均匀带电圆盘转动下的磁场分.doc

均匀带电圆盘转动下的磁场分布
西南交通大学 机械工程学院 20090994 朱鹏飞
[摘要]文章通过麦克斯韦方程导出电磁辐射公式在圆盘上任取一个带电小圆环小圆环转动形成电流电流产生电磁场利用场强叠加原理得整个带电环产生的电磁场再计算整个圆盘绕对称轴匀速转动产生的电磁场并进行适当的讨论，在此基础上增加了数字模拟下的均匀带电圆盘转动下的磁场立体分布，并加以讨论。
[关键词]均匀带电圆盘 麦克斯韦方程 推迟势 磁感应强度
引言
人们在生活和生产中利用圆盘转动数不胜数，这些圆盘一旦带上电后
就成为绕对称轴转动的均匀带电圆盘，由于转动产生电流，电流激电
磁场.这种情况可看作若干环形线电荷所激发的电徽场的叠加，这是
电磁学中的一个较重要的问题。本文采用矢势对其进行求解.先通过
麦克斯韦方程，达朗贝尔方程和洛伦兹变换条件推导出了载流圆盘周
围空间的磁场分布完整的解析表达式。进而求解转动带电圆盘的磁
场，并对结果讲行讨论.
1原理和公式的推导
1. 1波动方程绕对称轴转动在均匀带电圆盘的电磁辐射场应满足麦克斯韦方程组

在真空中,取(1)式第一式的旋度并利用第二式及得:
同样在(1)中消除电场，可得磁场的偏微分方程

1. 2电磁场的矢势和标势
在恒定场中，由的无源性引入矢势使:

在变化情况下电场与磁场发生直接关系。因而电场的表达式必然包含矢势在内，把(4)代入(1)第一式得:

该式表示是无旋场，因此它可以用标势描述

因此，一般情况下电场的表达式为:

1. 3达朗贝尔方程及求解
现在由麦克斯韦方程组推导矢势和所满足的基本方程，把(4)和(5)代入(1)中第二式和第三式并应用得:
采用洛伦兹规范
由(6)和(7)式得:
用洛伦兹规范时，和的方程具有相同形式，其意义也特别明
显。方程（8）称为达朗贝尔方程，它是非齐次的波动方程其自
由项为电流密度和电荷密度。由(8)式，电荷产生标势波动，电流
产生矢势波动。离开电荷电流分布区域后，矢势和标势都以波动形
式在空间中传播，由它们导出的电磁场和也以波动形式在空
间中传播.

对(8)式进行求解得

2匀速转动时的空间磁场
2. 1推导矢势表达式
设圆盘在xoy平面，对称轴为z轴，转动的角速度恒定不变，圆盘(厚度不计)均匀带电，电量为Q，圆盘半径为a，则电荷密度

图1薄圆盘匀速转动时的空间电磁场

在圆盘上任取一细圆环，设圆环的半径r'宽度为dr'，则由于圆环转动时产生的电流为：

由定义可知，沿闭合回路流动的电流I在r点产生的矢势为

对圆环电流I来说，由于对称性，在以Z轴为中心的周围(圆周Z=常数的平面内)上.任何一点，的大小A都应相同.因此，A应与方位角无关，为方便，我们求=0处点的，如图所示，电流元的线元为：

电流元到P点的距离为：

式中为和之间的夹角。球坐标系中任意两矢量与之间夹的公式为：

令故
将(12 ), (13), (15)代入(11)得：

(16)式中
于是（16)得：

由图可知，在球坐标电P点的，故可写作：

利用幕级数：
(20)式的分母利用幕级数展开，同时设P点在中、远区，r>>r'级数只取二级近似值：

把(21)式代入(20)式中得
于是得：
2.3求解磁感强度
由(4)式计算磁感强度如下：

其中

由(23)式有
由球坐标与直角坐标转换公式：
（25）
可将结果表示成直角坐标下的磁场表达式：

（26）
利用DTP平台制作旋转带点盘磁场三维模型如下：

图二 只画两个磁场面时

图三 多磁场面时磁场分布

3结果分析
3.1在轴线上时，由式（25）可得

该关系在图三中可清晰表示，在圆盘轴线上，随其离圆盘距离增加，磁场线分布越稀少，磁场强度越小，在圆盘中心附近磁场线密集，则此时磁场强度很大.
3.2在z=0平面上时，由式（25）可得
在圆盘上的磁场在图三中也可清晰表示，在盘上磁场方向竖直向下，磁场在半径小时分布密集，磁场强度很大，而半径增大时，磁场分布稀少，磁场强度较小，磁场大小随半径增大而减小。
3.3由数字模拟的结果可判断空间任意一点的磁场方向并间接由该点磁场密集程度判断磁场强度.

3. 3适用条件
本文的理论仅适合圆盘移去负电荷后成为的带正电体，对于由多余电子形成带负电体不适用，因为电子在高速转动时电荷会重新分布.另外，也只适用离圆心较远的空间，即讨论中、远区的电磁辐射场，即只使用于的情况，a越大，电磁场强度越大，离圆心o越远，电磁场强度越小，在无穷远处磁感应强度为o.
3.4结论
由(23)式及以上讨论，并结合图2、图3可知，绕均匀带电圆盘对称轴匀速转动时产生的电磁场是一个相当于一个平面螺线管产生的电磁场，为稳恒磁场，没有辐射的电磁场。
4讨论
通过数字模拟的方式实现了磁场的可视化，进而将磁场的各项性质同
时表达于一个图中，这种方式将复杂的公式与变量关系可视化，在物
理教学于物理学习中至关重要。通过图三一图就可将整个数学模型清
晰描述，这是其他任何工具都无法具备的优势。用该方法可研究其他
旋转带电体的磁场分布，如带电球旋转下的磁场，带电棒旋转磁场，
在磁场的定性分析中有重要应用价值。

参考文献 大学物理学 / 李元杰，陆果.—2版.—北京；高等教育出版社，2008.1