北京市良乡中学高三数学押题密试题北师大版.doc

北京市良乡中学2013届高三押题密卷
数学试题
一、选择题：
1. 设全集为，集合，，则( )
A． B． C． D．
2. 复数（是虚数单位）在复平面上对应的点位于 ( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3. 已知函数（其中）的图象如下面右图所示，
f (x)
则函的图象是( )

A． 　B． 　C． 　 D．
4. 要从10名男生和5名女生中选出6人组成啦啦队，若按性别分层抽样且甲男生担任队长，则不同的抽样方法数是 （ ）
A． B． C． D．
5.已知圆O：，直线过点（0，3），倾斜角为，在区间（0，π）内随机取值, 与圆O相交于A、B两点，则|AB|≤的概率是( )
A． B． C． D．
6. 执行右面的程序框图，若输入N＝2013，则输出S等于( )
A．1 B． C． D．

7. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为
A. B.
C. D.

8. 在正方体中, 点在线段上运动时，下列命题中正确的是（ ）

①三棱锥的体积不变;②直线与平面所成角的大小不变;
③二面角的大小不变;④恒成立.
A.①④ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9. 在△ABC中，AB=4，∠ABC=30°，D是边上的一点，且则的值等于 .
A
B
C
D
O
10. 如图，是半圆的直径，是半圆上异于的点，，垂足为，已知，，则 ．
11. 已知双曲线的一条渐近线为，且右焦点与抛物线的焦点重合，则常数的值为 .
12. 设，则二项式展开式中不含项的系数和是 。
13. 直线的参数方程是（其中为参数），圆的极坐标方程为，过直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值是 。
14. 为防洪抗旱，某地区大面积种植树造林，如图，在区域
内植树,第一棵树在点，第二棵树在点，第三棵树在C1（1，0）点，
第四棵树点，接着按图中箭头方向每隔一个单位种一棵树，那么第2013
棵树所在的点的坐标是 。

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题共13分）
在中，角的对边分别为且成等差数列，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的面积.

（16）（本小题共13分）
围棋对局中，执黑棋者先下，执白棋者后下．一次围棋比赛中，甲乙进入最后的冠军争夺战，决赛规则是三局两胜制（即三局比赛中，谁先赢得两局，就获得冠军），假定每局比赛没有平局，且每局比赛由裁判扔硬币决定谁执黑棋．根据甲乙双方以往对局记录，甲执黑棋对乙的胜率为，甲执白棋对乙的胜率为
（1）求乙在一局比赛中获胜的概率；
（2）若冠军获得奖金10万元，亚军获得奖金５万元，且每局比赛胜方获得奖金１万元，负方获得奖金万元，记甲在决赛中获得奖金数为X万元．求X的分布列和期望EX．

（17）（本小题共14分）
已知在四棱锥中，底面是矩形，且，，平面，、分别是线段、的中点．
（1）证明：；
（2）判断并说明上是否存在点，使得∥平面；
（3）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值．

(18) （本小题共13分）
已知函数
（1）若函数在上为增函数，求正实数的取值范围；
（2）讨论函数的单调性；
（3）当时，求证：对大于的任意正整数，都有。

（19）（本小题共13分）
已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线是抛物线的一条切线。
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的动直线L交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径圆恒过点T？若存在求出点T的坐标；若不存在，请说明理由。

（20）（本小题共14分）
已知数列满足，且当时，，令．
（Ⅰ）写出的所有可能的值；
（Ⅱ）求的最大值；
（Ⅲ）是否存在数列，使得？若存在，求出数列；若不存在，
说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
（1）C （2）B （3）A （4）A
（5）D （6）D （7）B 构造正方体 （8）C
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9.4 10. 11. 12.161 13.
14. （11，44）
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
15.（Ⅰ）∵A、B、C成等差数列，，又
，
∴，
∴.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
又∵，
∴在△ABC中，由正弦定理，得
∴.
∴△ABC的面积.
16. （1） ………5分
（2）X取值为6，7,12，12．5，甲在一局比赛中获胜概率为
………6分
………7分
………8分
………9分
X
6
7
12
12．5
P

…………．．10分
………．．12分
17．解：（Ⅰ）∵ 平面，，
，，建立如图所示的空间直角坐标系，
则．…………2分
不妨令∵，
∴，
即．…………………………4分
（Ⅱ）设平面的法向量为，
由，得，令，解得：．
∴． ………………………………………………………6分
设点坐标为，，则，
要使∥平面，只需，即，
得，从而满足的点即为所求．……………………………8分
（Ⅲ）∵，∴是平面的法向量，易得，…………9分
又∵平面，∴是与平面所成的角，
得，，平面的法向量为 ……10分
∴，
故所求二面角的余弦值为．………12分
18.
解：（1）∵ ∴ ．．．．．．1
∵ 函数在上为增函数 ∴ 对恒成立
对恒成立，即对恒成立∴ 4分
（2），
当时，对恒成立，的增区间为 ．．．．．．5
当时，，
的增区间为，减区间为（）．．．．．．6
（3）当时，，，故在上为增函数。
当时，令，则，故 ．．．．．．8
∴ ，即
∴

19. 解：（Ⅰ）由
因直线相切，
，∴，………………2分
∵圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角
形，∴ ………………4分
故所求椭圆方程为 ………………5分
（Ⅱ）当L与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：
当L与x轴垂直时，以AB为直径的圆的方程： 由
即两圆公共点（0，1）
因此，所求的点T如果存在，只能是（0，1） ………………7分
（ⅰ）当直线L斜率不存在时，以AB为直径的圆过点T（0，1）
（ⅱ）若直线L斜率存在时，可设直线L：
由
记点． ………………9分

∴TA⊥TB, ………………11分
综合（ⅰ）（ⅱ），以AB为直径的圆恒过点T（0，1）． ……………12分
20.
解:（Ⅰ）由题设，满足条件的数列的所有可能情况有：
（1）此时；（2）此时；
（3）此时；（4）此时；
（5）此时；（6）此时；
所以，的所有可能的值为：，，，，． ……4分
（Ⅱ）由，
可设，则或（，），
因为，所以
．
因为，所以，且为奇数，是由
个1和个构成的数列．
所以
．
则当的前项取，后项取时最大，
此时．
证明如下：
假设的前项中恰有项取，则
的后项中恰有项取，其中，
，，．

．
所以的最大值为． ……9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，如果的前项中恰有项取，的后项中恰有项取，则，若，则，因为是奇数，所以是奇数，而是偶数，因此不存在数列，使得． ……13分

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