专题六带电体在复合场中的运动.doc

专题六 带电体在复合场中的运动
本专题研究带电体在复合场或组合场中的运动．复合场是指重力场、电场和磁场三者或其中任意两者共存于同一区域的场；组合场是指电场与磁场同时存在，但不重叠出现在同一区域的情况．带电体在复合场中的运动（包括平衡），说到底仍然是一个力学问题，只要掌握不同的场对带电体作用的特点和差异，从分析带电体的受力情况和运动情况着手，充分发掘隐含条件，建立清晰的物理情景，最终把物理模型转化成数学表达式，即可求解．
解决复合场或组合场中带电体运动的问题可从以下三个方面入手：（1）动力学观点（牛顿定律结合运动学方程）；（2）能量观点（动能定理和机械能守恒或能量守恒）；（3）动量观点（动量定理和动量守恒定律）．
一般地，对于微观粒子，如电子、质子、离子等不计重力，而一些实际物体，如带电小球、液滴等应考虑其重力．有时也可由题设条件，结合受力与运动分析，确定是否考虑重力．
课时1 带电体在复合场中的平衡和直线运动

9

课时综述
1、 带电体在复合场中的平衡问题
　　依据共点力的平衡条件和重力、电场力、洛仑兹力的不同特点进行分析求解．
2、带电体在复合场中的直线运动
一般情况下，带电体在复合场中的直线运动可以是匀速、匀变速或变加速直线运动，但带电体在重力场、匀强电场和匀强磁场共同作用下做直线运动时，因重力和电场力是恒力，而洛仑兹力的大小与速率有关，故只能是匀速直线运动．
互动探究
a
b
h
例1
例1、如图所示，水平放置的两块平行金属板a、b相距为d，其电容为C，开始两板均不带电，a板接地且中央有孔．现将带电荷量为q、质量为m的带电液滴一滴一滴地从小孔正上方h高处无初速地滴下，竖直落在b板上，并把全部电荷传给b板，重力加速度为g，不计地磁场影响，并假定电荷在极板上的分布是均匀的，求：（1）第几滴液滴将在板间做匀速直线运动？（2）能够到达板的液滴不会超过几滴？

·
例2
´
´
´
´

例2、如图所示，线圈内存在有理想边界的匀强磁场，当磁场均匀增加时，有一带粒子静止于平行板电容器（极板水平内，则此粒子带何种电荷？若线圈的面积为S、匝数为n，极板间距为d，粒子的质量为m，带电量为q，求磁场磁感应强度的变化率？

例3

例3、如图所示，质量为m，电量为+q的小球以初速度v0沿着与水平面成θ角的方向射出，为保证小球沿初速度方向做直线运动，需要在某方向加上一定大小的匀强电场，试求：（1）所加匀强电场场强的最小值；（2）加了这个电场后，经多长时间小球的速度变为零?

例4、如图所示，有一水平向右的匀强电场（场强为E）和垂直纸面向里的匀强磁场（磁感应强度为B）并存的区域（B⊥E），其中有一足够长的水平光滑且绝缘的水平面MN，平例4
面上O点放置一质量为m、带电荷量为+q的物体，物体由静止释放后做加速运动．求物体在平面MN上滑行的最大速度和最大距离．

例5、请你利用α粒子散射实验结果估算原子核的大小（结果保留一位有效数字）．（下列公式或数据为已知：令无穷远处电势为零，正点电荷的电势φ=kQ/r，k=9´109N·m2/C2，金原子序数79，α粒子质量mα=6´10-27kg，α粒子初速度v=1.6´107 m/s，电子电量e=1.6´10-19C．）

例6

例6、如图所示，质量为1g的小环带4×10-4C的正电，套在长直的绝缘杆上，两者间的动摩擦因数μ=0.2．将杆放入水平且互相垂直的匀强电场和匀强磁场中，杆所在平面与磁场垂直，杆与电场的夹角为37°．若E=10N/C，B=0.5T，小环从静止起动．求：（1）当小环加速度最大时，环的速度和加速度；（2）当小环的速度最大时，环的速度和加速度．

课堂反馈
反馈1
1．在图中虚线所示的区域内存在匀强电场和匀强磁场．取坐标如图．一带电粒子沿 x轴正方向进入此区域，在穿过此区域的过程中运动方向始终不发生偏转．不计重力的影响，电场强度E和磁感应强度B的方向可能是（　AB　）
A．E和B都沿x轴正方向
B．E沿y轴正向，B沿z轴正向
C．E沿x轴正向，B沿y轴正向
D．E、B都沿z轴正向
a
b
M
N
O
v0
P
·
·
反馈2
2、如图所示，光滑绝缘杆上套有两个完全相同、质量都是m的金属小球a、b，a带电量为q（q＞0），b不带电．M点是ON的中点，OM=MN=L，整个装置放在与杆平行的匀强电场中．开始时，b静止在杆上MN之间的某点P处，a从杆上O点以速度v0向右运动，到达M点时速度为3v0/4，再到P点与b球相碰并粘合在一起（碰撞时间极短），运动到N点时速度恰好为零．求：⑴电场强度E的大小和方向；⑵a、b两球碰撞中损失的机械能；⑶a球与b球碰撞前的速度v．

达标训练
´
´
´
´
a
b
c
第1题
1、如图所示，匀强电场的方向竖直向下，匀强磁场方向垂直于纸面向里，三个小球a、b、c带有等量同种电荷，若a静止，b向右匀速运动，c向左匀速运动，则它们的质量（ A ）
A．c最大 B．b最大 C．a最大 D．一样大
2、如图所示，实线表示匀强电场的电场线，电场位于竖直平面内，与水平方向成α角，匀强磁场垂直于纸面向里．现有一带电液滴沿图中虚线L斜向上做直线运动，L与水平方向成β角，且α＞β，则（ ABC ）
A．液滴一定带正电 B．电场线方向一定斜向上
C．液滴一定做匀速直线运动 D．液滴有可能做匀变速直线运动
L
α
β
第2题
3、一个质子和一个α粒子分别垂直于电场方向进入同一平行板电容器中，它们在匀强电场中的运动轨迹完全相同，则（ D ）
A．它们是以相同的速度射入的
B．它们是以相同的动能射入的
C．它们是以相同的动量射入的
D．它们是经同一加速电场加速后进入的
4、两个带正电的离子被加速后，沿着一条直线相向运动而发生猛烈碰撞，若要碰撞前的动能尽可能多地转化为内能，则应设法使两个离子在碰撞前具有相同的（ B ）
A．电荷量 B．动量的大小 C．质量 D．动能
5、宇航员在探测某星球时，发现该星球均匀带电，电量为-Q，表面无大气．在一次实验中，宇航员将一带电-q（q<粉尘恰处于悬浮状态；宇航员又将此粉尘带到距该星球表面2h处，无初速释放，则此带电粉尘将（ B ）
A．背向星球球心方向飞向太空 B．仍然处于悬浮状态
C．沿星球自转的线速度方向飞向太空 D．向星球球心方向下落
6、如图所示，空间有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B=0.5T．一质量M=0.2kg且足够长的绝缘木板静止在光滑水平面上，在木板左端静置一质量m=0.1kg、电荷量q=+0.2C的滑块，滑块与木板之间动摩擦因数μ=0.5，滑块受到的最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力．现对木板施加水平向左的恒力F=0.6N，g取10m/s2，则（ BD ）
A．木板和滑块一直做加速度为2m/s2的匀加速运动
B．滑块开始做匀加速直线运动，然后做加速度减小的变加速运动，最后做匀速运动
C．最终木板做加速度为2 m/s2的匀加速运动，滑块做速度为10m/s的匀速运动
· · · · · ·
· · · · · ·
· · · · · ·
· · · · · ·
· · · · · ·
· · · ·
· · · ·
· · · ·
· · · ·
· · · ·
D．最终木板做加速度为3 m/s2的匀加速运动，滑块做速度为10m/s的匀速运动

7、质量为m、带电量为-q的小物块A沿水平面在匀强磁场中运动，磁场的磁感应强度为B、方向垂直于纸面向里．某一时刻物块的速度为v0，设物块与水平面间的动摩擦因数为μ，则物块A从速度v0变为静止需要的时间（ C ）
A
v0
´
´
´
´
´
´
第7题
A．等于mv0/μ(mg+qB v0) B．小于mv0/μ(mg+qB v0)
C．大于mv0/μ(mg+qB v0) D．以上三种情况都有可能
第8题
8、在同时存在匀强电场和匀强磁场的空间中取正交坐标系Oxyz，如图所示．已知电场方向沿z轴正方向，场强大小为E；磁场方向沿y轴正方向，磁感应强度的大小为B；重力加速度为g．分析一质量为m、带电量为＋q的质点能否在x轴或y轴或z轴上以速度v做匀速运动？若能，m，q，E，B，v及g应满足怎样的关系？若不能，说明理由．

9、设在地面上方的真空室内，存在匀强电场和匀强磁场，已知电场强度和磁感应强度的方向是相同的，电场强度的大小E=4.0V/m，磁感应强度的大小B=0.15T．今有一个带负电的质点以v=20m/s的速度在此区域内沿垂直场强方向做匀速直线运动，求此带电质点的比荷及磁场的所有可能的方向（角度可用反三角函数表示）．

O
A
B
-q
q
E
第10题
10．有三根长度皆为l=1.00m的不可伸长的绝缘轻线，其中两根的一端固定在天花板上的O点，另一端分别拴有质量皆为m=1.00´10-2kg的带电小球A和B，它们的电量分别为-q和+q，q=1.00´10-7C．A、B之间用第三根线连接起来．空间中存在大小为E=1.00´106N/C的匀强电场，场强方向水平向右，平衡时A、B球的位置如图所示．现将O、B之间的线烧断，由于有空气阻力，A、B球最后会达到新的平衡位置．求最后两球的机械能与电势能的总和与烧断前相比改变了多少．（不计两带电小球间相互作用的静电力）

O
+Q
300
A

B
D
E
第11题
C
11、如图所示，倾角为30º的直角三角形底边BC长为2l，底边处在水平位置，斜边AC为光滑绝缘导轨，现在底边中点O处固定一正电荷Q，让一个质量为m、带电量为-q的质点从斜面顶端A沿斜面滑下（始终不脱离斜面），已知它滑到斜边上垂足D处的速度为v，方向沿斜面向下，问该质点滑到非常接近斜边底端C点时的速度和加速度各为多少？

θ
A
B
C
第12题
12、如图所示，一根对称的“倒V”玻璃管置于竖直平面内，管所在的空间有E=1000V/m的匀强电场，质量m=10-4kg、电量q= -2´10-6C的小球在管内从A点由静止开始运动，小球与管壁的动摩擦因数μ=0.5，若θ=37º，管长AB=BC=L=2m，B处为很短的光滑圆弧，g=10m/s2，求：（1）小球第一次到达B点时的速率？（2）小球最终静止在何处？它通过的总路程是多少？
课时1答案：
例1解析：（1）开始两板均不带电，带电液滴在重力作用下打到下板，下板带电，上板感应出等量异种电荷，板间形成匀强电场，带电液滴将受到竖直向上的电场力．当电场力与重力平衡时，液滴在两板间做匀速直线运动，有mg=qU/d，U=Nq/C，则N=Cdmg/q2．
（2）当下板带的电荷足够多时，液滴将在板间作匀减速运动，到下板时的速率恰为零时，不再有液滴到下板．mg(d+h) - qU´=0，U´=N´q/C，得N´=mgC(d+h)/q2．

例2解析：带负电；由法拉第电磁感应定律，线圈中的感应电动势E=n∆F/∆t=nS∆B/∆t，则两板间的电势差为U= nS∆B/∆t，电荷在电场力和重力作用下平衡，有mg=Uq/d，得∆B/∆t=mg d/nSq．

例3解析：小球在重力和电场力作用下沿v0方向做直线运动，则垂直v0方向上合外力为零，或重力与电场力的合力沿v0所在直线．
例3
建如图所示坐标系，设场强E与v0成φ角，则受力如图：
由牛顿第二定律可得
Eqsinφ-mgcosθ=0 ①
Eqcosφ-mgsinθ=ma ②
由①式得：Emgcosθ／qsinφ ③
由③式得：φ＝90°时，E最小为Emin＝mgcosθ／q，其方向与v0垂直斜向上；将φ＝90°代入②式可得a＝－gsinθ，即在场强最小时，小球沿v0做加速度为a＝－gsinθ的匀减速直线运动，设运动时间为t时速度为0，则：0＝v0－gsinθt，得t=．
例4解析：物块在电场力作用下加速向右运动时，会受到竖直向上的洛仑兹力，当洛仑兹力与重力平衡时，物块即将离开水平面，设此时的速度为vm，有Bqvm=mg，得vm= mg/Bq；此过程中，物块做匀加速直线运动，由动能定理qEsm=mv2/2，得最大距离为sm=m3g2/2q3EB．

例5解析：极少数被弹回的α粒子，一定受到很强的排斥力——正对着金原子核射入，先作减速运动，当速度减为0后，反向加速．当α粒子的速度减为0时，α粒子与金原子核间的距离最小，约等于金原子核的半径，此过程中α粒子的动能转化为电势能．
∴ 解得： = 4´10-14m．

图A
图B
例6
例6解析：（1）小环从静止起动后，环受力如图A，随着速度的增大，垂直杆方向的洛仑兹力增大，环与杆间的弹力N（右上方）减小，摩擦力减小，加速度增大．当环的速度为v时，弹力为零，摩擦力消失，此时环有最大加速度am．在平行于杆的方向上有：mgsin37°－qE cos37°＝mam，am＝2.8m／s2．在垂直于杆的方向上有：Bqv=mgcos37°＋qEsin37° ，得v＝52m/s．（2）在上述状态之后，环的速度继续增大，洛仑兹力继续增大，致使小环与杆之间又有弹力N（左下方），摩擦力f又产生，杆的加速度a减小，当a减小到零，此时环有最大速度vm．
在平行杆方向有：mgsin37° =Eqcos37°＋f，在垂直杆方向有：Bqvm=mgcos37°＋qEsin37°＋N，f=μN，vm=122m/s，此时a＝0．

反馈1解析：AB．
反馈2解析：⑴由题意知，电场方向水平向左；
a球从O到M：WOM=，得：．
⑵对a、b球从O到N全过程应用能量守恒定律，减小的动能一部分克服电场力作功转化为电势能，一部分在碰撞中损失，设碰撞中损失的机械能为△E，
qE·2L + △E=- 0，△E==．
⑶设a与b碰撞前后的速度分别为v、v′，则mv=2mv’，
△E=- =，得．

达标解析
1、A 2、ABC 3、D 4、B 5、B 6、BD 7、C

达标8解析：已知带电质点受到的电场力为qE，方向沿z轴正方向；质点受到的重力为mg，沿z轴的负方向．
假设质点在x轴上做匀速运动，则洛仑兹力沿z轴正方向（当v沿x轴正方向）或者沿z轴负方向（当v沿x轴负方向），所以qvB＋qE＝mg或qE＝qvB＋mg
假设质点在y轴上做匀速运动，则洛仑兹力为零，有qE＝mg；
假设质点在z轴上做匀速运动，则它受到的洛仑兹力平行于x轴，而电场力和重力都平行于z轴，三力的合力不可能为零，故质点不可能在z轴上做匀速运动．

达9
达标9解析、质点在空间做匀速直线运动，它所受的重力、电场力、洛仑兹力的合力为零，这三个力必在同一竖直平面内．设质点的速度的方向与竖直方向成θ角，质点受的电场力为qE，洛仑兹力为qvB，如图所示．
由三力平衡条件，可得：(mg)2=(qE)2＋(qvB)2 ，得：q/m=2.25c/kg
又tanθ = vB/E = 0.75， θ = tan-10.75 ，即磁场方向为沿着与重力方向成θ = tan-10.75、斜向下的一切方向．

达标10解析：（1）中虚线表示A、B球原来的平衡位置，实线表示烧断后重新达到平衡的位置，其中α、β分别表示细线OA、AB与竖直方向的夹角．A球受力如图（2）所示：重力mg，竖直向下；电场力qE，水平向左；细线OA对A的拉力T1，方向如图；细线AB对A的拉力T2，方向如图．由平衡条件：，．
B球受力如图（3）所示：重力mg，竖直向下；电场力qE，水平向右；细线AB对B的拉力T2，方向如图．由平衡条件：，，联立以上各式并代入数据得α=0，β=45º，由此可知，A、B球重新达到平衡的位置如图（4）所示．与原来位置相比，A球的重力势能减少了，EA=mgl(1－sin60°)，B球的重力势能减少了，A球的电势能增加了，B球的电势能减少了，两种势能总和减少了，代入数据解得： W=6.8×10－2J．
mg
T2
Eq
B
β
A
B
O
Eq
T1
T2
α
β
mg
A
α
A
B
β
达10
（1） （2） （3） （4）

达标11解析：因BD=BC/2，OD=OC=OB，则B、C、D三点在以O为圆心的同一圆周上，是O点处点电荷Q产生的电场中的等势点，所以，q由D到C的过程中电场力做功为零．由动能定理得， ， ， ．
电荷在C点受三个力的作用：电场力F，方向由C指向O点；重力mg，方向竖直向下；支持力N，方向垂直于斜面向上．由牛顿第二定律，
， ，解得：．

达标12解析：因重力G=mg=1.0´10-3N，电场力F=qE=2.0´10-3N，摩擦力f = μ(F – mg)cos37º=4.0´10-4N，
（1） 从A到B，由动能定理，(F – mg)Lsin37º - fL = mv2/2，
即小球到达B点时的速率为v==2.8m/s．
（2）小球最终静止在B处，由动能定理，(F – mg)Lsin37º - fs = 0，
得s = (F – mg)Lsin37º/f = 3m．

备用题1、如图所示，在相互垂直的水平匀强电场和水平匀强磁场中，有一竖直固定绝缘杆MN，小球P套在杆上，已知P的质量为m，电量为q,P与杆间的动摩擦因数为μ，电场强度为E，磁感应强度为B，小球由静止起开始下滑，设电场、磁场区域足够大，杆足够长，求：（1）当下滑加速度为最大加速度一半时的速度；M
N
E
B
P
（2）当下滑速度为最大下滑速度一半时的加速度．
备用题1解析：因电场力方向与洛仑兹力方向相反，小球先做加速度逐渐增加的加速运动，当加速度达到最大后，又做加速度逐渐减小的加速运动，当加速度为零时，速度达到最大.因此，加速度达到最大之前，加速度可能取最大值的一半，加速度达到最大值后，一定有某一时刻加速度为最大加速度的一半，小球速度（达到最大值前）始终在增大，一定只有某一时刻速度为最大速度的一半，要研究这一时刻是在加速度最大之前还是之后．
（1）小球刚开始下滑时速度较小，BqvEq，小球受力如图所示.
则：mg - μ（Bqv-Eq）=ma ②
将a=am=g分别代入①式和②式
解得在a达到am之前，当a=g时，速度为
图17—7
v1=；当a达到am后，当a=g时，速度为v2=，其中v1存在是有条件的，只有mg≤2μEq时，在a增加阶段才有a=g可能．
（2）在a达到am后，随着v增大，a减小，当a＝0时v＝vm，由②式可解得
vm=；
设在a达am之前有v=，则由①式解得此时加速度为a＝g＋，
因mg＞Eqμ，故a＞g，这与题设相矛盾，说明在a=am之前不可能有v=.
显然a＜g，符合题意．将v=vm代入②式解得a=．

备用题2、长为L、板面光滑且不导电的绝缘平板小车A，质量为mA=4m，放在光滑水平面上，如图所示，平板车的左端放有一质量为mB=m，带电量为+q的金属小球，当整个空间加有水平方向的匀强电场时，由静止开始向右运动的金属小球将以v0的速度与右端档板碰撞，若碰撞后反弹回来的速度为v0/2，碰撞力远大于电场力，求：
(1) 匀强电场的场强大小和方向；(2) 小球从第一次碰撞到第二次碰撞，过程中电场力对小球做的功．
解析：（1）由电场力和小球带电性质可知E的方向向右．
小球从开始运动直到碰撞前的过程由动能定理：
，．
（2）小球与档板碰撞，根据动量守恒：
，解得，
从第一次碰撞到第二次碰撞，小球的位移为：
小车的位移为：
由，解得：
故电场力做功为：