三线摆法测量物体的转动惯量-new.doc

实验 三线摆法测量物体的转动惯量

转动惯量是刚体转动惯性大小的量度，是表征刚体特征的一个物理量。转动惯量的大小除与物体质量有关外，还与转轴的位置和质量分布（即形状、大小和密度）有关。如果刚体形状简单，且质量分布均匀，可以直接计算出它绕特定轴的转动惯量。但是工程实践中，我们常常碰到大量的形状复杂，且质量分布不均匀刚体，理论计算将极其复杂，通常采用实验方法来测定。
转动惯量的测量，一般都是使刚体以一定的形式运动。通过表征这种运动特征的物理量与转动惯量之间的关系，进行转换测量。测量刚体转动惯量的方法有多种，三线摆法具有设备简单、直观、测试方便的优点。

一.实验目的
1. 学会用三线摆测量物体的转动惯量。
2. 学会用积累放大法测量扭摆运动的周期。
3. 验证转动惯量的平行轴定理。

二. 实验仪器
DH4601转动惯量测试仪，计时器，圆环，圆柱体，游标卡尺，米尺，水平仪

图1 三线摆实验示意图
三. 实验原理
图1是三线摆实验装置的示意图。上、下圆盘均处于水平，悬挂在横梁上。三个对称分布的等长悬线将两圆盘相连。上圆盘固定，下圆盘转动角很小，且略去空气阻力时，扭摆的运动可以近似的看作简谐运动。根据能量守恒定律和刚体的转动定律均可以导出物体绕中心轴OO’的转动惯量（推导过程见附录）：
（1-1）
式中各物理量的含义如下：
为下盘的质量
分别为上下悬点离各自圆盘中心的距离
为平衡时上下盘间的垂直距离
为下盘作简谐运动的周期，为重力加速度。
将质量为m的待测圆环放在下盘上，并使待测圆环的转轴与OO’轴重合。测出此时摆运动的周期和上下圆盘间的垂直距离H。那么，可以求得待测刚体和下圆盘对中心转轴OO’的总转动惯量为：
（1-2）
如果不计因重量变化而引起的悬线伸长，则有。那么，待测物体绕中心轴OO’的转动惯量为：
（1-3）
因此，通过长度、质量和时间的测量，便可以求出刚体绕某轴的转动惯量。
由理论上推得的圆环绕中心轴的转动惯量为
(1-4)
A
B
O’
O
x
图2 平行轴定理
m

C

其中，分别为圆环的内外半径。比较与的大小。
用三线摆法还可以验证平行轴定理。若质量为m的物体绕通过其质心轴AB的转动惯量为，当转轴平行移动距离x时（如图2），则此物体对新轴OO’的转动惯量为。这一结论称为转动惯量的平行轴定理。
实验时将质量均为，形状和质量分布完全相同的两个圆柱体对称地放置在下圆盘上（下圆盘有对称的两个小孔）。按上面的方法，测出两个小圆柱和下盘绕中心轴OO’的转动周期，则进一步可以求出单个圆柱体对中心转轴OO’的转动惯量：
（1-5）
如果测量出小圆柱中心与下圆盘中心之间的距离x以及小圆柱体的半径，则由平行轴定理可求得
（1-6）
比较与的大小，可以验证平行轴定理。
计时器的操作
1. 打开电源，程序预置的周期为T=30。要注意的是当计时开始时，显示的是挡光杆经过光电门的次数，当计数达到2T+1次时，计时停止并且显示具体时间（单位是秒）。例如，我们预置周期为50，按下执行键开始计时，但是显示的是挡光杆经过光电门的次数。当这个计数达到2×50+1=101次时计时停止，显示具体时间。
2. 设置周期的方法。若要设置50次，先按“置数”开锁，再按上调（或下调）改变周期T，再按“置数”锁定，此时，即可按执行键开始计时，信号灯不停闪烁，即为计时状态。当挡光杆经过光电门的次数达到设定值时，数显将显示具体时间（单位秒）。只要按“返回”即可回到上次刚执行的周期数“50”，再按“执行”键即可第二次计时。
3. 当断电在开机时，程序从头预置30次周期，须重复上述步走骤。

四.实验内容
1. 用三线摆测定圆环对通过其质心且垂直于环面轴的转动惯量。
(1) 调节底座水平：将水平仪置于底座任意两旋钮之间，调整底座上的三个旋钮，使水平仪的气泡在中间。再把水平仪放到另外两旋钮之间，调整底座上的三个旋钮，使水平仪的气泡在中间，这时底座水平。
(2)调整下盘水平：将水平仪置于下盘任意两悬线之间，调整上盘上的三个旋钮，使水平仪的气泡在中间。再把水平仪放到另外两悬线之间，调整上盘上的三个旋钮，使水平仪的气泡在中间，这时下盘水平。
(3)用游标卡尺测出上下圆盘三悬点之间的距离a和b，然后算出悬点到中心的距离r和R。
由等边三角形关系算出r和R，即
（1-7）
(4) 其它物理量的测量：用米尺测出两圆盘之间的垂直距离；用游标卡尺测出待测圆环的内、外直径2R1、2R2。
(5) 测量空盘绕中心轴OO’转动的运动周期：轻轻转动上盘（上盘有小转动杆），带动下盘转动，这样可以避免三线摆在做扭动时发生晃动。注意扭摆的转角控制在5°以内。用积累放大法测出扭摆运动的周期（测量摆动30次所需的时间）。
(6) 测量待测圆环与下盘共同转动的周期：将待测圆环置于下圆盘上，注意使两者中心重合，按上面的方法测出它们一起扭摆运动的周期。
2. 用三线摆验证平行轴定理。
(1) 用游标卡尺测出放置两小圆柱体小孔间距2x。
(2) 测出两个小圆柱体（对称放置）与下盘共同转动的周期。
五. 实验数据及其要求
下盘质量 待测圆环质量 圆柱体质量
两圆盘之间的垂直距离

表1：有关长度测量的记录表
项目

次数
上盘悬孔间距
a(cm)
下盘悬孔间距
b(cm)
待测圆环
小圆柱体直径
2（cm）
放置小圆柱体两孔间的距离
2x(cm)
内直径
2（cm）
外直径
2(cm)
1

2

3

4

5

平均值

表2：累积法测周期的数据记录表

摆动30次所需时间
（s）
下盘
下盘加圆环
下盘加两圆柱
1

1

1

2

2

2

3

3

3

4

4

4

5

5

5

平均

平均

平均

周期
（s）
=
=
=

1.根据公式（1-7）计算出和。
2.根据公式（1-3）计算出待测圆环绕中心轴OO’的转动惯量，并且根据公式（1-4）计算出理论值，并将两者进行比较。
3.根据公式（1-5）和（1-6）分别计算出单个圆柱体对中心转轴OO’的转动惯量的测量值与理论值，并将两者进行比较。
六.思考题
1. 用三线摆测量刚体转动惯量时，为什么必须保持下盘水平？
2. 在测量过程中如果下盘出现晃动对周期的测量有影响吗？如有影响，应该如何避免？
3. 三线摆放上待测物后，其摆动周期足否一定比空盘的转动周期大？为什么？
4. 测量圆环的转动惯量时，若圆环的转轴与下盘转轴不重合，对实验结果有何影响？
5. 如何利用三摆线测定任意形状的物体绕某轴的转动惯量？
6. 三线摆在摆动种受空气阻尼，振幅越来越小，它的周期足否会变化?对测量结果影响大吗？为什么？

附录
公式（1-1）的推导：
h
b1
b2
o
o1
c1
a
o2
A
B
c
如图所示，设R和r分别表示系绳点到B盘中心和A盘中心的距离，表示悬线的长度，H表示上下盘之间的垂直距离，由几何关系得到：
,
因为

利用余弦定理得
其中，φ表示∠co1b2。
所以有，
根据以上各式，可以得到h的表达式：，
因为悬线长度很长，B盘的偏转角φ很小，故上式中的，那么
又因为，所以
上式两边同时对t求倒数，有：
不计摩擦力，系统机械能守恒，即
而
所以
因为圆盘的转动能量远比其上下运动的平动能大，所以将平动能略去后上式写为：

上式两边对t求导，得
那么有，B圆盘简谐振动的角频率
因为简谐振动的周期，
由以上两个式子就可以求出：