函数复习课13.doc

函数复习课
活动1： 函数的图象与性质
思维突破:要熟练掌握一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质，会求整式函数、分式函数、根式函数及实际问题中的自变量的取值范围、值域，会判断函数单调性、奇偶性、对称性等。

例1：求下列函数的定义域：
（1）；
（2）。

规律技巧总结：（1）给定函数的解析式，求函数的定义域的依据是使基本代数式有意义，如分式的分母不等于零、偶次根式的被开方数为非负数、零指数幂的底数不为零、对数的真数大于零且底数为不等于的正数以及三角函数的定义等。
（2）求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题。在解不等式时要细心，取交集时可借助数轴，并且要注意端点值或边界值。

例2 作出函数的图象并写出值域。

规律技巧总结：若解析式中有绝对值号，化简的目标就是去掉绝对值号，这就需要分类讨论。要注意分界点是图象上的点，用实心点表示。整个函数的图象是一个图形，且是由三段构成的，是一个分段函数。

例3 对于任意，函数表示，，中的较大者，则的最小值是

规律技巧总结：利用函数的图象可以比较函数的大小问题。
例4 已知是偶函数，其图象与轴有四个交点，则的所有实根之和是多少？

规律技巧总结：本题由偶函数图象关于轴对称入手，将方程的根与函数图象的交点的横坐标联系起来，这是方程的问题函数解的典例，也是函数与方程思想的具体应用。

例5 是定义在上的奇函数，且满足如下两个条件：
（1）对于任意的、，均有；
（2）当，，且。
试求定义域为的函数的值域。

规律技巧总结：对于未给出解析式，由定义域求值域的问题，一方面考虑求出其解析式，再求值域；另一方面考虑先判断其单调性，然后利用单调性求值域。

例6奇函数是上的减函数，对任意实数，恒有成立，求的取值范围。

规律技巧总结：本题既要利用奇函数的性质，又要利用减函数的性质，而函数的单调性是解（证）不等式的重要依据。
例7 设定义在实数集上的函数。
（1）可能为奇函数吗？
（2）若是偶函数，试研究其单调性。

规律技巧总结：单调性的证明一般利用定义，本题为探索的值，在满足是偶函数的情况下，判断其单调性，一般的单调性与奇偶性的考查易与指数函数结合。

例8、 设，且，如果函数在上的最大值为，
求的值。

规律技巧总结：本例是二次函数与指数函数结合的题目，通过考查二次函数区间的最值，进一步再考查指数函数的值域，这里运用了分类讨论的数学思想。
例9、 如果偶函数在上是增函数，且，求不等式
的解集。

规律技巧总结：本题充分使用了函数的单调性来解题，考查了函数的单调性、对数函数的图象与性质、分类讨论的思想。

活动2：应用数学思想方法解题
1. 数形结合的思想
思维突破：本章主要学习了二次函数、指数函数、对数函数、幂函数，画出它们的图象，通过图象研究了这些函数的性质，由于图象的直观性，在解不等式、判断方程是否有解、解的个数及二次方程的根的分布问题时，我们往往构造函数，利用函数图象求解。
例10 当时，函数和的图象只能是下图中的（ ）
A
x
y
O
1
B
x
y
O
1
C
x
y
O
1
D
x
y

O
1

2. 分类讨论的思想
思维突破：在函数这一部分经常涉及分类讨论的情形，特别是含参数的函数在部分区间上的最值问题，含参数的函数单调性的研究及应用等问题中，一般许分类讨论的思想方法。
例11 已知函数在区间上的函数值总小于，则的取值范围是（ ）
. .
. .
3. 函数与方程的思想
思维突破：本章学习了指数函数、对数函数，研究了函数的定义域、值域、单调性、对称性。因此，用函数与方程的观点知道解题，是一种重要的思想方法。

例12 某林场现有木材30000，如果每年平均增长5%，经过年，树林中有木材，写出间的函数关系式，并求经过多少年，木材可以增加到40000（结果保留1个有效数字）

4. 用换元法处理复合函数问题
思维突破：由于复合函数是由简单函数构成的，我们通过换元法，将复合函数拆成几个简单函数，利用已知的简单函数（如二次函数、指数函数）的性质，处理复合函数的问题。
例13 求的最大值

5. 创新性综合题
思维突破：有很多应用题可用函数去处理，关键是建立函数模型。
例14 某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本。若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应提高的比例为，同时预计年销售量增加的比例为。
已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量。

活动3： 反馈练习
1、 已知 则=＿＿＿＿
2、 已知在[0，1]上是的减函数，则的取值范围是＿＿＿＿
3、 已知函数的定义域为[-1，2]，则函数的定义域为＿＿＿
4、 设函数在（0，2）上是增函数，函数是偶函数，则的从小到大顺序是＿＿＿＿＿＿＿＿
5、 （ⅰ）若函数的定义域为R，求实数的取值范围
（ⅱ）若函数的值域为R，求实数的取值范围

6、 已知奇函数是定义在[-1，1]上的减函数，若。求实数的取值范围。

7、 求下列函数的解析式：
⑴ 设是一次函数，且，求
⑵ 已知，求
⑶函数是奇函数，是偶函数，，求，

8、 已知，，求的值域

9、已知函数是定义在（0，）上的减函数，且，
⑴求
⑵若，求的取值范围。

10、某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度可浴用，浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，分钟注水升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止。现假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供几人洗澡？

11、关于的方程。求为何值时
① 方程有一根
② 方程有一正、一负根
③ 一根大于1、一根小于-1
④ 两非负根