古典概型、几何概型及概率的综合应用.doc

第5讲 古典概型、几何概型及概率的综合应用

随堂演练巩固
1.将一枚骰子抛掷两次,若先后出现的点数分别为b,c,则方程有实根的概率为( )
A. B.
C. D.
【答案】 A
【解析】 一枚骰子掷两次,其基本事件总数为36,方程有实根的充要条件为.

由此可见,使方程有实根的基本事件个数为1+2+4+6+6=19,
于是方程有实根的概率为P.
2.已知正方体ABCD-内有一个内切球O,则在正方体ABCD-内任取点M,点M在球O内的概率是( )
A. B.
C. D.
【答案】 C
【解析】 设正方体棱长为a,则正方体的体积为其内切球的体积为
故M在球O内的概率为.
3.如图,一矩形长为6,宽为4,在矩形内随机地撒300颗黄豆,数得落在椭圆外的黄豆数为96颗,以此
实验数据为依据可以估算出椭圆的面积约为( )

A.7.68
B.16.32
C.17.32
D.8.68
【答案】 B
【解析】 根据几何概型的概率公式得黄豆落在椭圆内的概率
而.故..32.
4.现有5根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽取2根竹竿,则它
们的长度恰好相差0.3 m的概率为 .
【答案】
【解析】 .
5.一个路口的红绿灯,红灯亮的时间为30秒,黄灯亮的时间为5秒,绿灯亮的时间为40秒,当你到达
路口时,看见下列三种情况的概率各是 、 、 .
(1)红灯
(2)黄灯
(3)不是红灯
【答案】
【解析】 在75秒内,每一时刻到达路口的时候是等可能的,属于与长度有关的几何概型.
;
;
.

课后作业夯基
基础巩固
1.方程有实根的概率为( )
A. B.
C. D.
【答案】 C
【解析】 由得又故所求事件的概率为.
2.先将一个棱长为3的正方体木块的六个面分别涂上六种颜色,再将该正方体均匀切割成棱长为
1的小正方体,现从切好的小正方体中任取一块,所得正方体的六个面均没有涂色的概率是( )
A. B.
C. D.
【答案】 D
【解析】 由题意可知正方体被切割为27块,六个面均没有涂色的只有最中间的那一块,则其概率
为.
3.在第1、3、4、5、8路公共汽车都要停靠的一个站(假定这个站只能停靠一辆汽车)上,有一位乘
客等候第4路或第8路公共汽车.假定当时各路汽车首先到站的可能性相等,则首先到站正好是这
位乘客所需乘的汽车的概率等于( )
A. B.
C. D.
【答案】 D
【解析】 1、3、4、5、8这5路汽车中的任何一路到站的可能性是相同的,故所求概率为.
4.如图所示,在直角坐标系内,射线OT落在60角的终边上,任作一条射线OA,则射线OA落在内的概率是( )

A.
B.
C.
D.
【答案】 D
【解析】 记“射线OA落在内”为事件A.事件A的几何度量是60,而所有区域的几何度量是360,故.
5.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的横、纵坐标,则点P在直线x+y=5下方的概率为( )
A. B.
C. D.
【答案】 A
【解析】 点P在直线x+y=5下方的情况有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)六种可能,故其概率为
.
6.(2012山东枣庄段考)连掷两次骰子得到的点数分别为m和n,记向量a=(m,n)与向量b=(1,-1)的夹角为则的概率为( )
A. B.
C. D.
【答案】 D
【解析】 由得cos从而.当m=1时,n=1;当m=2时,n=1,2;当m=3时,n=1,2,3;…;当m=6时,n=1,2,3,4,5,6.故所求概率为.
7.已知函数其中.记函数f(x)满足条件 为事件A,则事件A发生的概率为( )
A. B.
C. D.
答案】 C
【解析】 由题意知事件A对应 表示的区域,其面积为8,试验的全部结果构成的区域面积为16,故所求概率为.
8.向面积为9的△ABC内任投一点P,那么△PBC的面积小于3的概率是 .
【答案】
【解析】 如图,由题意,△PBC的面积小于3,则点P应落在梯形BCED内,

∵
∴.∴.∴.
9.将一骰子连续抛掷三次,它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为 .(结果用最简分数表示)
【答案】
【解析】 将一骰子连续抛掷三次,共有种可能的结果,其中点数依次成等差数列的情况有6=18种,故所求概率为.
10.有20张卡片,每张卡片上分别标有两个连续的自然数k,k+1,其中k=0,1,2,…,19.从这20张卡片中任取一张,记事件“该卡片上两个数的各位数字之和(例如:若取到标有9,10的卡片,则卡片上两个数的各位数字之和为9+1+0=10)不小于14”为A,则P(A)= .
【答案】
【解析】 当时,S=2k+1,
当k=9时,S=9+1+0=10,
当时,令2+2t+1=2t+3,
当k=19时,S=1+9+2+0=12,
令则k=7、8,
令则t=6、7、8,即k=16、17、18,
故.
11.一个盒子里装有完全相同的10个小球,分别标上1,2,34,5,6,7,8,9,10这10个数字,今随机地先后
抽取2个小球,如果:
(1)小球是不放回的;(2)小球是有放回的.
求2个小球上的数字为相邻整数的概率.
【解】随机抽取2个小球,记事件A为“2个小球上的数字为相邻整数”,可能结果为
(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,7),(7,8),(8,9),(9,10),(2,1),(3,2),(4,3),(5,4),(6,5),(7,6),(8,7),(9,8),(10,9),
共18种.
(1)如果小球是不放回的,按抽取顺序记录结果(x,y),则x有10种可能,y有9种可能,共有可能结果990种,因此事件A的概率为.
(2)如果小球是有放回的,按抽取顺序记录结果(x,y),则x有10种可能,y有10种可能,共有可能结果种,因此,事件A的概率为.
12.两人约定在20:00到21:00之间相见,并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去,如果两人出发
是各自独立的,在20:00至21:00各时刻相见的可能性是相等的,求两人在约定时间内相见的概率.
【解】 设两人分别于x时和y时到达约见地点,要使两人能在约定时间范围内相见,
当且仅当.
两人到达约见地点所有时刻(x,y)的各种可能结果可用图中的单位正方形内(包括边界)的点来表
示,两人能在约定的时间范围内相见的各种可能结果可用图中的阴影部分(包括边界)来表示.

因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小,也
就是所求的概率为.
13.袋子中放有大小和形状相同的小球若干个,其中标号为0的小球1个,标号为1的小球1个,标号
为2的小球n个.已知从袋子中随机抽取1个小球,取到标号是2的小球的概率是.
(1)求n的值;
(2)从袋子中不放回地随机抽取两个小球,记第一次取出的小球标号为a,第二次取出的小球标号为b.
①记事件A表示“a+b=2”,求事件A的概率;
②在区间[0,2]内任取两个实数x,y,求事件“恒成立”的概率.
【解】 (1)由题意可知:解得n=2.
(2)①不放回地随机抽取2个小球的所有基本事件为:
(0,1共12个,
事件A包含的基本事件为:共4个.
∴.
②记“恒成立”为事件B,则事件B等价于“”,
(x,y)可以看成平面中的点,
则全部结果所构成的区域{(x,y)|R},
而事件B所构成的区域B={(x,y)|}.
拓展延伸
14.已知函数R).
(1)若a从集合{0,1,2,3}中任取一个元素,b从集合{0,1,2,3}中任取一个元素,求方程f(x)=0恰有两个不相等实根的概率;
(2)若b从区间(0,2)中任取一个数,a从区间(0,3)中任取一个数,求方程f(x)=0没有实根的概率.
【解】 (1)∵a取集合{0,1,2,3}中任一个元素,b取集合{0,1,2,3}中任一个元素,a,b取值的情况是:
(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),(3,0),(3,1),(3,2),(3,3),其中第一个数
表示a的取值,第二个数表示b的取值,即基本事件总数为16.
记“方程f(x)=0恰有两个不相等的实根”为事件A,
当时,方程f(x)=0恰有两个不相等实根的充要条件为b>a且a不等于零,
当b>a且时,a,b取值的情况有(1,2),(1,3),(2,3),即A包含的基本事件数为3,
∴方程f(x)=0恰有两个不相等实根的概率P(A)=.
(2)记“方程f(x)=0没有实根”为事件B.
∵b从区间(0,2)中任取一个数,a从区间(0,3)中任取一个数,
则试验的全部结果构成区域{(a,b)|0b},其面积为.
由几何概型的概率计算公式可得方程f(x)=0没有实根的概率.