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线性代数的历史
译自Israel Kleiner《A History of Abstract Algebra》
线性代数是一个非常有用的学科，它的基本概念产生并被应用在数学和它的应用的各个不同领域，因此这门学科植根于诸如数论（初等数论和代数数论）、几何学、抽象代数（群，环，域和伽罗瓦(Galois)理论）、分析学（微分方程，积分方程和泛函分析）和物理学这些如此丰富多彩的领域就毫不奇怪了。线性代数的基本概念是线性方程组、矩阵、行列式、线性变换、线性无关、维数、双线性型、二次型和向量空间。由于这些概念之间是密切关联的，所以有些概念通常会出现在同一段内容中（例如线性方程组和矩阵），从而使得我们往往不能将它们分离开来。
到1880年为止，已经得到许多线性代数的基本结果，但它们还不属于某个一般性的理论。特别要指出的是，那时还尚未提出向量空间这个构建这种理论的基本观念。这个观念仅在1888年由皮亚诺(Peano)提出过。即使如此，它那时也被大大地忽视了（如同格拉斯曼（Grassmann）更早前的开创性工作），直到20世纪早期作为一个完整理论的基本要素这个观念才再次起飞。因此线性代数这个学科的历史发展顺序与它的逻辑顺序正好相反。
我们将按照下面的顺序来描述线性代数的基本演变史：线性方程组；行列式；矩阵和线性变换；线性无关，基和维数；向量空间。在这个过程中，我们将评述上面提到的某些其他概念。
5.1线性方程组
大约4000年前，巴比伦人就知道如何解两个二元一次线性方程组成的线性方程组（2*2的线性方程组）。在著名的《九章算术》（大约公元前200年，Nine Chapters of the Mathematical Art）中，中国人解出了3*3的线性方程组，解法中只使用了线性方程组的（数值）系数。这些做法是矩阵方法的原型，但和高斯（Gauss）以及其他人2000年后提出的“消元法”并不相同。见[20]。
对线性方程组的现代研究可以说肇始自莱布尼兹（Leibniz），为了研究线性方程组他于1693年提出了行列式的观念。但是当时他的研究不为人知。克莱姆（Cramer）在他1750年出版的《代数曲线分析入门》（Introduction to the Analysis of Algebraic Curves）中，发表了一个后来以他的名字命名的解n*n线性方程组的法则，但是他没有给出证明。在试图解决一个几何问题，即确定一条通过（1/2）n2 +（3/2）n个定点的 次代数曲线时，他发现需要研究线性方程组。见[1]，[20]。
欧拉（Euler）也许最早注意到含有n个n元一次线性方程的线性方程组不一定有唯一解，他还指出要获得唯一解必须添加条件。尽管他并没有给出具体条件，但他的脑中有一个方程独立于其余的方程的思想。到了十八世纪，线性方程组的研究通常被归类在行列式之下，所以并没有研究方程的数目与未知数的数目不相等的线性方程组。见[8],[9]。
与他提出的最小二乘法（发表于1811年的一篇涉及小行星的轨道测定的论文中）相联系的是，为了求解线性方程组，高斯提出了一种现在叫做高斯消元法的系统性的程序，尽管他没有使用矩阵符号。他处理了线性方程组的方程数目与未知数数目不相等的 情形[20]。线性方程组的理论问题，包括线性方程组的相容性问题，在十九世纪后半叶被探讨，而且它们至少是被将二次型和双线性型化简成“简单”（规范）型这样的问题部分推动的。见[16]，[18]。
5.2 行列式
虽然我们现在谈论一个矩阵的行列式，但是这两个概念却有着不同的起源。特别要指出的是，行列式出现在矩阵之前，并且在它们的历史早期都与线性方程组有着密切的联系。随后出现的问题导致了行列式的新用途，它们包括消去理论（寻找两个多项式有公共根的条件）、旨在化简代数式（例如二次型）的坐标变换、重积分中的变量替换、微分方程组的求解以及天体力学。见[24]。
正如我们在关于线性方程组的前一节已指出的那样，莱布尼兹发明了行列式，他“在本质上知晓它们的现代组合定义”[21]，并且将它们应用于解线性方程组和消元理论中。他撰写了很多有关行列式的论文，但是这些论文直到最近才得以公开。见[21],[22].
第一份包含行列式基本知识的出版物是麦克劳林（Maclaurin）的《论代数》（Treatise of Algebra），其中行列式被用来求解2*2和3*3的方程组。紧随其后的就是克莱姆对行列式意义重大的应用（参看前一节）。见[1]，[20]，[21]。
在1772年的《消去理论论文集》（Memoir on elimination theory）中，范德蒙德（Vandermonde）首次脱离行列式与线性方程组的可解性之间的联系，阐述了行列式理论。（高斯在1801年首次使用“行列式”这个词表示一个二次型的判别式，即二次型ax2 +bxy+cy2的判别式为b2 - 4ac）拉普拉斯（Laplace）在《关于积分学和世界系统的研究(1772)》（Researches on the Integral Calculus and the System of the World (1772)）中扩充了范德蒙德的部分工作，说明了如何利用余子式展开n*n的行列式。见[24]。
柯西（Cauchy）在1815年的一篇题为“On functions which can assume but two equal values of opposite sign by means of transformations carried out on their variables”的论文中，第一次系统地研究了行列式。正如我们今日所知，他被认为是行列式理论的创始人。线性代数的入门级教科书中的许多有关行列式的结论都应归功于他。例如：他证明了重要的乘法法则det(AB)=det(A)det(B)。他的工作为数学家们处理n维代数、几何和分析问题提供了一个强大的代数工具。例如，1843年凯莱（Cayley）以行列式为基本工具发展了n维解析几何，而在1870年代，戴德金（Dedekind）利用行列式知识证明了“代数整数的和与积仍然是代数整数” 这个重要结论。见[18],[21],[22],[24]
大概在1860年代，维尔斯特拉斯(Weierstrass)和克罗内克（Kronecker）提出了行列式的公理化定义。（两位数学家都以严谨思维著称。）例如，维尔斯特拉斯将行列式定义为一个赋范的、线性的、齐次的函数。他们的工作在1903年为世人所知晓，那时候维尔斯特拉斯的《论行列式》（On Determinant Theory）和克罗内克的《行列式论讲稿》（Lectures on Determinant Theory）在他们死后被发表。行列式理论在19世纪是一个有活力的独立研究领域，出版了2000多份论文。但在20世纪的大部分时间里行列式理论变得十分冷门，因为此时已不需用行列式来证明线性代数的主要结论。见[21],[22], [24],[25]
5.3、矩阵和线性变换
矩阵是“天生的”数学对象：它们出现在与线性方程组、线性变换有关的场合，同时也与在几何学、分析学、数论和物理学中有重要作用的双线性型和二次型有关联。
作为数的长方阵列，矩阵出现在大约公元前200年的中国数学中，不过在那里它们仅仅是线性方程组的缩写。仅当它们被施以加法、减法、尤其是乘法操作时，矩阵才变得重要起来；当人们发现矩阵能派的用处时，矩阵就变得更加重要了。
在前面提到的《算术研究》（Disquisitiones）中，作为线性变换的缩写，高斯隐式地提出了矩阵，但现在它却是一种意义深远的方式。高斯对二元二次型f(x,y)=ax2 +bxy+cy2的算术理论做了深入的研究。他称二次型f(x,y)与F(X,Y)=AX2 +BXY+CY2是“等价的”，如果当x、y、X、Y取遍所有整数时这两个二次型产生相同的整数集（a，b，c和A,B,C都是整数）。他证明了这也就意味着存在从坐标(x,y)到(x,y)的行列式为1的线性变换T，它将f(x,y)变换为F(X,Y)。线性变换被描述成数的长方阵列——矩阵，尽管高斯并没有使用矩阵这个术语。他也隐式地定义了矩阵的乘积（仅仅对2*2和3*3的情形）；他的脑中具有线性变换的复合的思想。见[1],[7],[16]。
坐标的线性变换，即yj=∑k=1，n ajkxk （1 <= j <= m），明显地出现在17、18世纪的解析几何中（主要针对 ）。这就自然地产生了对数的长方阵列ajk的计算。线性变换同时也出现在创立于17世纪并在19世纪早期得到解析描述的投影几何中。见[2],[9]。
为了扩展高斯关于二次型的研究，爱森斯坦（Eisenstein）和埃尔米特（Hermite）试图建立变量个数和次数都任意的型f(x1, x2,…,xn)的一般算术理论。在这种尝试中，他们也引入了线性转换，用单个字母来表示它们——是一个重要的思想——并且定义了它们的加法和乘法（复合），从而把它们当作单独的个体来加以研究。见[16]。
凯莱在1850年和1858年的两篇文章中正式引入了m*n矩阵（术语“matrix”是西尔维斯特（Sylvester）于1850年创造的）。他指出矩阵“与它们作为单独的个体相一致”，并且意识到矩阵在线性方程组的简化以及线性变换的复合中的作用。他定义了相应的长方矩阵对的和及乘积，以及实数或复数与矩阵的标量积。他同时引入了单位矩阵以及方阵的逆矩阵，并且说明了在适当的条件下如何应用逆矩阵来求解 线性方程组。
在1858年的那篇“关于矩阵理论的论文”（A memoir on the theory of matrices）中，凯莱证明了重要的凯莱—哈密顿定理，即方阵是它的特征多项式的根。这个证明由2*2矩阵的计算，以及他对3*3矩阵的验算组成。他指出这个结果可推广到更高阶。但是他补充到：“我认为没有必要花这个力气去正式证明这个定理对任意阶矩阵中都适用”。 哈密顿（Hamilton）在他的四元数研究中独立地证明了这个定理（对于n=4的情形，但是没有使用矩阵的符号）。凯莱在另一篇文章中使用矩阵解决了一个非常有意义的问题，即凯莱-埃尔米特问题，它要求确定将二次型变换成n元不变式的所有线性变换。见[16],[18]
凯莱极大地增强了将矩阵视为一种符号代数的重要思想。特别值得一提的是，他使用了单个字母来代表矩阵，这在矩阵代数的演变史上是很重要的一步。但是他写于1850年代的论文直到1880年代为止，在英国以外并未被重视。见[3],[4],[12],[16], [20]和8.1.3。
在这期间（大约1820年代到1870年代），柯西、雅可比（Jacobi）、约当（Jordan）、维尔斯特拉斯，以及其他欧洲大陆数学家正在深入研究矩阵（以这种或那种伪装的形式）。他们创造了矩阵的谱理论：他们将矩阵分成诸如对称矩阵、正交矩阵和酉矩阵等类型；关于各类矩阵的特征值的本质的一些结果；以及最重要的矩阵标准型理论：在具有某种固定形式的所有矩阵中，确定那些在某种意义上是规范的矩阵。一个重要的例子就是由维尔斯特拉斯（以及约当独立地）引入的约当标准型，它表明了两个矩阵是相似矩阵，当且仅当有它们相同的约当标准型。
谱理论源自十八世纪对物理问题的研究。它们引起了对微分方程组和特征值问题的研究。在19世纪，这些思想导出了一种纯粹的数学理论。豪金斯（Hawkins）在[15]、[16]、[17]、[18]等文中对这个发展过程给出了非常优秀的阐述；也见[11]。

在1878年一篇题为《论线性置换和双线性型》（On linear substitutions and bilinear forms）的文章中，弗罗贝纽斯（Frebenius）用双线性型的语言扩展了矩阵论的基本内容。（双线性型和二次型的理论是由维尔斯特拉斯和克罗内克创造的。）他说这些双线性型可以被看作是“n2个量的一个系统，它们被排列成n行n列”。受他的老师维尔斯特拉斯的影响，他的论文具有维尔斯特拉斯传统，即强调严谨的方法和寻求理论下蕴含的基本思想。例如，他彻底地研究了双线性型的规范型问题，并将一些特殊的情形归功于克罗内克和维尔斯特拉斯。“弗罗贝纽斯的论文…在矩阵论的历史上是一个重要的里程碑，因为它第一次将柯西、雅可比、维尔斯特拉斯和克罗内克的谱理论与爱森斯坦、埃尔米特和凯莱的符号传统结合起来”[18]。也见[15],[16]。
弗罗贝纽斯将他的矩阵理论运用到群表示和四元数中，说明了在四元数中只有实数、复数和四元数是可除的n元实数组，皮尔斯（C.S.Peirce）也独立地证出了这个结论。（凯莱在1858年的论文中，通过说明四元法同构于2*2复矩阵代数的子代数，也将矩阵和四元数联系起来。）（结合）代数与矩阵之间的关系对随后非可交换环论的发展非常重要。见3.1。