第十九章勾股定理.doc

勾股定理
教学设计说明
“勾股定理”是几何中一个非常重要的定理，它提示了直角三角形三边之间的数量关系，将数与形密切联系起来，它有着丰富的历史背景，在理论上占有重要地位。
本节课经历了从实际问题引入数学问题然后发现定理，再到探索定理，最后学会验证定理及应用定理解决实际问题的过程，使学生亲身体验勾股定理的探索与验证过程，力争由传统的数学课程向实验课程的转变。
本节课从知识方法、能力与素质的层面确定了相应的教学目标，把学生的探索与验证活动放在首位，一方面要求学生在教师的引导下自主探索、合作交流，另一方面要求学生对对探索过程中用到的数学思想方法有一定的领悟和认识，达到培养能力的目的。
本节课运用的是探究式教学方法，采用教师启发引导、学生独立思考、自主探究、师生讨论交流相结合的方式，为学生提供观察、思考、探索、发现的时间和空间，使学生以一个创造者或发明者的身份去探究知识，从而培养了学生自主学习的习惯.
教学任务分析
教学目标
知识技能
了解勾股定理的文化背景,体验勾股定理的探索过程.
数学思想
在勾股定理的探索过程中,发展合情推理能力,体会数形结合的思想.
解决问题
1.       通过拼图活动,体验数学思维的严谨性,发展形象思维..
2.       在探究活动中,学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究的结果.
情感态度
1.       通过对勾股定理历史的了解,感受数学文化,激发学习热情.
2.       在探究活动中,体验解决问题方法的多样性,培养学生的合作交流意识和探索精神.
重点
探索和证明勾股定理.
难点
用赵爽证法证明勾股定理.
教学流程安排
活动流程图
活动内容和目的
活动1 欣赏图片,了解历史

活动2 探索勾股定理

活动3 证明勾股定理

活动4 小结、布置作业
通过对赵爽弦图的了解，激发起学生对勾股定理的探索兴趣。
观察、分析方砖图和方格图，得出直角三角形的性质——勾股定理，发展学生分析问题的能力。
通过剪拼赵爽弦图证明勾股定理，体会数形结合思想，激发探索精神。
回顾、反思、交流、布置课后作业，巩固、发展、提高。
教学过程设计
问题与情境
师生行为
设计意图
[活动1]
2002年在北京召开了第24届国际数学家大会，它是最高水平的全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的“奥运会”。这个图案是本届大会的会徽。
（1）你见过这个图案吗？
（2）你知道为什么把这个图案作为这次大会的会徽吗？
教师出示大会照片及图片。
学生观察图片发表见解。
教师补充说明：这个图案被称为“赵爽弦图”。介绍勾股定理的历史。
本次活动中，教师应重点关注：
（1）是否提起了学生对勾股定理的历史的兴趣。（2）学生对勾股定理的了解程度。
从实际生活入手提出“赵爽弦图”，为学生探索活动创设情境，激发学生学习兴趣。
[活动2]
毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家，相传在2500年前，他在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面反映了直角三角形的某种特性。
（1）观察方砖图，你能有什么发现吗？
（2）图中以等腰直角三角形的三边为边长的三个正方形的面积有什么关系？
（3）等腰直角三角形的三边有什么关系？
教师出示方砖图并提出问题。
学生观察图片，分组交流。
教师引导学生总结：等腰直角三角形的两条直角边平方的和等于斜边的平方。

教师要针对不同认识水平的学生引导其用不同的方法得出正方形的面积。
在本次活动中，教师应重点关注：
（1）给学生充足的思考时间，鼓励学生大胆说出自己的看法。
（2）学生能否计算出各个正方形的面积。
（3）学生能否将三个正方形的面积关系转化为直角三角形三条边的关系。
通过实际问题激发学生好奇心，探索和主动学习的欲望。

渗透从特殊到一般的数学思想，为学生提供参与数学活动的时间和空间，发挥学生的主体作用；培养学生的类比迁移能力。

鼓励学生从不同角度寻求解决问题的方法，并通过对方法的反思，获得解决问题的经验。

让学生积极参与对数学问题的讨论，敢于发表自己的意见，能从交流中获益。
[活动3]
等腰直角三角形三边具有这样的性质，一般的直角三角形也具有这样的性质吗？
（1）你能计算方格图里三个正方形的面积吗？
（2）通过对面积的计算，你能说出直角三角形三边之间的关系吗？
（3）通过方砖图和方格图的观察和计算，你有什么新的发现？
教师出示图片并提出问题。
学生观察图片发表意见。
师生共同总结：直角三角形的两条直角边平方的和等于斜边的平方。

本次活动中，教师应重点关注：学生能否用不同的方法计算出大正方形的面积。
通过对大正方形面积的计算，培养学生的观察、分析能力，让学生学会灵活的计算方法。
历经从特殊到一般的探索过程，培养学生大胆设想的能力。
[活动4]
我们猜想的命题是否成立呢？这就需要我们对一个一般的直角三角形进行证明。到目前为止，对这个命题的证明方法已有几百种之多，下面我们就来看一看我国古代数学家赵爽的证明方法。
（1）把边长分别为a、b的两个正方形并在一起，你能通过剪、拼，把它拼成赵爽弦图吗？
（2）面积分别怎样表示？它们有什么关系？
（3）现在你知道2002年国际数学家大会为什么用赵爽弦图作会徽吗？
教师提出问题，学生在独立思考的基础上以小组为单位动手剪拼。
教师参与学生活动，帮助、指导学生完成拼图活动。
学生展示分割、拼接过程。

教师展示多媒体拼接过程。
本次活动中，教师应重点关注：
（1）学生是否积极参与了拼接活动。
（2）学生能否合理进行分割。
（3）学生能否用语言准确地表达自己的观点。
（4）学生是否有民族自豪感？
通过拼图活动，调动学生思维的积极性，为学生提供从事数学活动的机会，建立空间观念，发展形象思维。
通过拼图活动，使学生对定理的理解更加深刻，体会数学中的数形结合思想。
通过多媒体展示拼图过程，使学困生也能感受拼图的全过程，加深理解。
通过对会徽问题的回答，培养学生的民族自豪感及勇于探索的精神。
[活动4]探究
问题1
一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内通过？为什么？
1m

２m

Ｄ

Ｃ

Ｂ

Ａ

（1）横着、竖着能否通过？为什么？
（2）还可以尝试怎样过？
问题2
如图，一个3m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5m，如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗?
O

D

C

B

A

教师提出问题1，学生分组讨论。
教师着重引导学生将实际问题转化为数学模型。
当确定横着、竖着都不能通过时，得出只能试试斜着能否通过，从中抽象出Rt△ABC，并求出斜边AC。

教师提出问题2，引导学生将实际问题转化为数学模型；
学生合作交流，讨论回答：
要求梯子底端是否也外移0.5米，就是求BD的长，而BD=OD-OB，只需先求出OD、OB的长即可，于是把实际问题转化成了直角三角形问题。
在本次活动中，教师应重点关注：
（1）结合问题1训练学生用文字语言表达数学过程的能力；
（2）学生能否准确将实际问题转化为数学问题，建立几何模型；
（3）正确运用勾股定理解释生活中的问题。
通过运用勾股定理对实际问题的解释和应用，培养学生从身边的事物中抽象出几何模型的能力，使学生更加深刻地认识数学的本质：数学来源于生活，并能服务于生活。
[活动5]
小结：
（1）勾股定理研究的是直角三角形三边之间的关系。
（2）本节课经历了从实际问题引入数学问题然后发现定理，再到探索定理，最后学会验证定理及应用定理解决实际问题的过程。
布置作业：
1、第76页 第1、2题；
2、收集有关勾股定理的证明方法。
学生谈体会。
教师进行补充、总结。
在本次活动中，教师应重点关注：
（1）不同层次的学生对知识的理解程度；
（2）学生是否能从不同方面谈感受；
（3）学生是否受到了爱国主义教育，探索科学奥谜的精神是否得到了培养。
第2题作业根据自己情况选择完成。
通过小结为学生创设交流的空间，调动学习的积极性，既引导学生从面积的角度理解勾股定理，又从能力、情感、态度等方面关注学生对课堂整体感受，在轻松愉快的气氛中体会收获的喜悦。

让学生课外继续研究，进一步培养