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第三章 电磁级联簇射理论

3.1 电磁级联簇射和强子簇射
高能电子和光子在介质中产生的电子-光子簇射, 称为电磁级联簇射。它是由高能电子的轫致辐射和高能光子的对产生所形成的级联过程。
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g

图3.1 电磁级联簇射过程示意图
如图3.1所示，入射光子在介质中通过对产生过程产生正负电子对, 正负电子又在介质中引起轫致辐射, 轫致辐射产生的g光子又可以产生正负电子对，……, 这样, 随着穿入介质深度的增加, 簇射粒子(即次级电子和光子)的总数将迅速增加。 在电子-光子簇射发展过程中, 簇射总粒子数增加而其平均能量降低, 这样，在介质的一定深度处, 电子和光子的总数将达到极大值, 然后由于电子、光子的能量基本上已降低到不足以再产生新粒子，级联过程逐渐停止。此后电子主要通过电离过程损失能量，光子主要通过光子-电子散射效应消耗能量，使得簇射粒子的平均能量逐渐降低，簇射过程进入衰减阶段，总粒子数逐渐减少, 最后簇射粒子全部被介质吸收。
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n
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n
m-
n
p-
p+
Hadronic
interactions
Primary Nuclei
Target atmosphere atom
Electromegnetic Cascade
p0
n
p
K

图3.2 强子簇射过程示意图
强子簇射是强子与介质的原子核发生一系列的非弹性强相互作用造成的。如图3.2所示，当高能强子进入介质时, 它们和介质的原子核发生非弹性强相互作用, 产生多个次级强子。高能次级强子又可以在介质中产生新的核作用, ……, 这种过程就是强子级联过程, 它形成强子簇射。在强子-原子核非弹性作用中，产生的次级粒子主要是核子和p介子(p+、p-、p0)，另外还有K介子和超子。次级核子在介质中继续发生非弹性强相互作用，能量大于10GeV的次级荷电p介子(p+p-)也可以继续与介质的原子核发生非弹性强相互作用。由于荷电p介子的寿命只有2.603´10-8秒，所以能量较低的荷电p介子会很快衰变成为m子和中微子：
p+ ® m+ + nm
p- ® m- +
K介子也会衰变成m子和中微子：
K+ ® m+ + nm
K- ® m- +
衰变产物中的m子寿命较长(约2.197´10-6秒)，一般不会在介质中发生衰变，而是通过电离过程损失能量；中微子则几乎不在介质中发生任何作用而直接通过介质。
由于中性p介子(p0)的平均寿命只有8.3´10-17秒，所以强子-原子核非弹性强相互作用中产生的p0会立即衰变成为一对光子：
p0 ® g + g
这些高能g光子会在介质中产生电磁级联簇射，使簇射粒子数迅速增加。与电磁级联簇射过程相似，在强子级联簇射发展过程中，初始阶段次级粒子的数目增加、平均能量降低，在簇射极大之后，粒子数逐渐减少，最后簇射过程全部终止。
2.2 关于电磁级联簇射理论
2.2.1 簇射理论所要解决的问题
假定一个初始能量为E0的电子或光子入射到物质层中。在与入射点相距为t的深度处，取一个与入射方向相垂直的平面，将此平面分成无限小的面元ds1,ds2,ds3,……, dsm；把立体角分为无限小的立体元dw1, dw2, dw3,……, dwn；把由0到E0的能域分成无限小的间隔dE1, dE2, dE3, ……, dEl。
簇射理论所要面临的问题是：在深度t处，产生Mp和Mg个光子或电子的几率是多少？在这些粒子中的每一个粒子，其空间坐标位于dsm内、角度坐标位于dwn内、并且能量位于dEl间隔内的几率又是多少？
这样一个问题在数学上几乎是一个不可解的复杂问题，为了求得这个问题的解，通常作某些简化。

2.2.2 问题的简化
1．把簇射的纵向发展和横向发展分离开来
在高能情况下，由电子对效应产生的次级电子的发射角，与轫致辐射效应形成的g光子的发射角都非常小；此外，电子的散射角也很小，至少是在其原子序数Z低的介质中如此。因此，簇射基本上是沿粒子入射的方向发展。这样，我们就有可能把簇射的纵向发展和横向发展作为两个独立的问题分别处理。即首先忽略由于横向扩展而引起的粒子的路径的增长，确定出描写簇射的函数对于所通过物质的深度t的依赖关系；然后再研究簇射粒子围绕入射轴的横向扩展，以及簇射粒子的角分布。
2．只考虑簇射的平均行为
在有关描述簇射的许多问题中，我们将只涉及簇射的平均行为，也就是说，我们希望知道，在深度t处的物质层中形成的能量大于E的光子数和光子数的平均值。
下面我们定义一些用于描述簇射的纵向发展的平均行为的量：
p(E,t)dE：在深度t处能量处于E到E+dE间隔内的平均电子数，称为电子的微分谱。
g(E,t)dE：在深度t处能量处于E到E+dE间隔内的平均光子数，称为光子的微分谱。
P(E,t)=：在深度t处能量大于E的平均电子数，称为电子的积分谱。
G(E,t)=：在深度t处能量大于E的平均光子数，称为光子的积分谱。

2.2.3 A近似与B近似
对于簇射问题，即使作了上述简化即只考虑簇射纵向发展中的平均行为，在数学上也是很困难的。因此，只要有可能，在解决问题的过程中要尽量作简化。

1．A近似
在簇射过程中起主导作用的是轫致辐射和电子对产生过程。因此当我们仅限于考虑比临界能量高的能域时，可以用A近似来处理簇射问题。在A近似下：
⑴忽略Compton效应；
⑵不考虑碰撞损失（即电离损失）；
⑶如果能区为E>>137 mec2Z-1/3，则可以用完全屏蔽的渐进公式来描述辐射现象和电子对产生。
在A近似下，如果介质的厚度是以辐射长度为单位，则在高能范围内，上述过程的微分几率表达式，实际上是与原子序数无关。这样，A近似的簇射理论对于所有的介质将给出完全相同的结果。

2．B近似
当粒子的能量进入临界能量区域时，Compton效应仍然可以忽略，但是，对于碰撞过程引起的能量损失则必须加以考虑。在这一能域，才采用B近似来处理簇射问题。在B近似下：
⑴忽略Compton效应；
⑵电离损失用一常数能量耗散Ec（临界能量）来描述，即每个辐射长度电离损失为Ec。
⑶采用完全屏蔽条件下的渐进公式来描述辐射现象和电子对产生过程。
如果以辐射长度作为介质厚度的度量单位，以临界能量Ec作为能量的度量单位，则由B近似所得到的计算结果，对于所有的元素都是合用的。
B近似所作的基本假设，对于轻元素（例如空气）已被很好的证实；然而对于重元素（如铅）在临界能量区域，辐射损失的几率渐进表达式所给出的结果约为实验数据的1.5倍，而电子对产生的几率表达式所给出的结果只是实验数据的1/3。当能量低于临界能量时，Compton效应和碰撞过程均对簇射粒子的产生和吸收有相当大的贡献。在这种情况下，理论计算变得十分复杂。

2.2.4 扩散方程
卡尔逊(Carlson)与奥本海默(Oppenheimer)最早把解析方法用于簇射问题。他们对于粒子在无限薄的介质层dt的产生和吸收的各种过程作了考虑，得到了描述每个能量间隔内的电子数和光子数随深度变化的方程组，然后对元过程的几率表达式进行简化，再来求解这些方程组。后来兰道(Landau)与鲁默(Rumer)等人将这种解析方法进行扩充和完善，并已证明它是处理簇射问题的有效的方法。
下面我们简要地介绍这一方法，在介绍这一方法之前，先回顾一下各元过程的微分几率。

1．各元过程的微分几率
⑴单位辐射长度内碰撞过程（电离损失）的微分几率jcol(E, E¢)
已知电荷为ze、速度为bc、能量为E的粒子，经过单位等效厚度的介质层，发生传递给原子电子以能量为E¢¾ E¢+d E¢的碰撞过程的微分几率为：

如果经过介质层的厚度为单位辐射长度X0，则有
jcol(E, E¢)= X0Fcol(E, E¢)
其中

⑵单位辐射长度内轫致辐射过程的微分几率
已知在完全屏蔽条件下（E>>137mec2Z-1/3），能量为E的电子经过单位等效厚度介质发生轫致辐射的微分几率为：

其中
v= E¢/E
如果经过介质的厚度为单位辐射长度，则有
jrad(E, E¢)= X0Frad(E, E¢)
∵v= E¢/E， ∴dv=d E¢/E， 即d E¢=Edv
则
jrad(E, E¢)d E¢=
令
yrad(v)=
其中

则有
jrad(E, E¢)d E¢=yrad(v)dv=

⑶单位辐射长度内Compton散射过程的微分几率
已知能量为E的光子发生Compton散射的微分几率为

则经过单位辐射长度介质发生这一过程的微分几率为
jcom(E, E¢)= X0Fcom(E, E¢)

⑷单位辐射长度内对产生过程的微分几率和总几率
能量为E的g光子形成正负电子对，其中正电子的动能为E¢¾ E¢+d E¢的微分几率为（在完全屏蔽条件下，即E>>137mec2Z-1/3）：

经过单位辐射长度的介质发生这一过程的微分几率为：
jpair(E, E¢)d E¢= X0Fpair(E, E¢)d E¢
=
=ypair(v)dv
=
发生这一过程的总几率为：

在完全屏蔽条件下，mpair为一常数，记作m0
mpair=X0
=
=

2．电子数的变化
在深度t处能量处于E¾E+dE间隔内的电子数为p(E,t)，光子数为g(E,t)。当辐射再穿过一无限薄的深度dt后，则在E¾E+dE间隔内的电子数将由于以下效应而变化：
⑴具有能量为E¢( E¢>E)的光子，由于电子对效应和Compton散射，将产生一定数量的能量处于E¾E+dE间隔内的电子，其数目为：

其中jgp(E¢,E)是单位辐射长度内，能量为E¢的光子形成能量为E¾E+dE间隔内的电子的几率。这一过程可能是由于电子对产生过程，或是由于Compton效应而发生，因此有

其中jcom(E¢,E)是单位辐射长度内，能量为E¢的光子产生能量为E的次级电子的对产生过程的微分几率。由于在每个对产生过程中会产生两个电子，因此在jpair之前有一个因子2。jcom(E¢,E¢-E)是单位辐射长度内，能量为E¢的光子发生Compton散射，形成具有能量(E¢-E)的散射光子的几率，其中E为反冲电子的能量。
⑵具有能量为E¢( E¢>E)的电子，由于辐射损失和碰撞过程（电离损失）而产生一定数目的能量处于E¾E+dE间隔内的电子数目为：

其中jpp(E¢,E)是单位辐射长度内，能量为E¢的电子产生能量为E¾E+dE间隔内的电子的几率。这一过程可能是由于辐射过程，在该过程中电子损失能量(E¢-E)。或是由于碰撞过程，在该过程中，两个相撞电子之中一个以能量E离开碰撞点。因此有

⑶某些能量原来处于E¾E+dE间隔内的电子，由于辐射过程和碰撞过程而损失能量，结果这些电子的能量离开了E¾E+dE的间隔。这些电子的数目为：

其中

第一个积分代表辐射的贡献，第二个积分代表碰撞过程的贡献。
综上所述，可以求得电子数随深度t变化的方程式为：

3．光子数的变化
在深度t处原来处在E¾E+dE能量间隔内的光子数为g(E,t)。当辐射再穿过一无限薄的深度dt后，光子数将由于以下过程而变化：
⑴具有能量为E¢( E¢>E)的电子，由于辐射过程而产生能量处于E¾E+dE间隔内一定数目的光子，其数目为：

其中jpg(E¢,E)代表每单位辐射长度内的能量为E¢的电子产生能量在E¾E+dE间隔内的光子的几率，这只有辐射过程才能够产生，因此有

⑵具有能量为E¢( E¢>E)的光子，由于某种过程而产生能量处于E¾E+dE间隔内一定数目的光子，其数目为：

其中jgg(E¢,E)代表每单位辐射长度内的能量为E¢的光子产生能量在E¾E+dE间隔内的光子的几率，这只有是由于Compton散射而产生，因此有

⑶某些能量原来处于E¾E+dE间隔内的光子，由于电子对产生和Compton散射而被吸收，其数目可以写为：

其中

为每个辐射长度内产生电子对效应和Compton散射的总几率。
综上所述，可以求得光子数随深度t变化的方程式为：

4．扩散方程
考虑到以上各种过程，可以得到电子数、光子数随深度t变化的方程式为：

对此方程组的求解过程可参阅B.Rossi的《High-Energy Particles》(1952)一书，这里直接给出方程组在A近似和B近似下的解。

5．扩散方程在A近似下的通解
在A近似下，扩散方程的通解为：

·通解中常数a1与a2的确定
假设一束电子和g光子入射到介质中，以p(E,0)dE代表t=0时能量处于E¾E+dE间隔内每秒入射的电子数，g(E,0)dE代表t=0时能量处于E¾E+dE间隔内每秒入射的光子数。则初始条件p(E,0)，g(E,0)可用具有相同幂指数的量来表示：

代入扩散方程的通解，便可得到a1与a2。
·相应于各种s值的函数均有表可查，请参阅B.Rossi的《High-Energy Particles》(1952)一书第296页。
·簇射年龄参数s的物理意义
簇射年龄参数“s”反映了簇射发展的不同阶段，由B.Rossi书296页表可知：
当s<1，l1>0. 簇射粒子数随介质厚度t增加；
s=1，l1=0. 簇射粒子数达到极大；
s>1，l1<0. 簇射粒子数随介质厚度t减少；
s®∞，l1=-m0=-0.773

6．在A近似下，扩散方程在单电子或单光子入射情况下的解
·能量为E0的单电子入射时
微分谱：

函数最大值及相应最佳厚度：

·能量为E0的单电子入射时的积分谱

函数最大值及相应最佳厚度：

·能量为E0的单光子入射时的微分谱

函数最大值及相应最佳厚度：

·能量为E0的单光子入射时的积分谱

函数最大值及相应最佳厚度：

相应于各种s值的函数均有表可查，请参阅B.Rossi的《High-Energy Particles》(1952)一书第296¾297页。

7．在B近似下，扩散方程在单电子或单光子入射情况下的积分解
·能量为E0的单电子入射时的积分谱

·能量为E0的单光子入射时的积分谱

其中e0为临界能量；而

在上式中，为gamma函数，其值为：
s
D(s)
0
1.000
0.5
1.805
0.7
2.02
0.8
2.11
1.0
2.29
1.1
2.38
1.2
2.46
1.4
2.65
1.6
2.83
1.8
3.06
2.0
3.32

函数p(s,e)的表达式为：

其中f(l)函数的表达式为：
， D=0.7733
上式中大括号中的部分在l=l1(s)或s=s1(l)的情况下取值。

8．簇射粒子的横向扩展
上述对簇射的描述是一维的它只考虑了簇射的纵向发展。然而，通过对广延大气簇射的研究，和乳胶室的观测已经证实，在电子簇射中粒子也产生横向扩展。而且在某些情况下，簇射的横向扩展在其发展过程中起相当重要的作用。
有以下几种原因，可以引起簇射粒子的横向扩展：
a) 在轫致辐射过程中的电子的发射角q~；
b) 在电子对产生过程中的电子的分离角(又称开角，或发射角)q~；
c) 在电磁级联簇射中产生的次级电子，在传播过程中由于在介质中发生多次库仑散射，而使电子偏离原来的方向。
设能量为E的电子，在簇射中穿过的厚度为t（t=，以辐射长度为单位），若忽略电子的能量损失，则由于多次散射而引起的散射角的方均值为：
@= ①
其中Es==21MeV。
电子穿过厚度为t的介质后，由辐射或对产生而引起的发射角或开角q相对于多次散射而引起的散射角的比值为：
②
因此，与多次散射角相比较，由于辐射或对产生而引起的发射角或开角的贡献可以忽略（在电子簇射发展的刚开始阶段不能忽略）。
一个能量为临界能量Ec的电子，若沿纵向穿过距离为一个辐射长度的介质，则其横向扩展的距离为：
③
物理量rm称为Moliere单位，又称为特征长度，或散射长度，rm具有长度的量纲。
对于空气而言，在海平面，由于Ec=81MeV，X0=37.1g/cm2，电子的散射长度为：rm»9.6 g/cm2，接近于0.26个辐射长度，水平距离接近于79米。
由上述可见，在级联簇射理论中，必须考虑簇射粒子的横向扩展，只要把多次散射的贡献包括进去，便可建立起令人满意的三维级联簇射理论。

·结构函数的数值计算
为了描述电磁级联簇射的三维发展情况，必须给出粒子离开簇射轴的距离，及其轨迹与簇射轴之间的夹角（这些坐标分别用矢量r与q来表征），因此结构函数一般写成为p(E0,E,r,q,t)的形式在实际应用中，或是运用角结构函数p1，或是用横向结构函数p2，它们分别由下式给出：
p1(E0,E,q,t)=∫p(E0,E,r,q,t)dr ④
p2(E0,E,r,t)=∫p(E0,E,r,q,t)dq ⑤
相应的积分横向结构函数为
P2=∫p2(E0,E,r,t)dE
为了方便起见，通常采用归一化的结构函数，在B近似下：
⑥
因此有：
⑦
归一化的积分结构函数的物理意义为：在横向距离为r到r+dr的间隔内能量>E的粒子数占总粒子数的份额，它描述了簇射粒子的横向分布。
如果以“Moliere单位”作为横向距离r的度量单位来表征归一化的结构函数，则几乎消除了结构函数对物质不同种类的依赖关系。为了得到横向结构函数的数值，可以采用由Greisen（K. Greisen, Progress in Cosmic Ray Physics. Vol.3(1956)3）给出的简化近似公式：
⑨
其中Cs)为归一化因子，s为年龄参数，其量值为
⑩
C(s)也可用下述表达式近似表示：
C(s)@0.433s2(1.90-s) s<1.6
或 C(s)@0.366s2(2.07-s)5/4 s<1.8
不同年龄参数下的C(s)值如下表所示：
s
0.5
0.75
1.0
1.25
1.50
1.75
2.0
C(s)
0.16
0.29
0.40
0.45
0.41
0.28
0.16

人们通常把西村(Nishimura)、镰田(Kamata)、与Greisen所给出的描述簇射粒子横向分布的结构函数称为N-K-G函数。由公式⑨所给出的经验公式（人们通常把此公式也称为N-K-G函数），在0.6rm，仍然符合得较好。
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