龙泉中学2014年高二理科数学周练(22).doc

龙泉中学2014年高二理科数学周练（22）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数（其中是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知条件；条件，则是成立的（ ）
开始
a=2,i=1
i<2014？

输出a
结束
第3题图
是
否
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
3．为如图所示的程序框图中输出的结果，则化简 的结果是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知命题，使为偶函数；
命题，
则下列命题中为真命题的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，，，若，，三向量共面，则实数等于（ ）
A． B． C． D．
6．若函数的图象在处的切线与圆相切，则的最大值是（ ）
A．4 B． C．2 D．
7．已知抛物线y2=2px（p>0），过其焦点且斜率为的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
8．龙泉中学对文明班的评选设计了五个方面的多元评价指标，并通过经验公式样来计算各班的综合得分，S的值越高则评价效果越好，若某班在自测过程中各项指标显示出，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S的值增加最多，那么该指标应为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在△ABC中，∠C=90°,CA=CB=1,为△ABC内一点，
过点P分别引三边的平行线，与各边围成以P为顶点的三个三
角形（图中阴影部分），则这三个三角形的面积和的最小值为( )
A． B． C． D．

x
y
Ox
QOx

10．如图,已知双曲线的左右焦点分别为
F1，F2，|F1F2|=4，P是双曲线右支上的一点，F2P与y轴交
于点A，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|=1,
则双曲线的离心率是（ ）
A． 3 B． C． D．

二、填空题每小题5分，共25分．
11．设不等式组表示的平面区域为，在区域内随机取一个点，则
的概率为________．
12．不论如何变化，方程，都表示顶点在同一曲线上的抛物线，该曲线的方程为___________________．
13．已知，则的最大值是 ．
14．物体A以速度v=3t2+1(t的单位：s，v的单位：m／s)在一直线上运动，在此直线上与物
体A出发的同时，物体B在物体A的正前方5m处以v=10t(t的单位：s，v的单位：
m／s)的速度与A同向运动，则两物体相遇时物体A运动的距离为________ m．
15．图中的三角形称为希尔宾斯三角形，在下列四个三角形中，黑色三角形的个数依次构成数列的前四项，依此着色方案继续对三角形着色．

（1）数列的通项公式_____________；
…
（2）若数列满足，记，则的个位数字是_________．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．已知。
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若不等式对一切实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．

17. 已知命题：在内，不等式的恒成立；
命题:函数是区间上的减函数；
若命题”“是真命题，求实数的取值范围．

18．第22届索契冬奥会期间，来自俄罗斯国际奥林匹克大学的男、女大学生共9名志愿者被随机地平均分配到速滑、冰壶、自由式滑雪这三个岗位服务，且速滑岗位至少有一名女大学生志愿者的概率是．
（Ⅰ）求冰壶岗位至少有男、女大学生志愿者各一人的概率；
（Ⅱ）设为在自由式滑雪岗位服务的男大学生志愿者的人数，求的分布列和期望．

19．如图，是以为直径的圆上异于的点，平面平面，，， 分别是的中点，记平面与平面的交线为．
（Ⅰ）求证：直线平面；
（Ⅱ）直线上是否存在点，使直线分别与平面、直线所成的角互余？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

20．如图，A,B是椭圆的左、右顶点，是椭圆上位于轴上方的动点，
直线与直线分别交于两点．
（Ⅰ）若,求点的坐标；
（Ⅱ）记△和△的面积分别为和．是否存在实数，使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

21．设，，其中是常数，且．
（Ⅰ）求函数的最值；
（Ⅱ）设，且，证明：对任意正数都有：．

龙泉中学2014年高二理科数学周练（22）参考答案
一、选择题
1-5 BCACD 6-10 DACCB
二、填空题
11. 12． 13. 14. 130 15. （1） （2）
三、解答题
16．解：（1）由柯西不等式得，
∴ 所以的取值范围是
（2）同理，
若不等式对一切实数恒成立，
则，解集为
17．解：由 在上恒成立
令为上减函数，
是区间上的减函数
令 ,命题”“是真命题，
18．解：（1）记至少一名女大学生志愿者被分到速滑岗位为事件，则的对立事件为
“没有女大学生志愿者被分到速滑岗位”，设有女大学生人，，
那么
即女大学生志愿者有3人，男大学生志愿者有6人 ……………………3分
记冰壶岗位至少有男、女大学生志愿者各一人为事件
则 …………………………………………6分
（2）的所有可能值为

……10分
∴的分布列为

∴ …………………………12分
19．（1）证明：分别为中点，，又
//平面EFA
又BC平面ABC，平面EFA∩平面ABC=
又BC⊥AC，平面PAC∩平面ABC=AC，平面PAC⊥平面ABC
∴BC⊥平面PAC ∴⊥平面PAC …………………………………6分
（2）以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，过垂直面 的直线为轴建立空间直角坐标系
则
，设，平面的法向量为
则即
令得到平面的一个法向量为
＜＞|，|＜，＞|=
依题意得=

21．解：（1）∵， -----------------1分
由得，，
∴，即，解得，-----------------3分
故当时，；当时，；
∴当时，取最大值，
没有最小值． -----------------6分
（2）由（1）恒成立，故，
取，即得，
即，故所证不等式成立． -----------------14分
法二：先证
令，，
则，而时，；，
，，
∴，令，
则有