1、走进一次函数的应用
发表于《初中生（初二）》2009年12月第35期
江西省安福县城关中学 曹经富 343200 afcjf@
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在近几年的各地中考中，一次函数的建模与应用常常深受命题者的青睐和关注，这类试题的信息容量大，背景丰富，一般通过表格、图象、文字、背景等表达出来，这要求我们同学要通过分析、读图、识图、析图方可有所发现，必要时还要进行画图，只有弄懂弄清图象表征的本质含义，解题方案才会水到渠成。
一、在生活情景中构建与应用
s
（米）
O
A
?
12
2880
t
（ 分）
例1
2、某天早晨，小明到校后发现忘记带数学课本，一看表，离上课还有20分钟，他立刻步行返回家中取书，同时，他的父亲发现小明没带课本，带上课本立即以小明步行速度的2倍骑车赶往学校，两人在途中相遇，小明拿到课本 后按原速步行回校，到学校时发现迟到了4分钟，下图是父子俩离校的路程s（米）与所用时间t(分)之间的函数关系，请结合图象回答下列问题：
（1） 小明家离学校多远？说出A点的实际意义；
（2） 两人相遇处离学校多远？
（3） 求小明父亲前往学校的路程s与时间t的函数关系式；
（4） 设想若小明相遇拿到课本后，改由其父亲骑车送他前
往学校，他还会迟到吗？若会，迟到几分钟，若不会，
能提前几
3、分钟到校？
思路点拨：结合题意，可知，小明与父亲是两人者相向而行，根据函数图象可知的A点的意义是两人相遇，由此便可得出小明的路程+父亲的路程=2880，求出两人的速度。进而计算出相遇时离学校的距离，从而确定出A点的坐标，再利用待定系数法求出小明父亲前往学校的路程s与时间t的函数关系式；
解析：（1）小明家离学校2880米， A点的实际意义是表示父子两人经过12分钟相遇；
（2）设小明的速度为x米/分，小明父亲的速度为2x米/分，得12（x+2x）=2880；
解得x=80；求出两人相遇处离学校960米；
（3）设s=kx+b；过（0，2880）；（12，960）得;
4、 ;
解得：；即；
（4）由其父亲骑车送他前往学校，即s=0；也就是；得；；不会迟到，能提前2分钟到校。
点评：本题以发生在同学身边的事情为背景，取材特别新颖而又熟悉，关键在于学会透过现象看本质，会将现实生活中的实际问题转化为数学模型，通过建立方程、函数、不等式等相关知识解决实际问题，善于从文字、图象中挖掘潜在的等量关系进行切入，切合客观实际注意知识点的分析与综合。
二、 在生活图景中构建与应用
49cm
30cm
36cm
3个球
有水溢出
例2、小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量桶和体积相同的小球进行了如下操作：
请根据图中给出的信息，解答下列问题
5、
（1）放入一个小球量桶中水面升高___________；
（2）求放入小球后量桶中水面的高度（）与小球个数（个）之间的一次函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）量桶中至少放入几个小球时有水溢出？
思路点拨：水面的高度随着放入小球的个数的变化而变化，成一次函数关系，从生活图景中可以收集到放入零个球的水面高度为30cm，放入3个小球的水面高度为36cm.从则构建成一次函数求解。
解析：（1）由图可知，放入三个小球后水面升高6，由此可知放入一个小球量桶升高．
（2）由图中观察可得出一组变量：当0个小球时水面高度为30，当放入3 个小球时水面高36，由此可设，把，代入得：
6、
解得即．
（3）有水溢出可知水面高度超过49，即，得，
即至少放入个小球时有水溢出．
点评：从现实生活、经典的故事中取材、立意，创设熟悉的生活图景，是近年的中考热点。主要是考查我们从中获取信息，分析和处理数据的能力，能将实际问题转化为数学问题。为此要求我们能用数学的眼光发现素材，从数学的角度进行有关知识的构建与建模，进而分析和解决日常生活中的实际问题。
三、在表格情境中构建与应用
例3、某商场欲购进A、B两种品牌的饮料500箱，此两种饮料每箱的进价和售价如下表所示。设购进A种饮料x箱，且所购进的两种饮料能全部卖出，获得的总利润为y元。
⑴求y关于x的函数关系式？
7、
⑵如果购进两种饮料的总费用不超过20000元，那么该商场如何进货才能获利最多？并求出最大利润。（注：利润＝售价－成本）
品牌
A
B
进价（元/箱）
55
35
售价（元/箱）
63
40
思路点拨：由表格中的信息可得到A、B两种品牌每箱的利润，再根据它们的数量求出总利润，进而利用函数的图象性质求出最大利润。
解析：⑴y＝（63－55）x＋（40－35）（500－x）＝2x＋2500。即y＝2x＋2500（0≤x≤500），
⑵由题意，得55x＋35（500－x）≤20000， 解这个不等式，得x≤125，
∴当x＝125时,y最大值＝3×12＋2500＝2875(元)
∴该商场购进A、B两种品牌的饮料分别为125箱、375箱时，能获得最大利润2875元.
点评：此类题材往往取材于日常生活中的事件，由表格中的信息通过分析整理得到函数关系式，并运用它解决一定的实际问题，解题的关键是读懂题目的要求和表格中数据，注意思考的层次性及其中蕴含的数量关系。
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