1、 数学提优班题12 4
1． 已知：关于x的一元二次方程x2－2kx＋k2－2 = 0
（1） 求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根。
（2） 设x1, x2是方程的两根，且x12 －2kx1＋2 x1 x2 = 5，求k的值。
2． 已知：关于x的方程 x2－(m－2)x－= 0
（1） 求证：不论m为何值，方程总有两个相异实数根。
（2） 设x1, x2是方程的两根，且
2、x1, x2满足│x2 │=│ x1│＋2, 求m的值及相应的x1, x2。
3． 已知抛物线（a≠0）与x轴交于两点A（x1 ，0）、B（x2 ，0）（x1≠x2）．
（1） 求a的取值范围，并证明A、B两点都在原点O的左侧；
（2） 若抛物线与y轴交于点C；且 OA＋OB＝OC－2，求a的值．
4． 已知：关于x的一元二次方程ax2＋x－a = 0 (a≠0)
（1） 求证：对于任意非零实数a，该方程恒有两个异号的实数根。
（2） 设x1, x2是该方程的两根，若│ x1│＋│x2 │= 4，求a的值。
3、
5． 已知：关于x的一元二次方程k2x2－（2k－1）x＋1= 0 有两个不相等的实数根x1，x2
（1） 求k的取值范围 （2） 当k为何值时，2x1x2－ │x1＋x2│ =3
6． 已知：关于x的方程x2＋（4k＋1）x＋2k－1= 0
(1） 求证：此方程一定有两个不相等的实数根。
（2） 若x1, x2是方程的两个实数根，且满足（x1－2）（x2－2） = 2k－3，求k的值。
7． 已知：关于x的方程kx2＋（2k－3）x＋k＋1= 0
（1） k为何值时，方程有两个不相等的实数根？
4、
（2） 设x1, x2是方程的两个不相等的实数根，且x12 x2 ＋x1 x2 2＞－2，求k的取值范围
8．已知：关于x的方程x2－（k＋1）x＋k2＋1= 0
（1） k为何值时，方程有两个实数根？
（2） 若x1, x2是方程的两个实数根，且满足│ x1│=x2 ,求k的值。
9． 若关于x的方程的两个根为，且满足 ＝ .
⑴ 求证：方程有两个异号的实数根；
⑵ 求m的值。
10． 已知关于x的方程．
5、
⑴求证：方程总有两个不相等的实数根；
⑵设方程的两根为x1、x2，如果，求k的取值范围．
11． 已知关于x的方程 kx2－2 (k＋1) x＋k－1=0 有两个不相等的实数根， (1) 求k的取值范围；
(2) 是否存在实数k，使得此方程的有一个实数根等于4？若存在，求出k的值和方程的另一个根；
若不存在，说明理由.
12． 如图：已知：菱形ABCD的对角线交于O点，且AO、BO的长分别是关于x的方程：
的两个根，菱形的周长是 求：k的值
13． 已知：关于x的方程x2 + (m－1)x－1 =0．
6、
⑴ 求证：方程有两个不相等的实数根；
⑵ 设方程的两个实数根为x1、x2，当︱x1︱︱= 4︱x2︱︱，求实数m的值．
14． 已知：关于x的方程x2 － (k＋2)x＋2k=0．．
（1） 求证：无论k取何值，方程总有实数根；
（2） 若等腰△ABC的一边长为a = 1，另两边b、c恰好是此方程的两根，求△ABC的周长。
15． 用剪刀将形状如图所示的矩形纸片ABCD剪成两部分，其中M为AD中点，用这两部分可以拼成一些新图形，如图中的Rt△BCE就是拼成的一个图形．
（1） 用这两部分纸片还可以拼成一些四边形，请你试一试，把拼成的四边形画出来．
（至少画出二个不同的四边形）
（2） 若利用这两部分纸片拼成的Rt△BCE是等腰直角三角形，设原矩形纸片中的边AB和BC的长分别为acm、bcm，且a、b恰好是关于x的方程x2－(m－1)x+m+1=0的两个实数根，试求出原矩形纸片的面积．
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