《1.4.1-曲边梯形面积与定积分》同步练习6.doc

《1.4.1 曲边梯形面积与定积分》同步练习6

一、选择题
1．设f(x)是连续函数，且为偶函数，在对称区间[－a，a]上的积分f(x)dx，由定积分的几何意义得f(x)dx的值为(　　)
A．0　　　　　　　 B．2f(x)dx
C. f(x)dx D．f(x)dx
[答案]　B
[解析]　偶函数图象关于y轴对称，对称区间上面积相等．
2．求由曲线y＝ex，直线x＝2，y＝1围成的曲边梯形的面积时，若选择x为积分变量，则积分区间为(　　)
A．[0，e2] B．[0，2]
C．[1，2] D．[0，1]
[答案]　B
[解析]　解方程组可得.所以积分区间为[0，2]．故选B.
3.1dx的值为(　　)
A．0 B．1
C. D．2
[答案]　B
[解析]　由定积分的几何意义可得1dx是由x＝0，x＝1，y＝0和y＝1围成的矩形的面积．
4．计算f(x)＝x2在[0，1]上的定积分时，有下列说法：
①在0到1之间插入n－1个分点，将区间[0，1]n等分，过每个分点作x轴的垂线，将曲边三角形分成n个小曲边梯形(或三角形)，这n个小曲边梯形的面积和等于原曲边形面积的和；
②当n很大时，f(x)在区间上的值可以用f近似代替；
③当n很大时，f(x)在区间上的值可以用f近似代替；
④当n很大时，用f与f代替f(x)在上的值，得到的积分和不相等，因而求得的积分值也不相等．其中正确结论的个数为(　　)
A．1　　 B．2　　
C．3　　 D．4
[答案]　C
[解析]　用f与f近似代替f(x)在区间上的值得到的积分和是不相等的，但当n→∞时其积分和的极限值相等，都等于f(x)在[0，1]上的定积分．故选C.
5．下列积分值等于1的积分是(　　)
A.xdx B．(x＋1)dx
C.1dx D．dx
[答案]　C
[解析]　1dx的几何意义是由直线x＝0，x＝1， y＝0和y＝1围成平面图形的面积，其值为1.故选C.
6．设f(x)在[a，b]上连续，将[a，b]n等分，在每个小区间上任取ξi，则f(x)dx是(　　)
A.(ξi) B．(ξi)·
C.(ξi)·ξi D．(ξi)·(ξi＋1－ξi)
[答案]　B
[解析]　由定积分的定义可知B正确．
7．设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为(　　)
A. B．
C. D．1
[答案]　A
8．下列命题不正确的是(　　)
A．若f(x)是连续的奇函数，则f(x)dx＝0
B．若f(x)是连续的偶函数，则f(x)dx＝2f(x)dx
C．若f(x)在[a，b]上连续且恒正，则f(x)dx>0
D．若f(x)在[a，b]上连续且f(x)dx>0，则f(x)在[a，b]上恒正

[答案]　D
[解析]　对于A：因为f(x)是奇函数，所以图象关于原点对称，所以x轴上方的面积和x轴下方的面积相等，故积分是0，所以A正确，对于B：因为f(x)是偶函数，所以图象关于y轴对称，故图象都在x轴下方或上方且面积相等，故B正确，C显然正确．D选项中f(x)也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f(x)>0的曲线围成的面积比f(x)<0的曲线围成的面积大．故选D.
二、填空题
9. ·写成定积分是________．
[答案]　xdx
10．已知f(x)dx＝3，则[f(x)＋6]dx＝________.
[答案]　15
11．定积分3dx的几何意义是________．

[答案]　由直线x＝2，x＝4，y＝0和y＝3所围成的矩形的面积
三、解答题
12．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)．

[解析]　由曲线所围成的区域图形可知：
(1) sinxdx；(2) x2dx；(3)－(－x)dx.

一、选择题
1．当n很大时，函数f(x)＝x2在区间上的值，可以用________近似代替．(　　)
A．f B．f
C．f D．f(0)
[答案]　C
2．在“近似代替”中，函数f(x)在区间[xi，xi＋1]上的近似值等于(　　)
A．只能是左端点的函数值f(xi)
B．只能是右端点的函数值f(xi＋1)
C．可以是该区间内任一点函数值f(ξi)(ξ∈[xi，xi＋1])
D．以上答案均不正确
[答案]　C
3．设连续函数f(x)>0，则当a0，
∴曲边梯形在x轴上方，
∴f(x)dx>0.故选A.
4．已知t>0，若(2x－2)dx＝8，则t＝(　　)
A．1 B．－2
C．－2或4 D．4
[答案]　D
[解析]　作出函数f(x)＝2x－2的图象与x轴交于点A(1，0)，与y轴交于点B(0，－2)，易求得S△OAB＝1，

∵(2x－2)dx＝8，且(2x－2)dx＝－1，∴t>1，
∴S△AEF＝|AE||EF|＝×(t－1)(2t－2)＝(t－1)2＝9，∴t＝4，故选D.

二、填空题
5．正弦曲线y＝sinx在[0，2π]上的一段曲线与x轴所围成平面图形的面积用定积分可表示为________．
[答案]　 |sinx|dx
6．已知f(x)dx＝6，则6f(x)dx等于________．
[答案]　36
7．已知[f(x)＋g(x)]dx＝18，g(x)dx＝10，则f(x)dx等于________．
[答案]　8
三、解答题
8．利用定积分的几何意义求：
(1) dx；(2)dx.
[解析]　(1)被积函数的曲线是圆心在原点，半径为2的半圆周，由定积分的几何意义知此积分计算的是半圆的面积，
∴有dx＝＝2π.
(2)∵被积函数为y＝，其表示的曲线为以原点为圆心，1为半径的四分之一圆，由定积分的几何意义可知所求的定积分即为四分之一圆的面积．
∴dx＝π·12＝π.
9．求由直线x＝0，x＝2，y＝0及曲线y＝x3围成的曲边梯形的面积．(提示：此处用到了求和公式13＋23＋…＋n3＝(1＋2＋…＋n)2＝[]2)
[解析]　将[0，2]平均分成n等份，每份，第i个小曲边梯形的面积S1＝·()3，S＝ [()3＋()3＋…＋()3]＝ (13＋23＋…＋n3)＝ ＝4.