一次函数(第二课时)教学设计.doc

第2课时

1.结合具体情境,体会一次函数的意义,感受其表达式的特点,知道它与正比例函数的关系.
2.能根据已知条件确定一次函数的表达式.
3.感悟函数模型,认识一次函数的应用.
◉重点:一次函数的概念及其简单应用.
◉难点:根据具体条件求一次函数的表达式.

何时能存够200元?
小明准备将平时的零用钱节约一些储存起来.他已存有80元,从现在起每个月存15元.设小明的存款数为y,从现在开始存款的月份数为x.
(1)试写出y与x之间的函数关系式.
(2)再过几个月小明同学能存够200元?
答案:(1)y=80+15x;(2)再过8个月,小明能存够200元.

　　　可准备弹簧一根,一千克的砝码四个.教师演示随着所挂物体质量的增加弹簧长度发生变化的现象,展现问题:弹簧不悬挂重物时,其长度为12 cm,重物每增加1 kg,弹簧的长度就增加0.5 cm,在弹性限度内,所挂物体的质量为x千克,弹簧的长度为y cm,你能写出y与x的关系式吗?y是x的什么函数呢?
　可用多媒体演示弹簧随着所挂物体质量的增加,弹簧长度发生变化的情景.
　一次函数的概念
　　问题导入:弹簧的长度y是x的一次函数,怎样的函数关系才是一次函数呢?让我们带着这些问题来阅读课本“例3”前面的内容,揭开一次函数的神秘面纱.
　可用多媒体演示“小刚骑自行车去上学”的情景,呈现行程问题分析图,出示课本中提出的问题.
阅读并完成课本“大家谈谈”之前的内容,思考:
1.在“一起探究”中,如何确定自变量t的取值范围?
因为s表示小刚距学校的距离,所以s≥0,故3.5-0.2t≥0,根据实际意义,时间不小于0,故0≤t≤17.5.
2.“做一做”中的函数表达式之间有什么共同点?它们与正比例函数有何异同点?
①都是自变量的一次式;②函数的表达式都是由一个正比例函数与一个常数通过加或减而成的.
相同点:都是自变量的一次式;不同点:正比例函数的常数项为0,这些函数表达式的常数项不为0.
　教师可让学生讨论以上两个问题,通过第1题,培养学生养成考虑自变量取值范围的好习惯通过第2题,培养学生的观察、分析及抽象思维能力.
归纳总结:揭示概念:一般地,我们把形如　y=kx+b　(k,b为　常数　,且k　≠0　)的函数,叫做一次函数.对于一次函数,当b=0时,它就化为　y=kx　,所以正比例函数y=kx是一次函数的特殊形式. 
思考:1.在一次函数y=kx+b中,k可以为0吗?b可以为0吗?
k不可以为0,b可以为0.
2.一次函数与正比例函数有什么关系?
一次函数包括正比例函数,正比例函数是一次函数的特殊情况(正比例函数的表达式中常数项是0).
　教师可以提出问题:你能举出一次函数的例子吗?(可以是关系式,也可以是生活中的实际例子).目的在于举一反三使学生达到对新概念的理解.
【预习自测】有下列函数关系式:①y=-x;②y=x-5;③y=x2+2;④y=.其中一次函数有 (B)
A.1个　　B.2个　　C.3个　　D.4个

　　　一次函数的应用
　可用多媒体演示课本“图21-1-1”,提出问题:你还记得等边三角形有什么性质吗?如何用等边三角形的边长表示它的高和面积呢?
阅读并完成课本中的“例3”,思考:
1.△ABC的高AD平分BC边吗?为什么?
平分,根据等腰三角形“三线合一”的性质.
2.“h是x的正比例函数,h也是x的一次函数”.这种说法是　正确　的(填“正确”或“错误”). 
3.S为什么不是x的一次函数?
因为表达式中x的次数不是1.
归纳总结:由表达式判别一次函数,只需看它是否为自变量的　一　次式. 
　预习导学部分建议教师用15分钟左右的时间完成.让学生通过知识点一的学习达成学习目标1和目标2,从而培养学生的抽象能力;通过知识点二的学习达成目标3中的感悟函数模型,认识一次函数应用的泛性.每个知识点的自学可让学生先根据自学提纲自学课本相关内容,再完成导学案预习导学相关内容,教师巡回检查,释疑解惑.

　　　一次函数的概念
在下列函数中找出一次函数,并指出其中k、b的值.
①y=4x-2;②y=;③y=-x;④y=x2+2;⑤y=x++1;⑥y=2(1-x);⑦y=.
解:一次函数:①③⑥⑦;其中k、b的值分别为①k=4,b=-2;③k=-,b=0,⑥k=-2,b=2;⑦k=,b=-.
　结合此题,建议教师让学生说一说不是一次函数的理由,通过对表达式结构的分析与比较,巩固所学,加深学生对已有知识的理解.
【变式拓展】已知函数y=(1+m)x+m-3.问:当m为何值时,
(1)此函数为一次函数?
(2)此函数为正比例函数?
解:(1)当1+m≠0,即m≠-1时,此函数为一次函数.
(2)当1+m≠0,且m-3=0,即m=3时,此函数为正比例函数.
【方法归纳交流】函数y=kx+b(k,b是常数)中,如果满足　k≠0　即为一次函数,如果满足　k≠0,且b0　即为正比例函数. 
　求一次函数的对应值
已知一次函数y=3x-5.
(1)当x为何值时y=0?
(2)当y为何值时x=5?
解:(1)当3x-5=0时,x=,即当x=时,y=0.
(2)当x=5时,y=10,即当y=10时,x=5.
　一次函数的应用
从地面到高空11千米之间,气温随高度的升高而下降,每升高1千米,气温下降6 ℃,若某处地面的气温为15 ℃,设该处距离地面x千米(0≤x≤11)处的气温为y ℃.
(1)写出y与x的函数关系式.
(2)问距离地面5千米的高空气温是多少?
(3)当气温是-18 ℃时,问此温度是在距离地面多高的地方测的?
解:(1)y15-6x.
(2)当x=5时,y=15-6×5=-15,所以距离地面5千米的高空气温是-15 ℃.
(3)当y=-18时,-18=15-6x,解得x=5.5,所以-18 ℃是在距离地面5.5千米处的地方测的.
　通过本题让学生对一次函数的函数值与自变量的对应关系有了更深的理解,体会到数学的泛应用性.
　一次函数与不等式的综合应用
某油桶有油20升,现有一进油管和一出油管,进油管每分钟进油4升,出油管每分钟出油6升,现同时打开两管.
(1)写出油桶中剩油量Q(升)与开管时间t(分钟)之间的函数关系式.
(2)求自变量t的取值范围.
(3)经过多长时间,油桶中的剩油量是8升?
解:(1)Q=20-6t+4t=20-2t.
(2)∵Q≥0,∴20-2t≥0,∴0≤t≤10.
(3)当Q=8时,8=20-2t,解得t=6,所以经过6分钟,油桶中的剩油量是8升.
　合作探究部分建议教师用20分钟左右的时间完成,备选问题根据学情选用.

1.下列函数中,是一次函数但不是正比例函数的是 (C)
A.y=-　　　　　B.y=-
C.y=- D.y=
2.已知函数y=3x+1,当自变量增加3时,相应的函数值增加 (B)
A.10　　 B.9　　　 C.3　　　 D.8
3.已知函数y=(k-1)x2+(k+2)x+k是一次函数,则k=　1　. 
4.已知一次函数y=5-x.
(1)问当x为何值时y=3?
(2)问当y为何值时x=0?
解:(1)当5-x=3时,x=.
(2)当x=0时,y=5.
5.已知某等腰三角形的周长为24(cm),一腰长为x(cm),底边长为y(cm),求:
(1)y与x的函数关系式.(2)自变量x的取值范围.
解:(1)y与x的函数关系式为y=24-2x.
(2)自变量x的取值范围是67.已知一次函数y=-x+3,当x=a时,y=5;当x=b时,y=-5;当x=3时,y=c.则a,b,c的大小关系是 (D)
A.a>b>c B.a>c>b
C.b>a>c D.b>c>a
8.小明家到学校的路程为900米,某天他从家去上学时以每分钟30米的速度行走了450米,为了不迟到,他加快了速度,以每分钟45米的速度走完剩下的路程,设当天小明上学行走t分钟时,所走的路程为s米,则当15n取何值时,y是x的一次函数?
(2)当m、n取何值时,y是x的正比例函数?
解:(1)当2-|m|=1,且m+1≠0,即当m=1,n是任意实数时,y是x的一次函数.

(2)当m=1,n+4=0,即m=1,n=-4时,y是x的正比例函数.

10.学校组织学生到距离学校6 km的海洋科技馆参观,小亮因有事没能乘上学校的包车,于是他准备在学校门口乘出租车去.出租车的收费标准是:行驶里程不超过3 km,收费8元;超过3 km,每增加1 km,加收1.8元.
(1)写出出租车行驶的里程数x(x>3,单位:km)与费用y(元)之间的关系式.
(2)小亮只有14元钱,他乘出租车到海洋科技馆,车费够不够?
解:(1)y=8+1.8(x-3)=1.8x+2.6.
(2)当x=6时,y=1.8×6+2.6=13.4<14元,因此车费够用.
　1-5题可以让学生当堂完成,以检测学生的学习效果.第6题是新定义题,第8题是实际应用题,通过训练可以提高学生应用本节知识的迁移能力和综合能力,6-9题可以让学生在课外完成,让其对所学新知识进行巩固.第10题是拓展题,也是实际应用题,难度大点,教师可组织学生合作探究,共同完成.