高三集体备课数学教案(抛物线).doc

第3节 抛 物 线
（高三一轮复习 温小鹏）
基础过关

1．抛物线定义：平面内到 和 距离 的点的轨迹叫抛物线， 叫抛物线的焦点， 叫做抛物线的准线(注意定点在定直线外，否则，轨迹将退化为一条直线)．
2．抛物线的标准方程和焦点坐标及准线方程
① ，焦点为 ，准线为 ．
② ，焦点为 ，准线为 ．
③ ，焦点为 ，准线为 ．

④ ，焦点为 ，准线为 ．
3．抛物线的几何性质：对进行讨论．
① 点的范围： 、 ．
② 对称性：抛物线关于 轴对称．
③ 离心率 ．
④ 焦半径公式：设F是抛物线的焦点，是抛物线上一点，则 ．
⑤ 焦点弦长公式：设AB是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦)
i) 若，，则＝ ， ．
ii) 若AB所在直线的倾斜角为(则＝
．
特别地，当时，AB为抛物线的通径，且＝ ．
iii) S△AOB＝ （表示成P与θ的关系式）．
iv) 为定值，且等于 ．
典型例题

例1. 已知抛物线顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点到焦点的距离为5，求抛物线的方程和n的值．
解：设抛物线方程为，则焦点是F
∵点A(－3，n)在抛物线上，且| AF |＝5
故解得P＝4，
故所求抛物线方程为
变式训练1：求顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于6的抛物线方程．
解：因为对称轴是轴，可设抛物线方程为或 ∵，∴p＝12
故抛物线方程为或
例2. 已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线l与C相交于A、B．
(1) 若，求直线l的方程．
(2) 求的最小值．
解：(1)解法一：
设直线的方程为：
代入整理得
设
则是上述关于的方程的两个不同实根，所以
根据抛物线的定义知：| AB |＝
＝
若，则
即直线有两条，其方程分别为：

解法二：由抛物线的焦点弦长公式
|AB|＝(θ为AB的倾斜角)易知sinθ＝±，
即直线AB的斜率k＝tanθ＝±，
故所求直线方程为：
或.
(2) 由(1)知，
当且仅当时，|AB|有最小值4．
解法二：由(1)知|AB|＝＝
∴ |AB|min＝4 (此时sinθ＝1，θ＝90°)
变式训练2：过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线 （ ）
A．有且仅有一条 B．有且仅有两条
C．有无数条 D．不存在
解：B
例3. 若A(3，2)，F为抛物线的焦点，P为抛物线上任意一点，求的最小值及取得最小值时的P的坐标．
解：抛物线的准线方程为
过P作PQ垂直于准线于Q点，由抛物线定义得|PQ|＝| PF |，∴| PF |＋| PA |＝| PA |＋| PQ |
要使| PA |＋| PQ |最小，A、P、Q三点必共线，即AQ垂直于准线，AQ与抛物线的交点为P点
从而|PA|＋|PF|的最小值为
此时P的坐标为(2，2)
变式训练3：一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是x2，在杯内放入一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r的取值范围是 。
解：
例4. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，两点在抛物线y＝2x2上，l是AB的垂直平分线．
(1)当且仅当x1＋x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论？
(2)当直线l的斜率为2时，求在y轴上的截距的取值范围．
解：(1)F∈l|FA|＝|FB|A、B两点到抛物线的准线的距离相等．
∵抛物线的准线是x轴的平行线，y1≥0，y2≥0，依题意y1，y2不同时为0．∴上述条件等价于
y1＝y2(x1＋x2)(x1－x2)＝0
∵x1≠x2 ∴x1＋x2＝0
即当且仅当x1＋x2＝0时，l过抛物线的焦点F．
(2)设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为y＝2x＋b，过点A、B的直线方程可写为y＝－x＋m
所以x1、x2满足方程：2x2＋x－m＝0
且x1＋x2＝－，由于A、B为抛物线上不同的两点，所以△＝＋8m＞0，即m＞－
设AB之中点为N(x0，y0)，则x0＝
y0＝－x0＋m＝＋m
由N∈l得：＋m＝－＋b
于是b＝＋m＞－＝
即l在y轴上截距的取值范围是(，＋)
变式训练4：正方形ABCD中，一条边AB在直线y＝x＋4上，另外两顶点C、D在抛物线y2＝x上，求正方形的面积．

设C、D的坐标分别为(y12，y1)，(y22，y2)( y1> y2)，则直线CD的斜率为1．
∴ ＝＝1，即y1＋y2＝1 ①
又| CD |＝＝
＝(y1－y2)
| BC |＝(y12－y1＋4恒正)
由| CD |＝| BC |，有(y1－y2)＝ ②
解①、② 得 y1＝2或y1＝3
当y1＝2时，有| BC |＝3，此时SABCD＝18
当y1＝3时，有| BC |＝5，此时SABCD＝50
∴ 正方形的面积为18或50．
小结归纳

1．求抛物线方程要注意顶点位置和开口方向，以便准确设出方程，然后用待定系数法．
2．利用好抛物线定义，进行求线段和的最小值问题的转化．
3．涉及抛物线的弦的中点和弦长等问题要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算．
4、解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，应注意焦点弦的几何性质．

课时作业
1.已知抛物线y＝2x2上两点A(x1，y1), B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，且x1x2＝, 那么m的值等于（ ）
A． B．
C． 2 D．3
2.AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是 （ ）
A．2 B．
C． D．
3.已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为 .
4.抛物线y＝x2上到直线2x－y＝4的距离最近的点是 .
x
y
O
M
l
a
N
b
5．如图，O为坐标原点，直线在轴和轴上的截距分别是和，且交抛物线于、两点．
(1) 写出直线的截距式方程；
(2) 证明：；
(3) 当时，求的大小．