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历年全国自考线性代数试题及答案

资料仅供参考
全国 7月高等教育自学考试
试卷说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵；A*表示A的伴随矩阵；R(A)表示矩阵A的秩；|A|表示A的行列式；E表示单位矩阵。
1.设3阶方阵A=[α1，α2，α3]，其中αi(i=1,2,3)为A的列向量，
若|B|=|[α1+2α2，α2，α3]|=6，则|A|=（ ）A.-12 B.-6 C.6 D.12
2．计算行列式（ ）A.-180 B.-120C.120 D.180
3．设A=，则|2A*|=（ ）A.-8 B.-4C.4 D.8
4.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有
A. α1，α2，α3，α4线性无关 B. α1，α2，α3，α4线性相关
C. α1可由α2，α3，α4线性表示 D. α1不可由α2，α3，α4线性表示
5．若A为6阶方阵，齐次线性方程组Ax=0的基础解系中解向量的个数为2，则R(A)=（ ）A．2 B 3C．4 D．5
6．设A、B为同阶矩阵，且R(A)=R(B)，则（ ）A．A与B相似 B．|A|=|B|C．A与B等价 D．A与B合同
7．设A为3阶方阵，其特征值分别为2，l，0则|A+2E|=（ ）A．0 B．2C．3 D．24
8．若A、B相似，则下列说法错误的是（ ）A．A与B等价 B．A与 B合同C．|A|=|B| D．A与B有相同特征
9．若向量α=(1，-2，1)与β= (2，3，t)正交，则t=（ ）A．-2 B．0C．2 D．4
10．设3阶实对称矩阵A的特征值分别为2，l，0，则（ ）A．A正定 B．A半正定C．A负定 D．A半负定
二、填空题(本大题共10小题,每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
1l.设A=,B=，则AB=________.
12．设A为3阶方阵，且|A|=3，则|3A-l|=________.
13．三元方程x1+x2+x3=0的结构解是________.
14．设α=(-1，2，2)，则与α反方向的单位向量是______．
15．设A为5阶方阵，且R(A)=3，则线性空间W={x|Ax=0}的维数是______．
16．设A为3阶方阵，特征值分别为-2，，l，则|5A-1|=_______．
17．若A、B为同阶方阵，且Bx=0只有零解，若R(A)=3，则R(AB)=________．
18．二次型f(x1，x2，x3)=-2x1x2+-x2x3所对应的矩阵是________.
19.设3元非齐次线性方程组Ax=b有解α1=，α2=，且R(A)=2,则Ax=b的通解是________.
20.设α=，则A=ααT的非零特征值是____
三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)
21．计算5阶行列式D= 22.设矩阵X满足方程X=求X.
23.求非齐次线性方程组
的结构解.
24.求向量组α1=（1，2，3，4），α2=（0，-1，2，3），α3=（2，3，8，11），
α4=（2，3，6，8）的秩.
25.已知A=的一个特征向量=（1，1，-1）T，求a,b及所对应的特征值，并写出对应于这个特征值的全部特征向量.
26.用正交变换化二次型f(x1,x2,x3)=为标准形，并写出所用的正交变换.
四、证明题（本大题共1小题，6分）
27．设α1，α2，α3是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系.证明α1，α1+α2，α2+α3也是Ax=0的基础解系.

全国 1月
说明：本卷中，AT表示矩阵A转置，det(A)表示方阵A的行列式，A-1表示方阵A的逆矩阵，(，)表示向量，的内积，E表示单位矩阵．
一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无
1．设A是4阶方阵，且det(A)=4，则det(4A)=( )A．44 B．45C．46 D．47
2．已知A2+A+E=0，则矩阵A-1=( )A．AE B．A-EC．-A-E D．-A+E
3．设矩阵A，B，C，X为同阶方阵，且A，B可逆，AXB=C，则矩阵X=( )
A．A-1CB- B．CA-1B-1 C．B-1A-1C D．CB-1A-1
4．设A是s×n 矩阵(s≠n)，则以下关于矩阵A的叙述正确的是( )
A．ATA是s×s对称矩 B．ATA=AAT C．(ATA)T =AAT D．AAT是s×s对称矩阵
5．设1，2，3，4，5是四维向量，则( )
A．l，2，3，4，5一定线性无关B．l，2，3，4，5一定线性相关
C．5一定能够由1，2，3，4线性表出D．1一定能够由2，3，4，5线性表出
6．设A是n阶方阵，若对任意的n维向量X均满足AX=0，则( )A．A=0 B．A=EC．秩(A)=n D．0<秩(A)AB)T一定是正定矩阵 D．A-B一定是负定矩阵
二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)
11．设A=，k为正整数，则Ak= ．12．设2阶可逆矩阵A的逆矩阵A-1=，则矩阵A=__________．
13．设同阶方阵A，B的行列式分别为-3，5，则det（AB）=_________.
14．设向量=(6, -2, 0, 4), =（-3，1，5，7），向量满足2+=3,则=____________.
15．实数向量空间V={(x1, x2, …, xn)|3 x1+ x2+…+ xn =0}的维数是_______．16．矩阵A=的秩=_____
17．设是齐次线性方程组Ax=0的两个解，则A（3）=_________.
18．设方阵A有一个特征值为0，则det(A3)=__________.
19．设P为正交矩阵，若（Px, Py）=8, 则（x, y）=_________.
20．设f(x1，x2，x3)=是正定二次型，则t满足_____.
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21．计算行列式
22．判断矩阵A=是否可逆，若可逆，求其逆矩阵．
23．求向量组=(1，2，-1，-2),=(2，5，-6，-5),=(3，1，1，1), =(-1，2，-7，-3)的一个最大线性无关组，并将其余向量经过该最大线性无关组表示出来．
24．求齐次线性方程组的一个基础解系及其结构解．
25．求矩阵A=的特征值和特征向量．
26．写出下列二次型的矩阵，并判断其是否是正定二次型．
f(x1，x2，x3)=
四、证明题(本大题共1小题，6分)
27．设方阵A满足(A+E)2=E，且B与A相似，证明：B2+2B=0．

全国 4月高等教育自学考试
说明：AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式。
1.下列等式中，正确的是（　　　）
A.B. C. D.
2.设矩阵A=，那么矩阵A的列向量组的秩为（　　　）A.3 B.2C.1 D.0
3.设向量=（-1，4），=（1，-2），=（3，-8），若有常数a,b使a-b-=0,则（　　　）
A.a=-1,b=-2 B.a=-1,b=2 C.a=1,b=-2 D.a=1,b=2
4.向量组=（1，2，0），=（2，4，0），=（3，6，0），=（4，9，0）的极大线性无关组为（　　　）
A.，B.， C.， D.，
5.下列矩阵中，是初等矩阵的为（　　　）
A.B. C. D.
6.设A、B均为n阶可逆矩阵，且C=，则C-1是（　　　）
A.B.C. D.
7.设A为3阶矩阵，A的秩r(A)=3，则矩阵A*的秩r(A)=（　　　）A.0 B.1 C.2 D.3
8.设=3是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵有一个特征值等于（　　　）A. B.C. D.
9.设矩阵A=，则A的对应于特征值=0的特征向量为（　　　）
A.（0，0，0）TB.（0，2，-1）TC.（1，0，-1）T D.（0，1，1）T
10.下列矩阵中是正定矩阵的为（　　　）
A.B.C. D.
二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分）
11.行列式=___________.12.设矩阵A=，B=（1，2，3），则BA= ___________.
13.行列式中第4行各元素的代数余子式之和为_________
14.设A，B为n阶方阵，且AB=E，A-1B=B-1A=E，则A2+B2=___________.
15.设向量=（1，2，3，4），则的单位化向量为___________.
16.设3阶方阵A的行列式|A|=，则|A3|=___________.
17.已知3维向量=（1，-3，3），=（1，0，-1）则+3=___________.
18.设n阶矩阵A的各行元素之和均为0，且A的秩为n-1，则齐次线性方程组Ax=0的通解为___________.
19.设1，2，…，n是n阶矩阵A的n个特征值，则矩阵A的行列式|A|=___________.
20.二次型f(x1,x2,x3)=x1x2+x1x3+x2x3的秩为___________.
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21.已知矩阵A=，B=，求：（1）ATB；（2）| ATB |.
22.设A=，B=，C=，且满足AXB=C，求矩阵X.
23.求向量组=(1,2,1,0)T，=（1,1,1,2）T，=（3,4,3,4）T，=（4,5,6,4）T的秩与一个极大线性无关组.
24.判断线性方程组是否有解，有解时求出它的解.
25.设向量=（1，1，0）T，=（-1，0，1）T，
（1）用施密特正交化方法将，化为正交的，；（2）求，使，，两两正交.
26.已知二次型f=，经正交变换x=Py化成了标准形f=，求所用的正交矩阵P.
四、证明题（本大题共6分）
27.设A为5阶反对称矩阵，证明|A|=0.

全国 7月高等教育自学考试
1．设，则=（　　　）A．-49 B．-7C．7 D．49
2．设A为3阶方阵，且，则（　　　）A．-32 B．-8C．8 D．32
3．设A，B为n阶方阵，且AT=-A，BT=B，则下列命题正确的是（　　　）
A．（A+B）T=A+BB．（AB）T=-ABC．A2是对称矩阵 D．B2+A是对称阵
4．设A，B，X，Y都是n阶方阵，则下面等式正确的是（　　　）
A．若A2=0，则A=0B．（AB）2=A2B2C．若AX=AY，则X=Y D．若A+X=B，则X=B-A
5．设矩阵A=，则秩（A）=（　　　）A．1 B．2C．3 D．4
6．若方程组仅有零解，则k=（　　　）A．-2 B．-1C．0 D．2
7．实数向量空间V={（x1，x2，x3）|x1 +x3=0}的维数是（　　　）A．0 B．1C．2 D．3
8．若方程组有无穷多解，则=（　　　）A．1 B．2C．3 D．4
9．设A=，则下列矩阵中与A相似的是（　　　）
A．B．C． D．
10．设实二次型，则f（　　　）A．正定B．不定C．负定 D．半正定
11．设A=(-1,1,2)T，B=(0,2,3)T,则|ABT|=___
12．设三阶矩阵，其中为A的列向量，且|A|=2，则______.
13．设，且秩(A)=3，则a,b,c应满足______.14．矩阵的逆矩阵是______.
15．三元方程x1+x3=1的通解是______.16．已知A相似于，则|A-E|=______.
17．矩阵的特征值是______.
18．与矩阵相似的对角矩阵是______.
19．设A相似于，则A4______.
20．二次型f(x1,x2,x3)=x1x2-x1x3+x2x3的矩阵是______.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分
21．计算4阶行列式D=.22．设A=，而X满足AX+EA2+X，求X.
23．求向量组：的秩，并给出该向量组的一个极大无关组，同时将其余的向量表示成该极大无关组的线性组合.
24．当为何值时，齐次方程组有非零解？并求其全部非零解.
25．已知1,1,-1是三阶实对称矩阵A的三个特征值，向量、是A的对应于的特征向量，求A的属于的特征向量.
26．求正交变换Y=PX，化二次型f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3-2x2x3为标准形.四、证明题（本大题6分）
27．设线性无关，证明也线性无关.
接下来是答案
全国 7月高等教育自学考试
线性代数（经管类）试题 课程代码：04184
试卷说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵（行列对换）；A*表示A的伴随矩阵； A-1=（重要）
求A-1 和A*时，可用这个公式，A*太复杂了自己看看
r(A)表示矩阵A的秩；| A |表示A的行列式；E表示单位矩阵。 ,每一项都乘2
一、单项选择题 [ ]表示矩阵，矩阵乘矩阵还是矩阵；| |表示行列式，计算后为一个数值，行列式相乘为数值运算
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.设3阶方阵A=（α1，α2，α3），其中αi（i=1,2,3）为A的列向量，若| B |=|（α1+2α2，α2，α3）|=6，则| A |=( C )
A.-12 B.-6 αi（i=1,2,3）为A的列向量，3行1列
C.6 D.12
2.计算行列式=( A )=3*-2*10*3=-180
A.-180 B.-120
C.120 D.180
3.若A为3阶方阵且| A-1 |=2，则| 2A |=( C )=23| A |=8*1/2=4
A. B.2
C.4 D.8
4.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有( B ) n+1个n维向量线性相关
A.α1，α2，α3，α4线性无关 B.α1，α2，α3，α4线性相关
C.α1可由α2，α3，α4线性表示 D.α1不可由α2，α3，α4线性表示
5.若A为6阶方阵，齐次线性方程组Ax=0的基础解系中解向量的个数为2，则r(A)=( C )
A.2 B.3 n- r(A)=解向量的个数=2,n=6
C.4 D.5
6.设A、B为同阶方阵，且r(A)=r(B)，则( C ) A与B合同 r(A)=r(B) PTAP=B, P可逆
A.A与B相似 B.| A |=| B |
C.A与B等价 D.A与B合同
7.设A为3阶方阵，其特征值分别为2,1,0则| A+2E |=( D )，| A |=所有特征值的积=0
A.0 B.2 A+2E的特征值为2+2,1+2,0+2,即4,3,2，| A+2E |=4*3*2
C.3 D.24
8.若A、B相似，则下列说法错误的是( B )
A.A与B等价 B.A与B合同
C.| A |=| B | D.A与B有相同特征值
A、B相似A、B特征值相同| A |=| B | r(A)=r(B)；若A～B，B～C，则A～C（～代表等价）
9.若向量α=（1，-2,1）与β=(2，3，t)正交，则t=( D ) , 即1*2-2*3+1*t=0，t=4
A.-2 B.0
C.2 D.4
10.设3阶实对称矩阵A的特征值分别为2,1,0，则( B )，所有特征值都大于0，正定；
A.A正定 B.A半正定 所有特征值都小于0，负定；
C.A负定 D.A半负定 所有特征值都大于等于0，半正定；同理半负定；其它情况不定
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11.设A=,B=，则AB=（A的每一行与B的每一列对应相乘相加）== 下标依次为行列，如表示第二行第一列的元素。 A为三行两列的矩阵即3×2的矩阵，B为2×3的矩阵，则AB为3×3的矩阵，对应相乘放在对应位置
12.设A为3阶方阵，且| A |=3，则| 3A1 |= 33| A-1 |=27*=9
13.三元方程x1+x2+x3=1的通解是_______________. 扩充为，再看答案
14.设α=（-1，2，2），则与α反方向的单位向量是_____跟高中单位向量相同____________.
15.设A为5阶方阵，且r(A)=3，则线性空间W={x | Ax=0}的维数是______________.
16.设A为3阶方阵，特征值分别为-2，，1，则| 5A-1 |=____同12题__________.
17.若A、B为5阶方阵，且Ax=0只有零解，且r(B)=3，则r(AB)=_________________.
若矩阵A的行列式| A |0，则A可逆，即A A-1=E，E为单位矩阵。Ax=0只有零解| A |0，故A可逆
若A可逆，则r(AB)= r(B)=3，同理若C可逆，则r(ABC)= r(B)
18.实对称矩阵A=所对应的二次型f (x1, x2, x3)=
实对称矩阵A 对应于各项的系数
19.设3元非齐次线性方程组Ax=b有解α1=，α2=且r(A)=2，则Ax=b的通解是_______________.
20.设α=，则A=ααT的非零特征值是_______________.
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21.计算5阶行列式D=
22.设矩阵X满足方程
X=
求X.
23.求非齐次线性方程组
的通解.
24.求向量组α1=（1,2，-1,4），α2=(9,100,10,4)，α3=（-2，-4,2，-8）的秩和一个极大无关组.
25.已知A=的一个特征向量ξ=（1,1，-1）T，求a，b及ξ所对应的特征值，并写出对应于这个特征值的全部特征向量.
26.设A=，试确定a使r(A)=2.
四、证明题（本大题共1小题，6分）
27.若α1，α2，α3是Ax=b(b≠0)的线性无关解，证明α2-αl，α3-αl是对应齐次线性方程组Ax=0的线性无关解.

全国 1月高等教育自学考试
线性代数（经管）试题参考答案
课程代码：04184

三、计算题

解：原行列式

全国 1月高等教育自学考试
线性代数（经管）试题参考答案
课程代码：04184

三、计算题

解：原行列式

全国 1月自考《线性代数(经管类)》试题

课程代码：04184

说明：本卷中，A-1表示方阵A的逆矩阵，r(A)表示矩阵A的秩，||||表示向量的长度，T表示向量的转置，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式.
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1．设行列式=2，则=（ ）
A．-6 B．-3
C．3 D．6
2．设矩阵A，X为同阶方阵，且A可逆，若A（X-E）=E，则矩阵X=（ ）
A．E+A-1 B．E-A
C．E+A D．E-A-1
3．设矩阵A，B均为可逆方阵，则以下结论正确的是（ ）
A．可逆，且其逆为 B．不可逆
C．可逆，且其逆为 D．可逆，且其逆为
4．设1，2，…，k是n维列向量，则1，2，…，k线性无关的充分必要条件是
（ ）
A．向量组1，2，…，k中任意两个向量线性无关
B．存在一组不全为0的数l1，l2，…，lk，使得l11+l22+…+lkk≠0
C．向量组1，2，…，k中存在一个向量不能由其余向量线性表示
D．向量组1，2，…，k中任意一个向量都不能由其余向量线性表示
5．已知向量则=（ ）
A．（0，-2，-1，1）T B．（-2，0，-1，1）T
C．（1，-1，-2，0）T D．（2，-6，-5，-1）T
6．实数向量空间V={(x, y, z)|3x+2y+5z=0}的维数是（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
7．设是非齐次线性方程组Ax=b的解，是其导出组Ax=0的解，则以下结论正确的是
（ ）
A．+是Ax=0的解 B．+是Ax=b的解
C．-是Ax=b的解 D．-是Ax=0的解
8．设三阶方阵A的特征值分别为，则A-1的特征值为（ ）
A． B．
C． D．2,4,3
9．设矩阵A=，则与矩阵A相似的矩阵是（ ）
A． B．
C． D．
10．以下关于正定矩阵叙述正确的是（ ）
A．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵 B．正定矩阵的行列式一定小于零
C．正定矩阵的行列式一定大于零 D．正定矩阵的差一定是正定矩阵

二、填空题本大题共10小题，每空2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。
11．设det (A)=-1，det (B)=2，且A，B为同阶方阵，则det ((AB)3)=__________．
12．设3阶矩阵A=，B为3阶非零矩阵，且AB=0，则t=__________．
13．设方阵A满足Ak=E，这里k为正整数，则矩阵A的逆A-1=__________．
14．实向量空间Rn的维数是__________．
15．设A是m×n矩阵，r (A)=r,则Ax=0的基础解系中含解向量的个数为__________．
16．非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是__________．
17．设是齐次线性方程组Ax=0的解，而是非齐次线性方程组Ax=b的解，则=__________．
18．设方阵A有一个特征值为8，则det（-8E+A）=__________．
19．设P为n阶正交矩阵，x是n维单位长的列向量，则||Px||=__________．
20．二次型的正惯性指数是__________．
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21．计算行列式．
22．设矩阵A=，且矩阵B满足ABA-1=4A-1+BA-1，求矩阵B．
23．设向量组求其一个极大线性无关组，并将其余向量经过极大线性无关组表示出来．
24．设三阶矩阵A=，求矩阵A的特征值和特征向量．

25．求下列齐次线性方程组的通解．

26．求矩阵A=的秩．
四、证明题（本大题共1小题，6分）
27．设三阶矩阵A=的行列式不等于0，证明：
线性无关．

全国 4月高等教育自学考试
线性代数试题
课程代码：02198
说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩.
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题1分，共10分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1．设矩阵，则A*中位于第1行第2列的元素是（ ）
A．-6 B．-3
C．3 D．6
2．设行列式=2，则=（ ）
A．-12 B．-6
C．6 D．12
3．设A为3阶矩阵，且|A|=3，则|(-A)-1|=（ ）
A．-3 B．
C． D．3
4．设A为3阶矩阵，P=，则用P左乘A，相当于将A（ ）
A．第1行的2倍加到第2行 B．第1列的2倍加到第2列
C．第2行的2倍加到第1行 D．第2列的2倍加到第1列
5．已知4×3矩阵A的列向量组线性无关，则AT的秩等于（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
6．齐次线性方程组的基础解系所含解向量的个数为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
7．设4阶矩阵A的秩为3，为非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，c为任意常数，则该方程组的通解为（ ）
A． B．
C． D．
8．若矩阵A与对角矩阵D=相似，则A3=（ ）
A．E B．D
C．-E D．A
9．设A是n阶方阵，且|5A+3E|=0，则A必有一个特征值为（ ）
A． B．
C． D．
10．二次型的矩阵是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11．行列式=________.
12．设矩阵A=B=则AB=________.
13．设3阶矩阵A的秩为2，矩阵P=，Q=，若矩阵B=QAP，
则r(B)=________.
14．已知向量组线性相关，则数k=________.
15．向量组的秩为________.
16．非齐次线性方程组Ax=b的增广矩阵经初等行变换化为，则方程组的通解是________.
17．设是5元齐次线性方程组Ax=0的基础解系，则r(A)=________.
18．设A为3阶矩阵，且|A|=6，若A的一个特征值为2，则A*必有一个特征值为________.
19．设A为3阶矩阵，若A的三个特征值分别为1，2，3，则|A|=________.
20．实二次型的规范形为________.
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21．计算行列式D=
22．设A=，矩阵X满足关系式AX=A+X，求X.
23．设均为4维列向量，为4阶方阵.若行列式|A|=4，|B|=1，求行列式|A+B|的值.
24．已知向量组（其中t为参数），求向量组的秩和一个极大无关组.
25．求线性方程组的通解.
（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）
26．设二次型，求正交变换x=Py，将二次型化为标准形.
四、证明题（本大题6分）
27．证明与对称矩阵合同的矩阵仍是对称矩阵.

全国 7月自学考试线性代数(经管类)试题
课程代码:04184

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绝密★考试结束前
全国 4月高等教育自学考试
线性代数(经管类)试题及答案
课程代码：04184
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E表示
单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩。
选择题部分
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的考试课程名称、姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑。错涂、多涂或未涂均无分。
1．设行列式=3，删行列式=
A．-15 B．-6
C．6 D．15
2．设A，B为4阶非零矩阵，且AB=0，若r(A)=3，则r(B)=
A．1 B．2
C．3 D．4
3．设向量组=(1，0，0)T，=(0，1，0)T，则下列向量中可由，线性表出的是
A．(0，-1，2)T B．(-1，2，0)T
C．(-1，0，2)T D．(1，2，-1)T
4．设A为3阶矩阵，且r(A)=2，若，为齐次线性方程组Ax=0的两个不同的解。k为任意常数，则方程组Ax=0的通解为
A．k B．k
C． D．
5．二次型f(x1,x2,x3)=x12+2x22+x32-2x1x2+4x1x3-2x2x3的矩阵是

非选择题部分
注意事项：
用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
6．3阶行列式第2行元素的代数余子式之和A21+A22+A23=________．
7．设A为3阶矩阵，且|A|=2，则|A*|=________．
8．设矩阵A=，B=，则ABT=________．
9．设A为2阶矩阵，且|A|=，则|(-3A)-l|=________．
10．若向量组 =(1，-2，2)T， =(2，0，1)T，=(3，k，3)T线性相关，则数k=_______．
11．与向量(3，-4)正交的一个单位向量为________．
12．齐次线性方程组的基础解系所含解向量个数为________．
13．设3阶矩阵A的秩为2，，为非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解，则方程组Ax=b的通解为________．
14．设A为n阶矩阵，且满足|E+2A|=0，则A必有一个特征值为________．
15．二次型f(x1,x2,x3)=x12+2x1x2+x22+x32的正惯性指数为________．
三、计算题(本大题共7小题，每小题9分，其63分)
16．计算行列式D=的值.
17．设矩阵A=，B=，求可逆矩阵P，使得PA=B.
18．设矩阵A=，B=，矩阵X满足XA=B，求X.
19．求向量组=(1，-1，2，1)T,=(1，0，1，2)T,=(0，2，0，1)T,=(-1，0，-3，-1)T,
=(4，-1，5，7)T的秩和一个极大线性无关组，并将向量组中的其余向量由该极大线性无关组线性表出．

20．求线性方程组 的通解．

(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示)

21．已知矩阵A=的一个特征值为1，求数a，并求正交矩阵Q和对角矩阵，
使得Q-1AQ=．

22．用配方法化二次型f(x1，x2，x3)=x12+3x22-2x32+4x1x2+2x2x3为标准形，并写出所作的可逆线性变换．
四、证明题(本题7分)
23．设，，为齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，证明2++，
+2+，++2也是该方程组的基础解系．

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10月全国高等教育自学考试
线性代数（经管类）试卷及答案
课程代码：04184

本试卷共8页，满分100分，考试时间150分钟。
说明：本试卷中，表示矩阵的转置矩阵，表示矩阵的伴随矩阵，是单位矩阵，表示方阵的行列式，表示矩阵的秩。
一 单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1. 设3阶行列式=2，若元素的代数余子公式为（i,j=1,2,3)，则 【 】
A. B.0 C.1 D.2
2. 设为3阶矩阵，将的第3行乘以得到单位矩阵，
则=【 】
A. B. C. D.2
3. 设向量组的秩为2，则中 【 】
A. 必有一个零向量
B. B.任意两个向量都线性无关
C.存在一个向量可由其余向量线性表出
D.每个向量均可由其余向量线性表出
4. 设3阶矩阵,则下列向量中是的属于特征值的特征向量为 【 】
A. B. C. D.
5. 二次型的正惯性指数为 【 】
A.0 B.1 C.2 D.3
二、 填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错误、不填均无分、
6. 设，则方程的根是
7. 设矩阵,则=
8. 设为3阶矩阵，,则行列式=
9. 设矩阵,,若矩阵满足,则=
10. 设向量,,,则由线性表出
的表示式为
11. 设向量组线性相关，
则数
12. 3元齐次线性方程组的基础解系中所含解向量的个数
为
13. 设3阶矩阵满足，则必有一个特征值为
14. 设2阶实对称矩阵的特征值分别为和1，则
15. 设二次型正定，
则实数的取值范围是

三、 计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）
16. 计算4阶行列式的值。

17. 已知矩阵，求。

18. 设矩阵,且矩阵满足,求。

19. 设向量
试确定当取何值时能由线性表出，并写出表示式。

20. 求线性方程组的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）。

21. 设矩阵与对角矩阵相似，求数与可逆矩阵，使得。

22. 用正交变换将二次型化为标准形，写出标准形和所作的正交变换。

四、证明题（本题7分）
23.设向量组线性相关，且其中任意两个向量都线性无关。证明：存在全不为零的常数使得。
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