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反比例函数图像的应用问题

函数思想就是用运动变化的观点去分析、研究数量关系，建立函数关系，进而运用函数的图像和性质去分析问题，解决问题。实际生活中，我们常会遇到与反比例函数有关的问题，在这类问题中，运用数形结合的思想方法，恰当的构造反比例函数模型，可以把所研究的问题转化为函数的问题来解决。下面选择2014年中考中有代表性的试题，与九年级学生一起共勉。
一、反比例函数增减性的直接运用
1．(2014年天津市)已知反比例函数y=，当1＜x＜2时，y的取值范围是（　　）
A． 0＜y＜5 B． 1＜y＜2 C． 5＜y＜10 D． y＞10
考点： 反比例函数的性质．
分析： 将x=1和x=2分别代入反比例函数即可确定函数值的取值范围．
解答： 解：∵反比例函数y=中当x=1时y=10，当x=2时，y=5，
∴当1＜x＜2时，y的取值范围是5＜y＜10，
故选C．
点评： 本题考查了反比例函数的性质：（1）反比例函数y=（k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
二、反比例函数k的几何意义的运用
2．（2014•孝感）如图，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，双曲线y=经过斜边OA的中点C，与另一直角边交于点D．若S△OCD=9，则S△OBD的值为　6　．

考点：
反比例函数系数k的几何意义．
分析：
过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=|k|．
解答：
解：如图，过C点作CE⊥x轴，垂足为E．
∵Rt△OAB中，∠OBA=90°，∴CE∥AB，
∵C为Rt△OAB斜边OA的中点C，∴CE为Rt△OAB的中位线，
∵△OEC∽△OBA，∴=．
∵双曲线的解析式是y=，
∴S△BOD=S△COE=k，∴S△AOB=4S△COE=2k，
由S△AOB﹣S△BOD=S△OAD=2S△DOC=18，得2k﹣k=18，k=12，
S△BOD=k=6，
故答案为：6．

点评：
本题考查了反比函数k的几何意义，过图象上的任意一点作x轴、y轴的垂线，所得三角形的面积是|k|，是经常考查的知识点，也体现了数形结合的思想．
三、反比例函数在实际生活中的运用
3．（2014•舟山）实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用二次函数y=﹣200x2+400x刻画；1.5小时后（包括1.5小时）y与x可近似地用反比例函数y=（k＞0）刻画（如图所示）．
（1）根据上述数学模型计算：
①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？
②当x=5时，y=45，求k的值．
（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．

考点：
二次函数的应用；反比例函数的应用
分析：
（1）①利用y=﹣200x2+400x=﹣200（x﹣1）2+200确定最大值；
②直接利用待定系数法求反比例函数解析式即可；
（2）求出x=11时，y的值，进而得出能否驾车去上班．
解答：
解：（1）①y=﹣200x2+400x=﹣200（x﹣1）2+200，
∴喝酒后1时血液中的酒精含量达到最大值，最大值为200（毫克/百毫升）；
②∵当x=5时，y=45，y=（k＞0），
∴k=xy=45×5=225；
（2）不能驾车上班；
理由：∵晚上20：00到第二天早上7：00，一共有11小时，
∴将x=11代入y=，则y=＞20，
∴第二天早上7：00不能驾车去上班．
点评：
此题主要考查了反比例函数与二次函数综合应用，根据图象得出正确信息是解题关键．
　四、反比例函数与正方形的综合运用
4．（2014•泰州）平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在函数y1=（x＞0）与y2=﹣（x＜0）的图象上A、B的横坐标分别为a、b．

（第1题图）
（1）若AB∥x轴，求△OAB的面积；
（2）若△OAB是以AB为底边的等腰三角形，且a+b≠0，求ab的值；
（3）作边长为3的正方形ACDE，使AC∥x轴，点D在点A的左上方，那么，对大于或等于4的任意实数a，CD边与函数y1=（x＞0）的图象都有交点，请说明理由．
考点：
反比例函数综合题．
分析：
（1）如图1，AB交y轴于P，由于AB∥x轴，根据k的几何意义得到S△OAC=2，S△OBC=2，所以S△OAB=S△OAC+S△OBC=4；
（2）根据分别函数图象上点的坐标特征得A、B的纵坐标分别为、﹣，根据两点间的距离公式得到OA2=a2+（）2，OB2=b2+（﹣）2，则利用等腰三角形的性质得到a2+（）2=b2+（﹣）2，变形得到（a+b）（a﹣b）（1﹣）=0，由于a+b≠0，a＞0，b＜0，所以1﹣=0，易得ab=﹣4；
（3）由于a≥4，AC=3，则可判断直线CD在y轴的右侧，直线CD与函数y1=（x＞0）的图象一定有交点，设直线CD与函数y1=（x＞0）的图象交点为F，然后比较FC与3的大小，于是可判断点F在线段DC上．
解答：
解：（1）如图1，AB交y轴于P，
∵AB∥x轴，
∴S△OAC=×|4|=2，S△OBC=×|﹣4|=2，
∴S△OAB=S△OAC+S△OBC=4；
2）∵A、B的横坐标分别为a、b，
∴A、B的纵坐标分别为、﹣，
∴OA2=a2+（）2，OB2=b2+（﹣）2，
∵△OAB是以AB为底边的等腰三角形，
∴OA=OB，
∴a2+（）2=b2+（﹣）2，
∴a2﹣b2+（）2﹣（）2=0，
∴a2﹣b2+=0，
∴（a+b）（a﹣b）（1﹣）=0，
∵a+b≠0，a＞0，b＜0，
∴1﹣=0，
∴ab=﹣4；
（3）∵a≥4，
而AC=3，
∴直线CD在y轴的右侧，直线CD与函数y1=（x＞0）的图象一定有交点，
设直线CD与函数y1=（x＞0）的图象交点为F，如图2，
∵A点坐标为（a，），正方形ACDE的边长为3，
∴C点坐标为（a﹣3，），
∴F点的坐标为（a﹣3，），
∴FC=﹣，
∵3﹣FC=3﹣（﹣）=，
而a≥4，
∴3﹣FC≥0，即FC≤3，
∵CD=3，
∴点F在线段DC上，
即对大于或等于4的任意实数a，CD边与函数y1=（x＞0）的图象都有交点．

点评：
本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数比例系数的几何意义、图形与坐标和正方形的性质；会利用求差法对代数式比较大小．
五、反比例函数与圆的综合运用
5．（ 2014•福建泉州）如图，直线y=﹣x+3与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点P（2，1）．
（1）求该反比例函数的关系式；
（2）设PC⊥y轴于点C，点A关于y轴的对称点为A′；
①求△A′BC的周长和sin∠BA′C的值；
②对大于1的常数m，求x轴上的点M的坐标，使得sin∠BMC=．

考点：
反比例函数综合题；待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理；直线与圆的位置关系；锐角三角函数的定义
分析：
（1）设反比例函数的关系式y=，然后把点P的坐标（2，1）代入即可．
（2）①先求出直线y=﹣x+3与x、y轴交点坐标，然后运用勾股定理即可求出△A′BC的周长；过点C作CD⊥AB，垂足为D，运用面积法可以求出CD长，从而求出sin∠BA′C的值．
②由于BC=2，sin∠BMC=，因此点M在以BC为弦，半径为m的⊙E上，因而点M应是⊙E与x轴的交点．然后对⊙E与x轴的位置关系进行讨论，只需运用矩形的判定与性质、勾股定理等知识就可求出满足要求的点M的坐标．
解答：
解：（1）设反比例函数的关系式y=．
∵点P（2，1）在反比例函数y=的图象上，
∴k=2×1=2．
∴反比例函数的关系式y=．
（2）①过点C作CD⊥AB，垂足为D，如图1所示．
当x=0时，y=0+3=3，则点B的坐标为（0，3）．OB=3．
当y=0时，0=﹣x+3，解得x=3，则点A的坐标为（3，0），OA=3．
∵点A关于y轴的对称点为A′，∴OA′=OA=3．
∵PC⊥y轴，点P（2，1），∴OC=1，PC=2．∴BC=2．
∵∠AOB=90°，OA′=OB=3，OC=1，
∴A′B=3，A′C=．
∴△A′BC的周长为3++2．
∵S△ABC=BC•A′O=A′B•CD，
∴BC•A′O=A′B•CD．∴2×3=3×CD．∴CD=．
∵CD⊥A′B，
∴sin∠BA′C===．
∴△A′BC的周长为3++2，sin∠BA′C的值为．
②当1＜m＜2时，
作经过点B、C且半径为m的⊙E，连接CE并延长，交⊙E于点P，连接BP，
过点E作EG⊥OB，垂足为G，过点E作EH⊥x轴，垂足为H，如图2①所示．
∵CP是⊙E的直径，∴∠PBC=90°．∴sin∠BPC===．
∵sin∠BMC=，∴∠BMC=∠BPC．∴点M在⊙E上．
∵点M在x轴上∴点M是⊙E与x轴的交点．
∵EG⊥BC，∴BG=GC=1．∴OG=2．
∵∠EHO=∠GOH=∠OGE=90°，∴四边形OGEH是矩形．
∴EH=OG=2，EG=OH．
∵1＜m＜2，∴EH＞EC．
∴⊙E与x轴相离．
∴x轴上不存在点M，使得sin∠BMC=．
②当m=2时，EH=EC．
∴⊙E与x轴相切．
Ⅰ．切点在x轴的正半轴上时，如图2②所示．
∴点M与点H重合．
∵EG⊥OG，GC=1，EC=m，
∴EG==．∴OM=OH=EG=．∴点M的坐标为（，0）．
Ⅱ．切点在x轴的负半轴上时，
同理可得：点M的坐标为（﹣，0）．
③当m＞2时，EH＜EC．
∴⊙E与x轴相交．
Ⅰ．交点在x轴的正半轴上时，
设交点为M、M′，连接EM，如图2③所示．
∵∠EHM=90°，EM=m，EH=2，
∴MH===．
∵EH⊥MM′，∴MH=M′H．∴M′H═．
∵∠EGC=90°，GC=1，EC=m，
∴EG===．
∴OH=EG=．
∴OM=OH﹣MH=﹣，
∴OM′=OH+HM′=+，
∴M（﹣，0）、M′（+，0）．
Ⅱ．交点在x轴的负半轴上时，
同理可得：M（﹣+，0）、M′（﹣﹣，0）．
综上所述：当1＜m＜2时，满足要求的点M不存在；
当m=2时，满足要求的点M的坐标为（，0）和（﹣，0）；
当m＞2时，满足要求的点M的坐标为（﹣，0）、（+，0）、（﹣+，0）、（﹣﹣，0）．

点评：
本题考查了用待定系数法求反比例函数的关系式、勾股定理、三角函数的定义、矩形的判定与性质、直线与圆的位置关系、垂径定理等知识，考查了用面积法求三角形的高，考查了通过构造辅助圆解决问题，综合性比较强，难度系数比较大．由BC=2，
sin∠BMC=联想到点M在以BC为弦，半径为m的⊙E上是解决本题的关键．

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