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平行线复习讲义
第一章 平行线复习讲义
平面内两条直线的位置关系是”空间与图形"所要研究的基本问题。这些内容学生在前两个学段已经有所接触，本节课在学生已有知识和经验的基础上，继续探究平面内两条直线平行的位置关系，平行公理及其推论。这些知识是空间和图形领域的基础知识，在以后的学习中经常要用到。它们不但为三角形内角和定理的证明提供了转化的方法，而且也为今后三角形全等、三角形相似、以及四边形等知识打等知识的学习奠定了理论基础，学好这部分内容至关重要。
知识点1：同位角、同旁内角、内错角的概念及特征

同位角
同旁内角
内错角

截线EF
同侧
同侧
异侧
被截线AB、CD
同侧
之间
之间
结构特征
F
U
Z
列举
∠1与∠5；
∠2与∠6；
∠3与∠7；
∠4与∠8.
∠3与∠6;
∠4与∠5；

∠3与∠5;
∠4与∠6.

例1．下图中,∠1和∠2是同位角的是（ ）

A．

B．

C．

D．

1．如右图，在所标识的角中，同位角是（ )
A．∠1和∠2 B．∠1和∠3 C．∠1和∠4 D．∠2和∠3
2.下列四幅图中，∠1和∠2是同位角的是（　　）

A．（1）、（2) B．(3）、（4）
C．（1）2）、（3） D．(1）、(3）、（4）
3．如图，不能作为判断AB∥CD的条件是（ ）
A．∠FEB=∠ECD B．∠AEC=∠ECD
C．∠BEC+∠ECD=180° D．∠AEG=∠DCH

例2。∠1与∠2是内错角，∠1=40°，则（ ）
A．∠2=40° B．∠2=140°
C．∠2=40°或∠2=140° D．∠2的大小不确定
1。有下列命题：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②内错角相等；③相等的角是对顶角；④同角或等角的补角相等．正确命题的个数是（ ）

A．
0个
B．
1个
C．
2个
D．
3个
例3.。如图，与∠B是同旁内角的角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

例3图 第1题图
1．如图所示，AB∥EF∥DC,EG∥DB，则图中与∠1相等的角共有（ )
A．6个 B．5个 C．4个 D．2个

知识点2：平行线的定义和平行线公理，及平行线作图步骤
平行线定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“∥"表示。
平行线公理：经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。
作图步骤：一放二靠三推四画。
注1：今后遇到线段、射线平行时,特指线段、射线所在的直线平行.
2：在同一平面内,两条直线的关系有平行和相交.
例.下列说法：①不相交的两条直线必定平行；②过一点有且只有一条直线和已知直线平行;③两条不平行的射线，在同一平面内一定相交；④若a与c相交，b与c相交，则a与b不一定相交。错误的说法有（ )
A. 1个 B。 2个 C.3个 D.4个

知识点3：平行线判定和平行线的性质
平行线的判定：判定方法一：平行线的定义；
判定方法二:同位角相等，两直线平行；
判定方法三：内错角相等,两直线平行；
判定方法四:同旁内角互补,两直线平行;
判定方法五：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行;
判定方法六：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
平行线的性质：性质1:两直线平行，同位角相等；
性质2：两直线平行，内错角角相等;
性质3：两直线平行，同旁内角互补;
判定定理与性质定理的区别:从角的关系得到结论两直线平行,用平行线判定定理;从平行线得到角相等或互补关系，用平行线性质定理。填理由时，要防止把性质和判定定理相混淆。
平行线的判定
例1．如图,点E在AD的延长线上，下列条件中能判断BC∥AD的是（ ）

A．
∠3=∠4
B．
∠A+∠ADC=180°
C．
∠1=∠2
D．
∠A=∠5
分析：解答此类要判定两直线平行的题,可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．本题是一道探索性条件开放型题目,能有效地培养“执果索因”的思维方式与能力．判定两直线平行时，定义法一般不常用，其他五个方法要灵活使用,证明时要注意书写格式。
在识别较复杂图形中这三类角使，也可把相关的基本图形，从较复杂的图形中分离出来，从而把问题转化为对简单基本图形的识别。选C.
1．如图,给出了过直线外一点画已知直线的平行线的方法，其依据是（ ）

A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等
2．如图，在△ABC中,D、E、F分别在AB、BC、AC上，且EF∥AB，要使DF∥BC，只需满足下列条件中的（ ）
A．∠1=∠2 B．∠2=∠AFD C．∠1=∠AFD D．∠1=∠DFE

第2题图 第3题图 第4题图
3．如图，在下列结论给出的条件中，不能判定AB∥DF的是（ ）
A．∠2+∠A=180° B．∠A=∠3 C．∠1=∠4 D．∠1=∠A
4．如图，下列说法中，正确的是( ）
A．因为∠A+∠D=180°，所以AD∥BC B．因为∠C+∠D=180°,所以AB∥CD
C．因为∠A+∠D=180°,所以AB∥CD D．因为∠A+∠C=180°，所以AB∥CD

平行线的性质
例1。如图所示，直线AB∥CD，∠1=75°，求∠2的度数．

例1图 第1题图 第2题图
1．如图，直线a与直线b互相平行，则｜x—y|的值是（ )
A．20 B．80 C．120 D．180
2．如图所示,OP∥QR∥ST，若∠2=110°，∠3=120°,则∠1=______ 
3.已知∠A与∠B的两边分别平行，那么这两个角之间的关系是________________________。
试画出图形.

由角定角:已知角的关系—→两条直线平行—→确定其他角的关系。
例．如图，∠1+∠2=180°，∠3=108°，求∠4的度数．

1．如图，已知：∠1=∠2，∠D=50°，求∠B的度数．

2．如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G,∠E=∠1，可得AD平分∠BAC．
理由如下:∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，( ）
∴AD∥EG，（ ）
∴∠1=∠2，（ ）
_____=∠3，（ ）
又∵∠E=∠1（已知），
∴_______=________(___________）
∴AD平分∠BAC(___________________）

由线定线：已知两条直线平行—→角的关系—→确定其他两直线平行
例．完成下列推理说明:
如图已知AB∥DE，且有∠1=∠2,∠3=∠4，试说明BC∥EF．
∵AB∥DE（已知)
∴∠1=∠3（______________________）
∵∠1=∠2，∠3=∠4（已知）
∴∠2=_______（等量代换）
∴BC∥EF（________________________）
1．如图,CD∥AB，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，问直线EF与AB有怎样的位置关系？为什么？

常见模型问题
例1．如图，AB∥CD，分别探讨下面四个图形中∠APC与∠PAB、∠PCD的关系，请你从所得到的关系中任选一个加以说明．(适当添加辅助线，其实并不难）

1．如图所示，l1∥l2，则∠1=_______ 

第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
2．如图，直线a∥b，则∠A的度数是( ）
A．38° B．48° C．42° D．39°
3．如图,AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+…+∠2n=______ 
4．如图所示，若AB∥CD，则∠A，∠D，∠E之间的度数关系是( ）
A．∠A+∠E+∠D=180° B．∠A-∠E+∠D=180°
C．∠A+∠E-∠D=180° D．∠A+∠E+∠D=270°
5．如右图，AB∥CD，用含α，β，γ的式子表示θ，则θ=( )
A．α+γ-β B．β+γ—α C．180°+γ—α-β D．180°+α+β-γ
6．如图，已知直线l1∥l2，且l3和l1、l2分别交于A、B两点，点P在AB上．
（1）试找出∠1、∠2、∠3之间的关系并说出理由;
（2)如果点P在A、B两点之间运动时，问∠1、∠2、∠3之间的关系是否发生变化？
(3）如果点P在A、B两点外侧运动时，试探究∠1、∠2、∠3之间的关系（点P和A、B不重合）

折纸问题
例2。将如图①的矩形ABCD纸片沿EF折叠得到图②，折叠后DE与BF相交于点P，如果∠BPE=130°，则∠PEF的度数为( )
A．60° B．65° C．70° D．75°

例2图 第1题图
1． 如图，把长方形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1=50°，则∠AEF=________ ．

第2题图 第3题图
2．学习了平行线后，小敏想出了过己知直线外一点画这条直线的平行线的新方法,她是通过折一张半透明的纸得到的（如图（1）～（4）),从图中可知，小敏画平行线的依据有（ )
①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；
③同位角相等,两直线平行;④内错角相等,两直线平行．

A．
①②
B．
②③
C．
③④
D．
①④
3.．如图，DE∥BC，将△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，若∠B=50°，则∠BDF=_________度．

拐弯问题
例4．某人在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶方向与原来相同，这两次拐弯的角度可能是( ）
A．第一次左拐30°，第二次右拐30° B．第一次右拐50°，第二次左拐130°
C．第一次右拐50°，第二次右拐130° D．第一次向左拐50°，第二次向左拐120°
1．一条公路两次转弯后又回到原来的方向(即AB∥CD，如图）．如果第一次转弯时的
∠B=140°,那么∠C应是（ ）
A．140° B．40° C．100° D．180°

第1题图 第2题图
2．如图,某市二环路修到长虹家电城区时，需拐弯绕城区而过．如果第一次拐的角A是130°，第二次拐的角B是150°,而第三次拐的角是C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C等于( )
A．130° B．140° C．150° D．160°

组合三角板问题
例5．将一副三角板如图放置．若AE∥BC，则∠AFD=__________。 

1．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3= _________.

第1题图 第2题图 第3题图
2．将一直角三角板与直尺如图所示放置，下列结论：（1)∠1=∠2；(2）∠3=∠4；（3）∠2+∠490°；（4）∠4+∠5=180°，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．将一个含30度角的直角三角板和一把矩形直尺按如图放置，若∠α=55°，则∠β=_______.
方位问题
例6．如图，在甲、乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东48°．甲、乙两地间同时开工，若干天后，公路准确接通,则乙地所修公路的走向是南偏西________度．

1．如图，A岛在B岛的北偏东30°方向，C岛在B岛的北偏东80°方向，A岛在C岛北偏西40°方向，从A岛看B,C两岛的视角∠BAC是________度．

知识点5：综合应用
1．同一平面内的四条直线若满足a⊥b,b⊥c，c⊥d，则下列式子成立的是( ）
A．a∥d B．b⊥d C．a⊥d D．b∥c
3．如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠ACB的大小关系，并说明理由．

4．如图，DB∥FG∥EC,∠ACE=36°，AP平分∠BAC，∠PAG=12°，求∠ABD的度数．

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