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课堂教学案例— —针对差异因材施教技能

勾股定理的应用

长治市第十二中学 初中二年级 数学 张胜栋

【案例】
通过刚才的讲解,我们对勾股定理有了一定的认识。现在,谁来为大家复述一下定理的内容呢？
（学生举手回答,挑选学习较困难的学生甲完成）
内容：在直角三角形,两直角边的平方和等于斜边的平方。
我们要是结合图形和字母是不是可以更形象点呢？有谁能为大家做一下。
（学生举手回答,挑选素质较好的学生乙完成）
A
如图,在Rt△ABC中,∠C=900 ,AC、BC为直角边,AB为斜边,则有AC2+BC2=AB2。

C
B

老师（强调）：应用勾股定理的前提是在直角三角形中,已知两边的大小(或数量关系)来求第三边。
现在,我们通过两个例题来实际应用一下定理。
例1． 在Rt△ABC中,
(1)已知∠C=900,AC=4,BC=3,求AB的长度。
(2)已知∠B=900,AC=4,BC=3,求AB的长度。
例2． 已知直角三角形中,两边长分别为5、12,求第三边的长。
鼓励学生踊跃举手,让全体学生都参与思考,选自己能够独立完成的题目来做。使各个层次的学生有信心解决问题。请同学们上台板演,随后让学生们自己评判,再请对刚才同学做法有问题,有意见的同学上台改正,直至全体同学都没有异议为止。
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最后,老师总结,评价,并给出规范解答。
具体过程如下:
同学甲：老师,我会做例1，我去做。
师： 好,那你去做.
解：(1)∵ 在 Rt△ABC,∠C = 900
∴ AC2 + BC2 = AB2
∴ AB =
= 5

(2)∵△ABC的两边大小与上题一样，
∴ AB = 5
师：好，同学们对他的做法有什么意见么？
同学乙：老师,首先我不同意他的做法,您说过“解几何题的时候一定要结合图形去做”；其次他对(2)的解答也是错的,因为尽管两个问题中两边的大小一样,但在(1)中AC、BC为两直角边,(2)中AC、BC则分别为斜边和直角边.所以正确的解答如下：
解：(1) 如图：在∵ Rt△ABC,∠C=90 0
A
∴ AC2 + BC2 = AB2
∴ AB =
= 5

B
C

A
(2) 如图： 在∵ Rt△ABC,∠B=900
∴ AC2 + BC2 = AB2
∴ AB =
=
B
C

师：很好,乙同学已经掌握了做几何题的基本思路,也对勾股定理的认识有了很好的认识.那么例2呢？有谁能为大家解答一下？
同学丙：老师,我会.鉴于刚才乙同学的建议和做法，我这样做：
如图：在Rt△ABC中,∠C=900,AC=6,BC=8
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A

∴ AC2 + BC2 = AB2
∴ AB =
B
C
= 10

同学丁：不对.丙同学考虑的不全面,题目中说两边长分别为6、8,又没有说这两条边都是直角边,所以应该还有另一种情况,就是一条为直角边,另一条为斜边。即：
A
如图：在Rt△ABC中,∠C=900,AC=6,AB=8
∴ AC2 + BC2 = AB2
∴ BC =
=
C
B
=2

师：好,非常好,丁同学不仅掌握了勾股定理,而且还领悟了我们数学中一个非常重要的思想—分类讨论的思想,希望大家以后都能学习她这种严谨论证的精神。
师：看来,大家已经很好的掌握了勾股定理,那现在咱们再一起来看看下面这个问题。
思考：已知△ABC的两边AC、BC分别为3、4,
求：(1)你能求出第三边AB的长吗？若能，是多少？若不能，请说明理由？
(2)根据(1)题,你能画出来△ABC的几种形状。
同学戊：我觉得求不出来AB边的具体值,因为题目中并没有说△ABC为直角三角形,所以不能利用勾股定理来求。只能利用三角形的三边关系(两边之和大于第三边,两边之差小于第三边)来求得它的范围：4﹤AB﹤16。因此,该三角形的形状也不定。可能有如下几种情况：

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A
A
A

C
B
C
B
C
B

师：很好，大家下去以后再想想从这些图形中你能推测出三角形的形状和三边关系的联系吗？

案例评析： 指导教师：刘 飞
1．通过例1两个问题的对比,使学生认识到,在直角三角形中运用勾股定理的关键是明确各边角关系,灵活应用公式。
2．例2中斜边、直角边不明确,所以需要讨论,让学生体会分类讨论的思想,培养学生严谨的思维习惯。
3．例3可以使学生对勾股定理的理解得已升华,系统掌握。
4．强调定理的应用,帮助学生建构起比较完善的知识结构,归纳数学中常用的思想方法,从而提高他们自主学习,独立学习的能力。
5．巩固所学知识,使不同层次的学生都有所提高和发展,同时感受到用数学知识解决问题的乐趣,前呼后应,且达到及时反馈教学信息的效果,并为下节课的操作准备图片,做好预备知识。

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