思科数学第6讲函数的奇偶性.doc

第6讲　函数的奇偶性

基础梳理
1．奇、偶函数的概念
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数．
如果对于任意的x∈A都有f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数．
奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．
2．函数奇偶性的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．
(2)在公共定义域内
①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；
②两个偶函数的和、积都是偶函数；
③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数．
(3)若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．
(4)若奇函数f(x)定义域中含有0，则必有f(0)＝0.
f(0)＝0是f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件．
(5)复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”．
(6)既奇又偶的函数有无穷多个(如f(x)＝0，定义域是关于原点对称的任意一个数集)．
3．周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

函数奇偶性的判断
判断函数的奇偶性主要根据定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)(或f(－x)＝－f(x))，那么函数f(x)就叫做偶函数(或奇函数)．其中包含两个必备条件：
①定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域有利于准确简捷地解决问题；
②判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．
双基自测
1．(2011·镇江调研)若函数f(x)＝(x＋a)3x－2＋a2－(x－a)·38－x－3a为偶函数，则所有实数a的取值构成的集合为________．
解析　由f(－x)＝f(x)，得(－x＋a)3－x－2＋a2＋(x＋a)·38＋x－3a＝(x＋a)3x－2＋a2－(x－a)38－x－3a所以从而a2＋3a－10＝0，解得a＝－5或a＝2.
答案　{－5,2}
2．(2011·南通调研)对于定义在R上的函数f(x)，给出三个命题：
①若f(－2)＝f(2)，则f(x)是偶函数；
②若f(－2)≠f(2)，则f(x)不是偶函数；
③若f(－2)＝f(2)则f(x)一定不是奇函数．其中正确命题的序号为________．
答案　②
3．(2011·泰州学情调查)若f(x)是偶函数，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x－1，则f(x－1)＜0的解集是________．
解析　如图所示，由f(x－1)＜0，得－1＜x－1＜1，解得0＜x＜2.

答案　{x|0＜x＜2}
4．(2011·泰州学情调查)已知周期函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)的最小正周期为3，f(1)＜2，f(2)＝m，则m的取值范围为________．
解析　因为f(x＋3)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，所以m＝f(2)＝f(－1)＝－f(1)＞－2.
答案　(－2，＋∞)
5．(2011·盐城检测)设f(x)是定义在(－1,1)上的偶函数，在(0,1)上增，若f(a－2)－f(4－a2)＜0，则a的取值范围为________．
解析　由f(a－2)＜f(4－a2)，得f(|a－2|)＜f(|4－a2|)，由题意，得0＜|a－2|＜|4－a2|＜1，解得＜a＜且a≠2.
答案　(，2)∪(2，)　　

考向一　函数奇偶性的判断
【例1】►判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝(x－1) ；
(3)f(x)＝.
[审题视点] 先求函数的定义域，并判断是否关于原点对称，再由奇、偶函数的定义判断．
解　(1)由得x＝±1，
∴f(x)的定义域为{－1,1}．
又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0，
即f(x)＝±f(－x)．
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
(2)由得－1≤x＜1.
∵f(x)的定义域[－1,1)不关于原点对称，
∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(3)由得－2≤x≤2且x≠0.
∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，
∴f(x)＝＝＝，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
首先考虑定义域是否关于原点对称，再根据f(－x)＝±f(x)判断，有时需要先将函数进行化简(如例1，(3))．
【训练1 判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝x2－|x|＋1，x∈[－1,4]；
(2)f(x)＝log2(x＋)．
解　(1)∵f(x)的定义域[－1,4]不关于原点对称，
∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(2)函数f(x)的定义域为R.
∵f(－x)＝log2(－x＋)
＝log2
＝log2(＋x)－1
＝－log2(＋x)
＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
考向二　函数的奇偶性与单调性
【例2】►(1)已知f(x)是R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2－x－1，求f(x)的解析式；
(2)设a＞0，f(x)＝＋是R上的偶函数，求实数a的值；

(3)已知奇函数f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]内递减，求满足f(1－m)＋f(1－m2)＜0的实数m的取值范围．
[审题视点] (1)f(x)是一个分段函数，当x＜0时，转化为f(x)＝－f(－x)．(2)可用定义法，也可以用特殊值代入，如f(1)＝f(－1)，再验证．(3)可考虑f(x)在[－2,2]上的单调性．
解　(1)∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(0)＝0，当x＜0时，－x＞0，
由已知f(－x)＝(－x)2－(－x)－1＝x2＋x－1＝－f(x)．
∴f(x)＝－x2－x＋1.
∴f(x)＝
(2)法一　∵f(x)是R上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)在R上恒成立．
即＋＝＋，(a2－1)(e2x－1)＝0，对任意的x恒成立，
∴解得a＝1.
法二　∵f(x)是R上的偶函数，∴f(－1)＝f(1)，
∴·＋ae＝＋，
∴e＋(－a)＝0，
∴(e2－1)＝0，∴a－＝0.
又a＞0，∴a＝1.
经验证当a＝1时，有f(－x)＝f(x)．
∴a＝1.
(3)∵f(x)的定义域为[－2,2]，
∴有
解得－1≤m≤.①
又f(x)为奇函数，且在[－2,0]上递减，
∴在[－2,2]上递减，
∴f(1－m)＜－f(1－m2)＝f(m2－1)⇒1－m＞m2－1，
即－2＜m＜1.②
综合①②，可知－1≤m＜1.

所以m的取值范围是[－1,1)．
(1)奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．
(2)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．
【训练2】 已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)＜f的x的取值范围是________．
解析　f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，又f(x)在[0，＋∞)上递增，∴f(2x－1)＜f⇔|2x－1|＜⇔＜x＜.
答案　
考向三　函数的奇偶性与周期性
【例3】►设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；
(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 011)．
[审题视点] (1)根据周期函数的定义证明；(2)由函数的周期性与奇偶性综合解题；(3)函数周期性的应用．
(1)证明　∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．
∴f(x)是周期为4的周期函数．
(2)解　∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]，
∴4－x∈[0,2]，
∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8，
又f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝－x2＋6x－8，
即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2,4]．
(3)解　∵f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1.
又f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)
＝…＝f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010)＋f(2 011)＝0，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 011)＝0.
判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是近年高考考查的重点问题．
【训练3】 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为________．
解析　由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以T＝4的周期函数，所以f(6)＝f(2)＝－f(0)＝0.
答案　0　　

难点突破4——函数奇偶性的判定方法

函数奇偶性问题在高考至多考一道填空题，且可能与函数单调性和周期性进行有机融合，判断函数奇偶性，除要用好定义，灵活运用奇偶函数性质会大大方便解题思维过程．

一、奇偶函数运算性质及其应用
【示例】 (2011·广东卷改编)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论：①|f(x)|－g(x)是奇函数；②|f(x)|＋g(x)是偶函数；③f(x)－|g(x)|是奇函数；④f(x)＋|g(x)|是偶函数，其中恒成立的是________．

二、探求函数f(x)是奇偶函数的充要条件
【示例】 (2011·山东卷改编)对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|
的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的____条件．