图形4证明：（1）等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于腰上的高。（2）等腰三角形底边延长线上任一点到两腰的距离差等于腰上的高。思路点拨: 本题是一道文字题，要先画图，并由图形写出已知、求证、要证一条线段是另两条线段的和或差经常使用的是“截长补短”的方法。解析：（1）命题等价于：如图，已知ABC中,AB=AC,P是BC上任一点，PEAB于E, PFAC于F, BDAC于D,求证：PE+PF=BD. 证明：过B作BGFP交FP的延长线于G, BDF=DFG=BGF=90, 四边形BGFD为矩形。 BD=FG=PF+PG.且BGDF. C=PBG,又因为AB=AC,所以ACB=ABC, PBG=ABC,又因为PEB=90=BGP,PB为公共边, PG=PE PE+PF=PG+PF=GF=BD 即PE+PF=BD（2）命题等价于：如图，已知ABC中,AB=AC,P为BC延长线上一点,PEAB于E, PFAC交AC的延长线于F,CDAB于D, 求证PE-PF=CD 证明：连接AP,由PFAC,PEAB,CDAB 知, 又因为 所以， 所以CD+PF=PE,即PE-PF=CD总结升华：根据题意适当作出辅助线是解决问题的关键。举一反三：【变式1】如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点,PQBC于点Q，PRBE于点R，则PQ+PR的值是（ ）.A. B. C. D. 【答案】A.解：如图，过点C作CHBD,则PQ+PR=CH（等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于腰上的高）。因为CB=CD，CHBD,BCD=90.所以CH=BD（在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半）。因为,所以.所以PQ+PR=.故选A.【变式2】正方形ABCD的边长是4厘米，长方形DEFG的长DG=5厘米，问长方形的宽DE为多少厘米？【答案】因为长方形面积=长宽，现在已知长方形DEFG的长，要求宽，所以先求长方形DEFG的面积.而正方形ABCD面积已知，能找出正方形ABCD面积与长方形EFGD面积之间的关系即可.观察两个图形的重叠部分发现，如果连结AG，如图2，那么在正方形ABCD中，三角形AGD的底和高分别为正方形边长AD和CD，所以它的面积是正方形ABCD面积的一半.同样在长方形EFGD中，三角形AGD的底为长方形的长DG，高为长方形的宽DE，所以它的面积也是长方形DEFG面积的一半.这样就找到了长方形DEFG与正方形ABCD面积之间的关系.连结辅助线AG，因为三角形AGD的面积是正方形ABCD面积的一半，也是长方形DEFG面积的一半.所以长方形DEFG面积=正方形ABCD面积=44=16（平方厘米）长方形DEFG的宽DE=165=3.2（厘米）学习成果测评基础达标：一、 填空题1用一把刻度尺来判定一个零件是矩形的方法是_2如果边长分别为4cm和5cm的矩形与一个正方形的面积相等，那么这个正方形的边长为_cm3已知菱形两条对角线的长分别为5cm和8cm，则这个菱形的面积是_cm24如图1，DEBC，DFAC，EFAB，图中共有_个平行四边形5若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件_(写一个即可)，使四边形ABCD是菱形6如图2，在平行四边形ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，ABO的周长为17，AB6，那么对角 线ACBD _ 7以正方形ABCD的边BC 为边做等边BCE，则AED的度数为_8如图3，延长正方形ABCD的边AB到E，使BEAC，则E _ 9已知菱形ABCD的边长为6，A60，如果点P是菱形内一点，且PBPD2那么AP的长为_.10在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是A(2，5)，B(3，1)，C(1，1)，在第一象限内找一点D，使四边形ABCD是平行四边形，那么点D的坐标是_二、选择题11如图4在平行四边形ABCD中，B=110，延长AD至F，延长CD至E，连结EF，则EF( )A110 B30 C50 D70 12菱形具有而矩形不具有的性质是 ( )A对角相等 B四边相等 C对角线互相平分 D四角相等13如图5，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点若OE=3 cm，则AB的长为 ( )A3 cm B6 cm C9 cm D12 cm14已知：如图6，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点若AB2，AD4，则图中阴影部分的面积为 ( )A8 B6 C4 D315将两块能完全重合的两张等腰直角三角形纸片拼成下列图形：平行四边形（不包括菱形、矩形、正方形）矩形正方形等边三角形等腰直角三角形 ( )A B C D16如图7是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是直角，数据如图所示(单位：mm)，则该主板的周长是 ( )图7A88 mm B96 mm C80 mm D84 mm 17四边形ABCD，仅从下列条件中任取两个加以组合，使得ABCD是平行四边形，一共有多少种不同的组合？（ ）ABCD； BCAD； AB=CD； BC=AD。A2组 B3组 C4组 D6组18下列说法错误的是（ ）A一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形。B每组邻边都相等的四边形是菱形。C对角线互相垂直的平行四边形是正方形。D四个角都相等的四边形是矩形。三、阅读理解题19如图8，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，阅读下列材料，连结AC、BD，由三角形中位线的性质定理可证四边形 EFGH是_。对角线AC、BD满足条件_时，四边形 EFGH是矩形。对角线AC、BD满足条件_时，四边形 EFGH是菱形。对角线AC、BD满足条件_时，四边形 EFGH是正方形。 图8四、解答题20如图9，四边形ABCD是菱形，对角线AC8cm , BD6cm, DHAB于H，求：DH的长 图921已知：如图10，菱形ABCD的周长为16cm，ABC60，对角线AC和BD相交于点O，求AC和BD的长。五、证明题22如图11，在正方形ABCD中，P为对角线BD上一点，PEBC，垂足为E，PFCD，垂足为F，求证：EFAP23如图12，在ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DEAB,DFAC,垂足分别是E,F.试说明:DE=DF只添加一个条件,使四边形EDFA是正方形.请你至少写出两种不同的添加方法.(不另外添加辅助线,无需证明24如图ABCD中，AE平分BAD交BC于E，EFAB交AD于F，试问：四边形ABEF是什么图形吗？请说明理由。25以ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形,即ABD、BCE、ACF,请回答下列问题：（1）四边形ADEF是什么四边形？并说明理由（2）当ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？（3）当ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在答案与解析： 基础达标： 一、填空题1、先测量两组对边是否相等，然后测量两条对角线是否相等。2、2 （提示：用面积相等列方程） 3、20 （提示：菱形面积等于对角线乘积的一半） 4、3 （提示：两组对边平行的的四边形是平行四边形） 5、ACBD （提示：根据菱形的判定方法填写一个即可） 6、22 （提示：平行四边形对边相等对角线互相平分）7、150或30 （提示：分向正方形内部或外部做等边三角形两种情况） 8、22.5（提示：连接BD，由等腰三角形性质得出 ）9、4 或2 （提示：由菱形的性质P在AC上） 10、（2 ，5） （提示：画图，应用平行四边形对边相等的性质即可）二 、选择题11、D（提示：用三角形内角和是180度及平行四边形对角相等）12、B（提示：菱形的边有特性）13、B（提示：OE是三角形的中位线）14、C（提示：阴影部分是菱形）15、A（提示：分短直角边、长直角边及斜边重合；还要考虑翻转后重合）16、B（提示：分割成若干个矩形）17、C（提示：根据平行四边形的判定定理）18、C（提示：菱形）三、阅读填空19、 平行四边形 ACBD ACBD ACBD且 ACBD 四、解答题20、4.8 cm 21、AC4cm , BD4cm五、证明题22、证明：连结PC正方形ABCD ABBC ，ABDDBC =45 BCD90BPBP ABPCBPAP = CPPEBC，PFDC四边形PECF为矩形EFPCEFAP23、证明：连结ADABAC，D为BC的中点AD为BAC的平分线DEAB ， DFACDEDFBAC90, DEDF24、菱形四边形ABCD为平行四边形ADBC ，23ABEF四边形ABEF为平行四边形2113ABBE四边形ABEF为菱形25、解析：四边形ADEF是平行四边形；若四边形ADEF为菱形，ADAF，所以ABAC所以当ABC满足ABAC时，四边形ADEF是菱形；由（1）得BACBDE60ADE，当ADE0时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存时，此时，BAC60所以当BAC60时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在能力提升： 一、选择题1、下列命题中错误的是 （ ）A平行四边形的对边相等 B两组对边分别相等的四边形是平行四边形C矩形的对角线相等 D对角线相等的四边形是矩形 2、顺次连接等腰梯形四边中点所得四边形是（ ）A.菱形 B.正方形 C.矩形 D.等腰梯形3、如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动至点A停止设点P运动的路程为x， ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则ABC的面积是（ ）A10 B16 C18 D20 4、如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（ ） A B C D5、下列命题正确的是（ ）A对角线相等且互相平分的四边形是菱形 B对角线相等且互相垂直的四边形是菱形C对角线相等且互相平分的四边形是矩形 D对角线相等的四边形是等腰梯形6、如图，分别为正方形的边，上的点，且 ，则图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为（）A B C D7、如图，菱形ABCD中，B60，AB2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则AEF的周 长为（ ） A B C D 二、填空题1、如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知，AB=2.5，则AC的长为_。2、四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个 “赵爽弦图”（如图）。如果小正方形面积为1，大正方形面积为25，直角三角形中较小锐角为， 那么长直角边与斜边的比值=_。3、将一张等边三角形纸片沿着一边上的高剪开，可以拼成不同形状的四边形，试写出其中一种四边形 的名称_ 4、如图，在的矩形方格图中，不包含阴影部分的矩形个数是_个5、如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP = BC，则ACP度数是_6、如图，在三角形中，、分别是、上的点， 沿线段翻 折，使点落在边上，记为若四边形是菱形，则是的_ 7、如图，梯形中，且，分别以 为边向梯形外作正方形，其面积分别为，则之间的关系 是_ 三、解答题1、宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，心理学测试表明，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协 调、匀称的美感。现将同学们在教学活动中，折叠黄金矩形的方法归纳出以下作图步骤 （如图所示）：第一步：作一个任意正方形ABCD；第二步：分别取AD、BC的中点M、N，连接MN；第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E；第四步：过E作交AD的延长线于F ，请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形，（可取AB=2）。2、如图,已知:在四边形ABFC中，=90的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且CF=AE(1)试探究,四边形BECF是什么特殊的四边形;(2)当的大小满足什么条件时,四边形BECF是正方形?请回答并证明你的结论. (特别提醒:表示角最好用数字)答案与解析： 一、选择题1、D （应该将四边形改为平行四边形） 2、A （平行四边形再加上一组邻边相等）3、A （根据特殊点的值求边长） 4、A （根据菱形的判定定理进行判断）5、C （菱形、矩形、等腰梯形的对角线具有不同的特点） 6、A （可以确定三角形全等后再求面积） 7、B （连接AC得到两个等腰三角形，用三线合一即可）二、填空题1、5 （用矩形的性质以及含有30度的直角三角形的特性） 2、0.8 （用勾股定理、正方形的性质求出各边的长）3、平行四边形（或矩形或菱形）4、25（分单个、两个、三个、四个考虑）5、22.5 （用等腰三角形的底减45度） 6、角平分线 (根据菱形的性质进行判断) 7、（利用勾股定理）三、解答题1、证明：在正方形ABCD中，取AB=2 N为BC的中点， NC= 在中， 又NE=ND， CE=NE-NC=, , 故矩形DCEF为黄金矩形。2、（1）四边形BECF是菱形。 证明：EF垂直平分BC，BF=FC,BE=EC,12ACB=901+4=903+2=903=4 EC=AEBE=AECF=AEBE=EC=CF=BF四边形BECF是菱形 （2）当A=45时，菱形BECF是正方形证明：A=45, ACB=90。1=45EBF=21=90菱形BECF是正方形