圆锥曲线大题.doc

圆锥曲线大题题型一：求轨迹方程【例1】已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，求动圆圆心的轨迹方程.【例2】已知动圆和定圆内切而和定圆外切，求动圆圆心的轨迹方程.【例3】设A1、A2是椭圆=1的长轴两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，求直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程.【例4】（2013山东模拟 文）已知曲线所围成的封闭图形的面积为，曲线的内切圆半径为，记为以与坐标轴的交点为顶点的椭圆；（1） 求椭圆的标准方程；（2） 设是过椭圆中心的任意弦，是线段的垂直平分线， 是上异于椭圆中心的点，若，的那个点在椭圆上运动时，求点的轨迹方程【例5】(2011新课标 理)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y = -3上，M点满足， ，M点的轨迹为曲线C。（）求C的方程；（）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值.【例6】（2013新课标1 理）已知圆，圆,动圆P与圆外切并与圆内切，圆心P的轨迹为曲线 （）求的方程；（）l是与圆P，圆都相切的一条直线，l与曲线交于两点，当圆P的半径最长时，求|. 【例7】（2012辽宁 理）如图，椭圆，动圆.点分别为的左、右顶点，与相交于四点（1）求直线与直线交点的轨迹方程；（2）设动圆与相交于四点，其中，.若矩形与矩形的面积相等，证明：为定值题型二：范围最值问题【例8】（2012陕西 文）已知分别是椭圆的左右焦点（1） 若是第一象限内该椭圆上的一点，且,求点的坐标（2） 设过定点的直线与椭圆交于不同的两点,且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率取值范围.【解】因为椭圆方程为，知，设，则，又，联立 ，解得， （II）显然不满足题意，可设的方程为，设，联立 ，且又为锐角，又， 【例9】设椭圆：，直线过椭圆左焦点且不与轴重合，与椭圆交于，当与轴垂直时，为椭圆的右焦点，为椭圆上任意一点，若面积的最大值为（1）求椭圆的方程；（2）直线绕着旋转，与圆：交于两点，若，求的面积的取值范围【解】（1）椭圆方程为： （2）设直线：即，圆心到的距离由圆性质：，又，得联立方程组，消去得设，则，（令）设，则对恒成立， 在上为增函数，所以， 【例10】(2013新课标2 理)平面直角坐标系中，过椭圆右焦点的直线交于两点，为的中点，且的斜率为（1）求的方程（2）为上的两点，若四边形的对角线，求四边形面积的最大值.【例11】（2013年浙江 理）如图，点是椭圆的一个顶点，的长轴是圆的直径.是过点且互相垂直的两条直线，其中交圆于两点，交椭圆于另一点（1） 求椭圆的方程；（2） 求面积取最大值时直线的方程. 题型三：定值定点问题【例12】（2010山东卷理）如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.（）求椭圆和双曲线的标准方程；（）设直线、的斜率分别为、，证明；（）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【例13】（2009辽宁卷理）已知，椭圆过点，两个焦点为（1） 求椭圆的方程；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2） 是椭圆上的两个动点，如果直线的斜率与的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值。【例14】已知椭圆：的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切求椭圆C的方程；设，、是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，求直线的斜率的取值范围；在的条件下，证明直线与轴相交于定点.解：由题意知，所以，即，又因为，所以，故椭圆的方程为：由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为 联立消去得：，由得，又不合题意，所以直线的斜率的取值范围是或设点，则，直线的方程为，令，得，将代入整理，得 由得代入整理，得，所以直线与轴相交于定点【例15】（2012陕西模拟文）已知椭圆的焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率为（1） 求椭圆的方程（2） 过椭圆的右焦点作直线交椭圆于两点，交轴于点，若,求证：为定值解：(1)易知,. . (2),设,则由可得: ，故. .ks5u 又由得. 同理. .【例16】（2011广州模拟文）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1（1） 求椭圆的标准方程（2） 若直线与椭圆相交于两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标【例17】（2013东三校一模理）已知点为抛物线内的一个定点，过作斜率分别为的两条直线交抛物线于点,且分别是的中点（1） 若，求面积的最小值（2） 若，求证：直线过定点.【例18】（2013南京模拟理）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，离心率为（1） 求椭圆的方程（2） 过点作直线交于两点，试问：在轴上是否存在一个定点，使得为定值？若存在，求出这个定点的坐标；若不存在，请说明理由.【例19】已知抛物线的焦点为,过焦点的直线与抛物线分别交于点，过分别作抛物线的切线，两条切线相交于点,证明：恒为直线上的点.【课后练习】1.已知圆M：定点，点为圆上的动点，点在上，点在上，且满足() 求点G的轨迹C的方程；() 过点（2,0）作直线l，与曲线C交于A，B两点，O是坐标原点，设，是否存在这样的直线l，使四边形OASB的对角线相等（即OSAB）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由.1解：（1）Q为PN的中点且GQPNGQ为PN的中垂线|PG|=|GN|GN|+|GM|=|MP|=6，故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其长半轴长，半焦距，短半轴长b=2，点G的轨迹方程是 （2）因为，所以四边形OASB为平行四边形若存在使得|=|，则四边形OASB为矩形若的斜率不存在，直线的方程为x=2，由矛盾， 故的斜率存在，设的方程为 把、代入存在直线使得四边形OASB的对角线相等.2. 设椭圆 ：（）的一个顶点为，分别是椭圆的左、右焦点，离心率 ，过椭圆右焦点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点（1）求椭圆的方程；（2）是否存在直线 ，使得 ，若存在，求出直线 的方程；若不存在，说明理由；解：（1）椭圆的顶点为，即，解得， 椭圆的标准方程为 -4分（2）由题可知,直线与椭圆必相交.当直线斜率不存在时，经检验不合题意 -5分当直线斜率存在时，设存在直线为，且，.由得， -7分， = 所以， -10分故直线的方程为或 即或 3. 已知椭圆的短轴长等于焦距，椭圆C上的点到右焦点的最短距离为（）求椭圆C的方程；（）过点且斜率为的直线与交于、两点，是点关于轴的对称点，证明：三点共线解：(I)由题可知：解得， 椭圆C的方程为 （II）设直线：，由得.所以，. 而， 三点共线4.已知抛物线：，过点（其中为正常数）任意作一条直线交抛物线于两点，为坐标原点.（1）求的值；（2）过分别作抛物线的切线，试探求与的交点是否在定直线上，证明你的结论.解：()设直线方程为，消去得，所以=故. （）方程为整理得同理得方程为 联立方程 得 ，故的交点在定直线上. 5.已知中心在原点，长轴在轴上的椭圆经过点，其离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）若过点的直线与椭圆交于两点，当点异于时，求外接圆圆心的轨迹方程.（1）设椭圆C的方程为（2）当轴时，的坐标为当的斜率存在时，设其方程为由过R点，知，由异于点，知 6. 已知椭圆的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为，直线交椭圆于不同的两点，（1）求椭圆的方程；（2）若坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值.解：（1）设椭圆的半焦距为，依题意，解得. 所求椭圆方程为 （2）可得. ，. ， . . ， 7.已知椭圆（）右顶点与右焦点的距离为，短轴长为.（1）求椭圆的方程； （2）过左焦点的直线与椭圆分别交于、两点，若三角形的面积为，求直线的方程解：（1）由题意， 解得. 即：椭圆方程为 （2）当直线与轴垂直时， 此时不符合题意故舍掉； - 当直线与轴不垂直时，设直线 的方程为：，代入消去得：. 设 ，则， 所以 . 原点到直线的距离，所以三角形的面积.由， 所以直线或8.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，一个顶点为，离心率为（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆相交于不同的两点当时，求的取值范围解：（1）依题意可设椭圆方程为 ，则离心率为故，而，解得， 故所求椭圆的方程为. （2）设，P为弦MN的中点，由 得 ，直线与椭圆相交， ， ，从而，（1）当时 (不满足题目条件)，则 ，即 ， 把代入得 ，解得 ， 由得，解得故 （2）当时直线是平行于轴的一条直线， 综上，求得的取值范围是9. 已知椭圆的离心率为，且过点，为其右焦点.（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线与椭圆相交于、两点（点在两点之间），若与的面积相等，试求直线的方程.解：（）因为，所以，.设椭圆方程为，又点在椭圆上,所以，解得， 所以椭圆方程为. （）易知直线的斜率存在,设的方程为， 由消去整理，得，由题意知，解得. 设，则， ， . .因为与的面积相等，所以，所以. 由消去得. 将代入得. 将代入，整理化简得，解得，经检验成立. 所以直线的方程为.