东北育才学校2016-2017年高三一模数学(理)试题及答案.doc

东北育才学校高中部2017届高三第一次模拟
数学试题（理科）
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.
1.已知集合，，则
A. B． C． D．
2.复数等于
　A． B． C． D．
3.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，
则输入的整数的可能值为
A.5 B.6 C.8 D.15

4. 已知直线,且于,为坐标原点,
则点的轨迹方程为
A． B． C． D．
5.函数在点处的切线方程是
A. B. C. D.
6.“等式成立”是“成等差数列”的
　A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
　C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
7.在各项均为正数的等比数列中，，成等差数列，是数列的前项的和，则
A.1008 B.2016 C.2032 D.4032
8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是
A． B．
C． D．
9.半径为的球面上有四点，两两互相垂直，则面积之和的最大值为
A．8 B．16 C．32 D.64
10.设等差数列的前项和为，若，则中最大的是
A． B． C． D．
11.已知函数（其中），，且函数的两个极值点为．设，则
A． B．
C． D．
12.设双曲线的右焦点为，过点作轴的垂线交两渐近线于点两点，且与双曲线在第一象限的交点为，设为坐标原点，若，，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13.若是数列的前项的和且，则数列的最大项的值为___________.

14.设,则二项式展开式中的第项为___________

15. 已知正方形的边长为，点为的中点．以为圆心，为半径，作弧交于点，若为劣弧上的动点，则的最小值为___________.

16.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围_________.

三、 解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本题满分12分）
已知函数
（I）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求使函数取得最大值的的集合．

18.（本小题满分12分）
　 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，
点分别为和中点.
(Ⅰ)求证：直线；
(Ⅱ)求与平面所成角的正弦值.

19. （本小题满分12分）
某网站用“10分制”调查一社区人们的治安满意度．现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的治安满意度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）．

（I）若治安满意度不低于分，则称该人的治安满意度为“极安全”，求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极安全”的概率；
（II）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记表示抽到“极安全”的人数，求的分布列及数学期望．

20.（本小题满分12分）
如图，已知直线过椭圆的右焦点，抛物线：的焦点为椭圆的上顶点，且直线交椭圆于两点，点在直线上的射影依次为点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线交轴于点，且，当变化时，探求的值是否为定值？若是，求出的值，否则，说明理由.

21. （本小题满分12分）
设和是函数的两个极值点,其中
,.
(Ⅰ) 求的取值范围;
(Ⅱ) 若,求的最大值.

22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图所示，已知⊙的半径长为4，两条弦相交于点，若，，为的中点，.
(Ⅰ) 求证：平分；
(Ⅱ)求的度数.

23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程为（其中为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
(Ⅰ) 分别写出曲线与曲线的普通方程；
(Ⅱ)若曲线与曲线交于两点，求线段的长.

24.（本小题满分10分） 选修4－5：不等式选讲
已知函数.
(Ⅰ)求不等式的解集；
(Ⅱ)若函数的最小值为，且，求的最小值.
东北育才高中部第三次模拟数学（理科）答案

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.
1.C 2.D 3.C 4.A5.C 6.B 7.B 8.D 9.C 10.B 11.D 12.Ax k b 1 . c o m
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13.12 14. 15. 16.[﹣1，1]
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.(Ⅰ) f(x)=sin(2x－)+1－cos2(x－)
= 2[sin2(x－)－ cos2(x－)]+1
=2sin[2(x－)－]+1w w w .x k b 1.c o m
= 2sin(2x－) +1
∴ T==π
(Ⅱ)当f(x)取最大值时, sin(2x－)=1,
有 2x－ =2kπ+
即x=kπ+ (k∈Z)
∴所求x的集合为{x∈R|x= kπ+ , (k∈Z)}.
18.解：(Ⅰ)证明：作FM∥CD交PC于M.
∵点F为PD中点，∴. …………2分
∵，∴，
∴AEMF为平行四边形，∴AF∥EM， ……4分
∵，
∴直线AF平面PEC. 　　　　 　……………6分
(Ⅱ)，.
如图所示，建立坐标系，则
P(0,0,1),C(0,1,0),E(,00),
A(，，0)，，
∴，. …8分
设平面PAB的一个法向量为.
∵，，∴，取，则，
∴平面PAB的一个法向量为. …………………………10分
设向量∵，
∴，
∴PC平面PAB所成角的正弦值为.　 　.…………………………12分

19.

20.解：（Ⅰ）易知椭圆右焦点F（1，0），∴c=1，
抛物线的焦点坐标，∴∴b2=3
∴a2=b2+c2=4∴椭圆C的方程

（Ⅱ）易知m≠0，且l与y轴交于，
设直线l交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2）
由
∴△=（6m）2+36（3m2+4）=144（m2+1）＞0
∴
又由
∴
同理
∴
∵
∴
所以，当m变化时，λ1+λ2的值为定值；
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知A（x1，y1），B（x2，y2），∴D（4，y1），E（4，y2）
方法1）∵
当时，=
=
∴点在直线lAE上，
同理可证，点也在直线lBD上；
∴当m变化时，AE与BD相交于定点
方法2）∵
=
∴kEN=kAN∴A、N、E三点共线，
同理可得B、N、D也三点共线；
∴当m变化时，AE与BD相交于定点．
解:函数的定义域为,.
依题意,方程有两个不等的正根,(其中).故
,
并且 .
所以,

故的取值范围是
(Ⅱ)解:当时,.若设,则
.
于是有

构造函数(其中),则.
所以在上单调递减,.
故的最大值是

22.（本小题满分10分）
解：（1）由为的中点，得

又
∽

又

故平分………………5分
（2）连接，由点是弧的中点，则，
设垂足为点，则点为弦的中点，
连接，则，，

………………10分

23.（本小题满分10分）
解：（1）曲线，………………2分
曲线：………………4分
（2）联立，得，
设，则
于是.
故线段的长为.………………10分
24.（本小题满分10分）
解：（1）由知，于是，解得，故不等式的解集为；……………………3分
（2）由条件得，当且仅当时，其最小值，即…………………6分
又，…………8分
所以，
故的最小值为，此时.……10分
12分

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