1、全国周培源大学生
力学竞赛试题
出题学校：西北工业大学
满分：120 分时间：3 小时
一、小球在高脚玻璃杯中的运动(20 分)
一半球形高脚玻璃杯，半径r =5cm，其质量m1=0.3 kg，杯底座半径R =5 cm，厚度不计，杯脚高度h =10 cm。假如有一个质量m2 = 0.1kg 的光滑小球自杯子的边沿由静止释放后沿杯的内侧滑下，小球的半径忽略不计。已知杯子底座与水平面之间的静摩擦因数fs = 0.5。试分析小球在运动过程中：
（1）高脚玻璃杯会不会滑动；
（2）高脚玻璃杯会不会侧倾（即一侧翘起）。
二、杂耍圆环(40 分)
1.杂技演员
2、将一个刚性圆环沿水平地面滚出，起始圆环一跳一跳地向前滚
动，随后不离开地面向前滚动，为什么？
2.杂技演员拿出一个匀质圆环，沿粗糙的水平地面向前抛出，不久圆环又自动返回到演员跟前。设圆环与地面接触瞬时圆环中心O 点的速度大小为v0，圆环的角速度为ω0，圆环半径为r，质量为m，圆环与地面间的静摩擦因数为fs，不计滚动摩阻，试问：
（1）圆环能自己滚回来的条件是什么？
（2）圆环开始向回滚动直到无滑动地滚动，在此运动过程中，圆环所走过的距离是多少？
（3）当圆环在水平地面上无滑动地滚动时，其中心的速度大小为v1，圆环平面保持在铅垂平面内。试分析圆环碰到高为h(h3、 能不脱离接触地爬上该台阶所应满足的条件。
3.演员又用细铁棍推动题2 中匀质圆环在水平地面上匀速纯滚动，假设圆环保持在铅垂平面内滚动，如图所示。又知铁棍与圆环之间的静摩擦因数为ft ，圆环与地面间的滚动摩阻系数为δ 。试求为使铁棍的推力（铁棍对圆环的作用力）最小，圆环上与铁棍的接触点的位置。
三、趣味单杠(30 分)
单杠运动是奥运会、世界体操锦标赛、世界杯体操比赛中男子体操比赛项目之一。单杠是体操比赛中最具欣赏性的项目，也是观众最喜欢的运动，在学校和健身场合拥有众多的爱好者，小李和小张就是其中之一。一天，他们准备在单杠上进行大回环比赛。假设单杠的横杆和立柱均为直径D=
4、28mm 的钢杆，弹性模量=200GPa，许用应力[σ]=160MPa，横杆长L=2.4m，立柱高H=2.6m。立柱与地面、横杆与立柱之间均为固定联结。假设两人旋转到单杠所在平面内时的惯性载荷均为F=1000N，不计人的自重。
1. 试分析两人同步旋转到单杠所在平面内时，结构中的最大应力。
2. 若两人相差 180°旋转到单杠所在平面内，对结构中的最大应力有什么影响。
3. 为提高结构承载能力，有人提出在单杠距地面 0.6m 处增长一个直径20mm的拉杆。试定性分析该杆对上述两种情况的影响。
四、跳板跳水(30 分)
举世瞩目的第 29 届北京奥林匹克运动会上
5、具有“梦之队”之称的中国跳水队获得了跳水比赛8 枚金牌中的7 枚，囊括了3m跳板跳水的4 枚金牌。Duraflex的Maxiflex Model B 跳水板是奥林匹克跳水比赛和国际级跳水比赛唯一指定使用的产品，它的具体尺寸如图所示，其中横截面尺寸为b = 0.5m，h = 0.05m，跳板的弹性模量E = 70GPa ，比重γ = 25kN/m3，a = 3.2m，l =1.6m。运动员从跳板上上跃至距地面最高点后落至跳板端点C，再从跳板上弹起至空中完毕动作后落水。若运动员体重G = 700N，最大弹跳高度H = 0.6m，取g = 9.8m/s2。
1. 根据所学知识，建立相应的力学分析模型。
2. 为保证运动员落水安全，运动员从空中落入水中时，在跳板所在平面处，运
动员质心距跳板C 端最小距离s 应大于0.5m。试求运动员从跳板上跃时所需
最小水平速度（假设水平方向为匀速运动）？
3. 不计跳板质量，将运动员视为刚体时，运动员冲击跳板时，跳板中的最大动
应力为多少？
4. 如运动员为弹性体，定性说明在冲击时跳板中的最大动应力增大还是减小？
5. 如考虑跳板质量，试计算跳板中的最大动应力。
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