江苏省学周练(1).doc

江苏省通州高级中学高二数学周练（文）
班级 姓名
一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分．
1．下列说法中，所有正确说法的个数有　　　　　．
①一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真；　
②一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真；
③一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假；
④一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假．
2．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a的值为_____．
3．已知p：关于x的不等式x2＋2ax－a＞0的解集为R；q：－1＜a≤0，则p是q的
　　　 　　 条件．（填“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要”）
4．已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B的元素个数为 　　 ．
5．已知集合A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}．若1∈A，则实数a＝　　　 　．
6．已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A，不等式x2＋x－6＜0的解集是B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集是A∩B，那么a＋b＝　　　　　．
7．已知AÍB且AÍC，B={0，1，2，3，4}，C={0，2，4，5，6}，则满足上述条件的集合A的个数有　 　个．
8．已知命题：“∃x∈[1,2]，使x2＋2x＋a≥0”为真命题，则a的取值范围是________．
9．设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0，2，5}，Q＝{1，2，6}，则P＋Q中元素的个数为 ．
10．已知命题p：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为Æ；命题q：函数y＝(2a2－a)x为增函数，若函数“p∨q”为真命题，则实数a的取值范围是 ．
11．记f(x)＝ax2－bx+c，若不等式f(x)＞0的解集为(1，3)，则关于t的不等式f(|t|+8)＜f(2+t2)的解集为 ．
12．设变量满足约束条件，则s＝的取值范围是　　　．
13．若线性目标函数z＝x＋y在线性约束条件下取得最大值时的最优解只有一个，则实数a的取值范围是________．
14．设f(x)是定义在R上的增函数，且对于任意的x都有f(1－x)＋f(1＋x)＝0恒成立．如果实数m、n满足不等式组那么m2＋n2的取值范围是
．

二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题14分）
已知a＞0，设命题p：方程有两个正根；命题q：曲线与x轴交于不同的两点．如果“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求a的取值范围

16．（本小题14分）
已知函数f(x)＝log4x，的值域为集合A，关于的不等式（a∈R）的解集为B，集合，集合（m＞0）．
（1）若A∪B＝B，求实数a的取值范围；
（2）若DÍC，求实数m的取值范围．

17．（本小题15分）
某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率多0.25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率少0.05
（1）分别求甲、乙产品为一等品的概率，；
（2）已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示，且该厂有工人32名，可用资金55万元．设x，y分别表示生产甲、乙产品的数量，在（1）的条件下，求x，y为何值时，z＝x＋y最大，最大值是多少？
项目`
用量
产品
工人(名)
资金(万元)
甲
4
20
乙
8
5

18．（本小题15分）
已知x∈[0,1]时，不等式x2cosθ－x(1－x)＋(1－x)2sinθ＞0恒成立，试求θ的取值范围．

19．（本小题16分）
设，是否存在，使得，证明此结论．

20．（本小题16分）
设S为满足下列两个条件的实数所构成的集合：①；②若a∈S，则．
解答下列问题：
（1）若数列中的项都在S中，求S中所含元素个数最少的集合S*；
（2）集合S中所含元素的个数一定是3n个吗？（n∈N*）若是，请给出证明；若不是，请说明理由．
省通州高级中学2013—2014学年度高三（上）数学周练（1）答案
命题人 瞿德明 审题人 王新星
班级 姓名
一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分．
1．下列说法中，所有正确说法的个数有　　　　　．① ②
①一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真；　
②一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真；
③一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假；
④一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假．
2．（2010·江苏）设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a的值为________．
解：由于a2＋4＞3，故a＋2＝3，即a＝1．经验证，a＝1符合题意．∴a＝1．
3．已知p：关于x的不等式x2＋2ax－a＞0的解集为R；q：－1＜a≤0，则p是q的
　　　 　　 条件．（填“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要”）充分不必要
解：因为x2＋2ax－a＞0的解集为R，则Δ＝4a2＋4a＜0，解得－1＜a＜0，故p⇒q，充分性成立；而由q⇒p，故必要性不成立，填“充分不必要”．
4．（2011·广东）已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B的元素个数为 　　 ．2
解：圆x2＋y2＝1的圆心(0,0)到直线x＋y＝1的距离d＝＜1，因此，直线x＋y＝1与圆x2＋y2＝1相交，有两个交点，因此，A∩B的元素个数为2．
5．已知集合A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}．若1∈A，则实数a＝　　　 　．
解：若a＋2＝1，则a＝－1；若(a＋1) 2＝1，则a＝－2或0；若a2＋3a＋3＝1，
则a＝－2或－1；当a＝－1或－2时，不符合题意，所以a＝0．
6．已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A，不等式x2＋x－6＜0的解集是B，不等式x2＋ax＋b<0的解集是A∩B，那么a＋b＝　　　　　．－3
解：由题意，A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}，A∩B＝{x|－1＜x＜2}，由韦达定理知，a＝－1，b＝－2，所以a＋b＝－3．
7．已知AÍB且AÍC，B{0，1，2，3，4}，C={0，2，4，5，6}，则满足上述条件的集合A的个数有　 　个．8
8．已知命题：“∃x∈[1,2]，使x2＋2x＋a≥0”为真命题，则a的取值范围是________．
a≥－8
解：当1≤x≤2时，8≥x2＋2x≥3，如果“∃x∈[1,2]，使x2＋2x＋a≥0”为真命题应有－a≤8，所以a≥－8.
9．设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0，2，5}，Q＝{1，2，6}，则P＋Q中元素的个数为 ．8
解：∵P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，P＝{0,2,5}，Q＝{1，2，6}，∴当a＝0时，a＋b的值为1，2，6；当a＝2时，a＋b的值为3，4，8；当a＝5时，a＋b的值为6，7，11，∴P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}，∴P＋Q中有8个元素．
10．已知命题p：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为Æ；命题q：函数y＝(2a2－a)x为增函数，若函数“p∨q”为真命题，则实数a的取值范围是 ．
解：命题p为真，则有Δ＝(a－1)2－4a2＜0．解得a＞或a＜－1；命题q为真命题，则2a2－a＞1，解得a＞1或a＜－．又∵“p∨q”为真命题，∴a＞或a＜－．
11．记f(x)＝ax2－bx+c，若不等式f(x)＞0的解集为(1，3)，则关于t的不等式f(|t|+8)＜f(2+t2)的解集为 ．(－3，3)
解：由题意知f(x)＝a(x－x1) (x－x2) ＝a(x－1) (x－3)，且a＜0故二次函数在区间[2，+∞)上是增函数．又因为|t|+8＞8，2+t2≥2，故由二次函数的单调性知不等式f(|t|+8)＜f(2+t2)等价于|t|+8＞2+t2，即|t|2－|t|－6＜0，故|t|＜3，∴不等的解为－3＜t＜3．.
12．设变量满足约束条件，则s＝的取值范围是　　　．[，2]
解：作出约束条件表示的可行域如图，由图象可知B(0，1)，C(1，0)．s＝的几何意义是区域内的任一点到定点M(－1，－1)的斜率的变化范围，由图象可知，kMC＝＝，kMB＝＝2，所以kMC≤s≤kMB，即．
13．若线性目标函数z＝x＋y在线性约束条件下取得最大值时的最优解只有一个，则实数a的取值范围是________．(－∞，2]
解：作出可行域如图，由图可知直线y＝－x与y＝－x＋3平行， 若最大值只有一个，则直线y＝a必须在直线y＝2x与y＝－x+3的交点A(1,2)的下方，故a≤2．
14．设f(x)是定义在R上的增函数，且对于任意的x都有f(1－x)＋f(1＋x)＝0恒成立．如果实数m、n满足不等式组那么m2＋n2的取值范围是________．(13，49)
解：由f(1－x)＋f(1＋x)＝0得，f(n2－8n)＝f[(n2－8n－1)＋1]＝－f[1－(n2－8n－1)]＝－f(－n2＋8n＋2)，所以f(m2－6m＋23)＜－f(n2－8n)＝f(－n2＋8n＋2)，又f(x)是定义在R上的增函数，所以m2－6m＋23＜－n2＋8n＋2，即为(m－3)2＋(n－4)2＜4，且m＞3，所以(m，n)在以(3,4)为圆心，半径为2的右半个圆内，当为点(3,2)时，m2＋n2＝13，圆心(3,4)到原点的距离为5，此时m2＋n2＝(5＋2)2＝49，所以m2＋n2的取值范围是(13，49)．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题14分）
已知a＞0，设命题p：方程有两个正根；命题q：曲线与x轴交于不同的两点．如果“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求a的取值范围．
解： p真：解得．
q真：，解得或．
∵“p且q”为假命题，“p或q”为真命题， ∴p与q一真一假．
①若p真q假，则且且，∴≤a≤1；
②若p假q真，则且或，∴a＞．
∴的取值范围为≤a≤1或a＞．
16．（本小题14分）
已知函数f(x)＝log4x，的值域为集合A，关于的不等式（a∈R）的解集为B，集合，集合（m＞0）．
（1）若A∪B＝B，求实数a的取值范围；
（2）若DÍC，求实数m的取值范围．
解：（1）因为4＞1，所以f(x)在上,单调递增，所以A＝[f()，f(4)]＝[－2,1]；
又由（a∈R）可得，即－3x－a＞x，
所以x＜－，所以B＝(－∞，－)．
又A∪B＝B，所以AÍB．所以－＞1，所以a＜－4．
所以实数的取值范围为(－∞，－4)．
（2）因为，所以有，所以－1＜x≤2，所以C＝(－1，5]，
对于集合ÍC（m＞0），有：
①当m+1≥2m－1时，即0＜m≤2时D＝Æ，满足DÍC，
②当m+1＜2m－1时，即m＞2时D≠Æ，所以有：
Þ－2＜m≤5，又因为m＞2，所以2＜m≤3．
综上，由①②可得，实数m的取值范围(0，3]．
17．（本小题15分）
某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率多0.25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率少0.05.
（1）分别求甲、乙产品为一等品的概率，；
（2）已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示，且该厂有工人32名，可用资金55万元．设x，y分别表示生产甲、乙产品的数量，在（1）的条件下，求x，y为何值时，z＝x＋y最大，最大值是多少？
项目`
用量
产品
工人(名)
资金(万元)
甲
4
20
乙
8
5
解：（1）依题意得解得
故甲产品为一等品的概率P甲＝0.65，乙产品为一等品的概率P乙＝0.4．
（2）依题意得x、y应满足的约束条件为且z＝0.65x＋0.4y．
作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分，即可行域．作直线l0：0.65x＋0.4y＝0即13x＋8y＝0，把直线l向上方平移到l1的位置时，直线经过可行域内的点M，此时z取得最大值．解方程组得x＝2，y＝3．
故M的坐标为(2,3)，所以z的最大值为zmax＝0.65×2＋0.4×3＝2.5．所以，当x＝2，y＝3时，z取最大值为2.5．
答：当x＝2，y＝3时，z取最大值为2.5．
18．（本小题15分）
已知x∈[0,1]时，不等式x2cosθ－x(1－x)＋(1－x)2sinθ＞0恒成立，试求θ的取值范围．
解法一：由题意知：x＝0或x＝1时，原不等式成立，即sinθ＞0，cosθ＞0，
∴θ在第一象限．
设f(x)＝x2cosθ－x(1－x)＋(1－x)2sinθ
＝(1+sinq+cosq)[x－]2－，
由sinθ＞0，cosθ＞0得1+sinq+cosq＞0且
＝∈(0，1)，
又∵x∈[0,1]，f(x)min＝－，
故由题意，－＞0，∴4sinθcosθ－1＞0，
∴sin2θ＞，∴kπ＋＜θ＜kπ＋，
∴θ的取值范围应是，k∈Z．
解法二：由题意知：x＝0或x＝1时，原不等式成立，即sinθ＞0，cosθ＞0，
∴θ在第一象限．
∵x∈(0,1)时，x2cosθ＋(1－x)2sinθ≥2x(1－x)，∴原不等式成立，只须
2x(1－x)－x(1－x)＞0．注意到x(1－x)＞0，
∴2＞1，∴sin2θ＞，∴kπ＋＜θ＜kπ＋，
∴θ的取值范围应是，k∈Z．
19．（本小题16分）
设，是否存在，使得，证明此结论．
证：∵(A∪B)∩C=，∴A∩C=且B∩C=，
∵，∴k2x2+(2bk－1)x+b2－1=0，
∵A∩C=，∴Δ1=(2bk－1)2－4k2(b2－1)＜0，
∴4k2－4bk+1＜0，此不等式有解，其充要条件是16b2－16＞0，即b2＞1． ①
∵，∴4x2+(2－2k)x+(5+2b)=0，∵B∩C=，
∴Δ2=(1－k)2－4(5－2b)＜0，∴k2－2k+8b－19＜0，从而8b＜20，即b＜2.5， ②
由①②及b∈N*，得b＝2代入由Δ1＜0和Δ2＜0组成的不等式组，得，∴k＝1．
故存在自然数k＝1，b＝2，使得(A∪B)∩C=．
20．（本小题16分）
设S为满足下列两个条件的实数所构成的集合：①；②若a∈S，则．
解答下列问题：
（1）若数列中的项都在S中，求S中所含元素个数最少的集合S*；
（2）集合S中所含元素的个数一定是3n个吗？（n∈N*）若是，请给出证明；若不是，请说明理由．
解：（1）设，∴，即S中必有元素2，－2．
又∵，．又∵，∴，又∵，，
∴S中至少含有元素．
同理，有可得，，，∴S中至少含有元素．
即S中所含元素个数最少的集合S*．
（2）一定是3n个．
由a∈S，且．
∴由．
即当时，．
下面证明：互不相等．
若，则无解，∴；
若，无解，∴；
若，，无解，∴．即互不相等．
∴集合S中所含元素的个数一定是3n个．

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