反比例函数图像的应用问题.docx

反比例函数图像的应用问题 函数思想就是用运动变化的观点去分析、研究数量关系，建立函数关系，进而运用函数的图像和性质去分析问题，解决问题。实际生活中，我们常会遇到与反比例函数有关的问题，在这类问题中，运用数形结合的思想方法，恰当的构造反比例函数模型，可以把所研究的问题转化为函数的问题来解决。下面选择2014年中考中有代表性的试题，与九年级学生一起共勉。一、反比例函数增减性的直接运用1(2014年天津市)已知反比例函数y=，当1x2时，y的取值范围是（）A0y5 B1y2 C 5y10 Dy10考点：反比例函数的性质分析：将x=1和x=2分别代入反比例函数即可确定函数值的取值范围解答：解：反比例函数y=中当x=1时y=10，当x=2时，y=5，当1x2时，y的取值范围是5y10，故选C点评：本题考查了反比例函数的性质：（1）反比例函数y=（k0）的图象是双曲线；（2）当k0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大二、反比例函数k的几何意义的运用2（2014孝感）如图，RtAOB的一条直角边OB在x轴上，双曲线y=经过斜边OA的中点C，与另一直角边交于点D若SOCD=9，则SOBD的值为6考点：反比例函数系数k的几何意义分析：过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=|k|解答：解：如图，过C点作CEx轴，垂足为ERtOAB中，OBA=90，CEAB，C为RtOAB斜边OA的中点C，CE为RtOAB的中位线，OECOBA，=双曲线的解析式是y=，SBOD=SCOE=k，SAOB=4SCOE=2k，由SAOBSBOD=SOAD=2SDOC=18，得2kk=18，k=12，SBOD=k=6，故答案为：6点评：本题考查了反比函数k的几何意义，过图象上的任意一点作x轴、y轴的垂线，所得三角形的面积是|k|，是经常考查的知识点，也体现了数形结合的思想三、反比例函数在实际生活中的运用3（2014舟山）实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用二次函数y=200x2+400x刻画；1.5小时后（包括1.5小时）y与x可近似地用反比例函数y=（k0）刻画（如图所示）（1）根据上述数学模型计算：喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？当x=5时，y=45，求k的值（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由考点：二次函数的应用；反比例函数的应用分析：（1）利用y=200x2+400x=200（x1）2+200确定最大值；直接利用待定系数法求反比例函数解析式即可；（2）求出x=11时，y的值，进而得出能否驾车去上班解答：解：（1）y=200x2+400x=200（x1）2+200，喝酒后1时血液中的酒精含量达到最大值，最大值为200（毫克/百毫升）；当x=5时，y=45，y=（k0），k=xy=455=225；（2）不能驾车上班；理由：晚上20：00到第二天早上7：00，一共有11小时，将x=11代入y=，则y=20，第二天早上7：00不能驾车去上班点评：此题主要考查了反比例函数与二次函数综合应用，根据图象得出正确信息是解题关键四、反比例函数与正方形的综合运用4（2014泰州）平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在函数y1=（x0）与y2=（x0）的图象上，A、B的横坐标分别为a、b（第1题图）（1）若ABx轴，求OAB的面积；（2）若OAB是以AB为底边的等腰三角形，且a+b0，求ab的值；（3）作边长为3的正方形ACDE，使ACx轴，点D在点A的左上方，那么，对大于或等于4的任意实数a，CD边与函数y1=（x0）的图象都有交点，请说明理由考点：反比例函数综合题分析：（1）如图1，AB交y轴于P，由于ABx轴，根据k的几何意义得到SOAC=2，SOBC=2，所以SOAB=SOAC+SOBC=4；（2）根据分别函数图象上点的坐标特征得A、B的纵坐标分别为、，根据两点间的距离公式得到OA2=a2+（）2，OB2=b2+（）2，则利用等腰三角形的性质得到a2+（）2=b2+（）2，变形得到（a+b）（ab）（1）=0，由于a+b0，a0，b0，所以1=0，易得ab=4；（3）由于a4，AC=3，则可判断直线CD在y轴的右侧，直线CD与函数y1=（x0）的图象一定有交点，设直线CD与函数y1=（x0）的图象交点为F，然后比较FC与3的大小，于是可判断点F在线段DC上解答：解：（1）如图1，AB交y轴于P，ABx轴，SOAC=|4|=2，SOBC=|4|=2，SOAB=SOAC+SOBC=4；（2）A、B的横坐标分别为a、b，A、B的纵坐标分别为、，OA2=a2+（）2，OB2=b2+（）2，OAB是以AB为底边的等腰三角形，OA=OB，a2+（）2=b2+（）2，a2b2+（）2（）2=0，a2b2+=0，（a+b）（ab）（1）=0，a+b0，a0，b0，1=0，ab=4；（3）a4，而AC=3，直线CD在y轴的右侧，直线CD与函数y1=（x0）的图象一定有交点，设直线CD与函数y1=（x0）的图象交点为F，如图2，A点坐标为（a，），正方形ACDE的边长为3，C点坐标为（a3，），F点的坐标为（a3，），FC=，3FC=3（）=，而a4，3FC0，即FC3，CD=3，点F在线段DC上，即对大于或等于4的任意实数a，CD边与函数y1=（x0）的图象都有交点点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数比例系数的几何意义、图形与坐标和正方形的性质；会利用求差法对代数式比较大小五、反比例函数与圆的综合运用5（ 2014福建泉州）如图，直线y=x+3与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点P（2，1）（1）求该反比例函数的关系式；（2）设PCy轴于点C，点A关于y轴的对称点为A；求ABC的周长和sinBAC的值；对大于1的常数m，求x轴上的点M的坐标，使得sinBMC= 考点：反比例函数综合题；待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理；直线与圆的位置关系；锐角三角函数的定义分析：（1）设反比例函数的关系式y=，然后把点P的坐标（2，1）代入即可（2）先求出直线y=x+3与x、y轴交点坐标，然后运用勾股定理即可求出ABC的周长；过点C作CDAB，垂足为D，运用面积法可以求出CD长，从而求出sinBAC的值由于BC=2，sinBMC=，因此点M在以BC为弦，半径为m的E上，因而点M应是E与x轴的交点然后对E与x轴的位置关系进行讨论，只需运用矩形的判定与性质、勾股定理等知识就可求出满足要求的点M的坐标解答：解：（1）设反比例函数的关系式y=点P（2，1）在反比例函数y=的图象上，k=21=2反比例函数的关系式y=（2）过点C作CDAB，垂足为D，如图1所示当x=0时，y=0+3=3，则点B的坐标为（0，3）OB=3当y=0时，0=x+3，解得x=3，则点A的坐标为（3，0），OA=3点A关于y轴的对称点为A，OA=OA=3PCy轴，点P（2，1），OC=1，PC=2BC=2AOB=90，OA=OB=3，OC=1，AB=3，AC=ABC的周长为3+2SABC=BCAO=ABCD，BCAO=ABCD23=3CDCD=CDAB，sinBAC=ABC的周长为3+2，sinBAC的值为当1m2时，作经过点B、C且半径为m的E，连接CE并延长，交E于点P，连接BP，过点E作EGOB，垂足为G，过点E作EHx轴，垂足为H，如图2所示CP是E的直径，PBC=90sinBPC=sinBMC=，BMC=BPC点M在E上点M在x轴上点M是E与x轴的交点EGBC，BG=GC=1OG=2EHO=GOH=OGE=90，四边形OGEH是矩形EH=OG=2，EG=OH1m2，EHECE与x轴相离x轴上不存在点M，使得sinBMC=当m=2时，EH=ECE与x轴相切切点在x轴的正半轴上时，如图2所示点M与点H重合EGOG，GC=1，EC=m，EG=OM=OH=EG=点M的坐标为（，0）切点在x轴的负半轴上时，同理可得：点M的坐标为（，0）当m2时，EHECE与x轴相交交点在x轴的正半轴上时，设交点为M、M，连接EM，如图2所示EHM=90，EM=m，EH=2，MH=EHMM，MH=MHMHEGC=90，GC=1，EC=m，EG=OH=EG=OM=OHMH=，OM=OH+HM=+，M（，0）、M（+，0）交点在x轴的负半轴上时，同理可得：M（+，0）、M（，0）综上所述：当1m2时，满足要求的点M不存在；当m=2时，满足要求的点M的坐标为（，0）和（，0）；当m2时，满足要求的点M的坐标为（，0）、（+，0）、（+，0）、（，0）点评：本题考查了用待定系数法求反比例函数的关系式、勾股定理、三角函数的定义、矩形的判定与性质、直线与圆的位置关系、垂径定理等知识，考查了用面积法求三角形的高，考查了通过构造辅助圆解决问题，综合性比较强，难度系数比较大由BC=2， sinBMC=联想到点M在以BC为弦，半径为m的E上是解决本题的关键9