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十年高考分类解析与应试策略数学
第十一章 极限、导数与积分

●考点阐释
本章为新教材增设内容，是学习高等数学的基础.它在自然科学、工程技术等方面都有着广泛的应用.
重点掌握：
1.函数极限的四则运算法则及两个重要的极限，并能利用它解决有关问题.
2.了解函数在一点处的连续性的定义，从几何直观上理解闭区间上的连续函数有最大值和最小值.
3.从几何直观了解可微函数的单调性与其导数的关系，会求一些实际问题的最值.
4.掌握微积分的基本公式，理解定积分的几何意义.掌握直角坐标系中图形面积以及旋转体体积的计算方法.
●试题类编
一、填空题
1.（2002天津理，15）直线x=0，y=0，x=2与曲线y=（）x所围成的图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积等于_____.
2.（1998上海，3）若，则a= .
3.（1996上海理，16）= .
二、解答题
4.（2002天津文，21）已知a＞0，函数f（x）=x3－a，x∈［0，+∞）.设x1＞0，记曲线y=f（x）在点M（x1，f（x1））处的切线为l.
（Ⅰ）求l的方程；
（Ⅱ）设l与x轴交点为（x2，0）.证明：
（i）x2≥a；
（ii）若x1＞a，则a＜x2＜x1.
5.（2002天津理，20）已知a＞0，函数f（x）=，x∈（0，+∞）.设0＜x1＜，记曲线y=f（x）在点M（x1，f（x1））处的切线为l.
（Ⅰ）求l的方程；
（Ⅱ）设l与x轴交点为（x2，0），证明：
（i）0＜x2≤；
（ii）若x1＜，则x1＜x2＜.
图11—1
6.（2001天津理，21）某电厂冷却塔外形是如图11—1所示双曲线的一部分绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面,其中A、A′是双曲线的顶点，C、C′是冷却塔上口直径的两个端点，B、B′是下底直径的两个端点，已知AA′=14 m，CC′=18 m，BB′=22 m，塔高20 m.
（1）建立坐标系并写出该双曲线方程.
※（2）求冷却塔的容积（精确到10 m3，塔壁厚度不计，π取3.14）
7.（1995上海文，22）设y=f（x）是二次函数,方程f（x）=0有两个相等的实根，且
f′（x）=2x+2.
（1）求y=f（x）的表达式；
※（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积.
8.（1995上海理，22）设y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两个相等的实根，且
f′（x）=2x+2.
（1）求y=f（x）的表达式；
※（2）若直线x=－t（0＜t＜1）把y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值.
说明：凡标有※的试题与2002年教学大纲及2003年高考考试说明要求不符，仅供读者自己选用.
●答案解析
1.答案：
解析：由旋转体的体积公式V=π
.
2.答案：4
解析：依题意有：=2，∴a=4
3.答案：－
解析：原式=.
4.（Ⅰ）解：求f（x）的导数：f′（x）=3x2，由此得切线l的方程：
y－（x13－a）=3x12（x－x1）.
（Ⅱ）证明：依题意，切线方程中令y=0，
x2=x1－，
（i）≥0，
∴x2≥a，
当且仅当x1=a时等号成立.
（ii）若x1＞a，则x13－a＞0，x2－x1=－＜0，且由（i）x2＞a，
所以a＜x2＜x1.
5.（Ⅰ）解：求f（x）的导数：f′（x）=－，由此得切线l的方程：
y－（）=－（x－x1）.
（Ⅱ）证明：依题意，切线方程中令y=0，
x2=x1（1－ax1）+x1=x1（2－ax1），其中0＜x1＜.
（i）由0＜x1＜，x2=x1（2－ax1），有x2＞0，及x2=－a（x1－）2+.
∴0＜x2≤，当且仅当x1=时，x2=.
（ii）当x1＜时，ax1＜1，因此，x2=x1（2－ax1）＞x1，且由（i），x2＜，
所以x1＜x2＜.
图11—2
6.（1）如图11—2建立直角坐标系，xOy，使AA′在x轴上，
AA′的中点为坐标原点O，CC′与BB′平行于x轴.
设双曲线方程为=1（a＞0，b＞0），则a=AA′=7.
又设B（11，y1），C（9，y2），因为点B、C在双曲线上，所以有
①
②
由题意，知y2－y1=20. ③
由①、②、③，得
y1=－12，y2=8.b=7.
故双曲线方程为=1；
（2）由双曲线方程，得x2=y2+49.
设冷却塔的容积为V（m3），则
.
经计算，得V=4.25×103（m3）.
答：冷却塔的容积为4.25×103 m3.
评述：本题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组的基础知识，考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力.
7.解：（1）设f（x）=ax2+bx+c，则f′（x）=2ax+b，又已知f′（x）=2x+2
∴a=1，b=2.
∴f（x）=x2+2x+c
又方程f（x）=0有两个相等实根，
∴判别式Δ=4－4c=0，即c=1.
故f（x）=x2+2x+1.
（2）依题意，有所求面积=.
评述：本题考查导数和积分的基本概念.
8.解：（1）与7（1）相同.（2）依题意，有，
∴，
－t3+t2－t+=t3－t2+t，2t3－6t2+6t－1=0，
∴2（t－1）3=－1，于是t=1－.
●命题趋向与应试策略
1.本章内容在高考中以填空题和解答题为主.主要考查：
（1）函数的极限；
（2）导数在研究函数的性质及在解决实际问题中的应用；
（3）计算曲边图形的面积和旋转体的体积.
2.考生应立足基础知识和基本方法的复习，以课本题目为主，以熟练技能，巩固概念为目标.