二向应力状态分析——解析法.doc

青 岛 滨 海 学 院 教 师 教 案
课 题
§7.3 二向应力状态分析——解析法
需 2课时
教 学
目 的
要 求
掌握运用解析法求二向应力状态，斜截面上的应力、主应力、主平面、最大切应力、切平面。
教 学
重 点
解析法分析二向应力状态，主应力，主平面，最大切应力。

教 学
难 点
解析法分析二向应力状态

编写日期
年 月 日
教 学 内 容 与 教 学 过 程
提示与补充

1、 解析法分析二向应力状态

2、斜截面上的应力

3、主应力，主平面

4、最大切应力

例7—1 ，例7—2 ，例7—3 。

§7.3 二向应力状态分析——解析法

一、斜截面上的应力
二向应力状态的一般情况是一对横截面和一对纵向截面上既有正应力又有切应力，如图10-6 a所示，从杆件中取出的单元体，可以用如图10-6 b所示的简图来表示。假定在一对竖向平面上的正应力σx 、切应力τx 和在一对水平平面上的正应力σy 、切应力τy的大小和方向都已经求出，现在要求在这个单元体的任一斜截面ef上的应力的大小和方向。由于习惯上常用表示斜截面ef的外法线n与x轴间的夹角，所以有把这个斜截面简称为“截面”，并且用和表示作用在这个截面上的应力。

对应力σ、τ和角度的正负号，作这样的规定：正应力σ以拉应力为正，压应力为负；切应力τ以对单元体内的任一点作顺时针转向时为正，反时针转向时为负（这种规定与第八章中对剪力所作的规定是一致的）；角度以从x轴出发量到截面的外法线n是反时针转时为正，时顺时针转时为负。按照上述正负号的规定可以判断，在图10-6中的σx、σy是正值，τx是正值，τy是负值，是正值。
当杆件处于静力平衡状态时，从其中截取出来的任一单元体也必然处于静力平衡状态，因此，也可以采用截面法来计算单元体任一斜截面ef上的应力。
取bef为脱离体如图10-6c所示。对于斜截面ef上的未知应力σα和τα，可以先假定它们都是正值。脱离体bef的立体图和其上应力的作用情况如图10-6d所示。设斜截面 ef 的面积为 dA ，则截面 eb和 bf的面积分别是 dAcos 和 dAsin。脱离体bef的受力图如图10-6e所示。
取n轴和t轴如图10-6e所示，则可以列出脱离体的静力平衡方程如下：
由Σn = 0，得到
σαdA+(τxdAcosα)sinα-（σxdAcosα）cosα
+(τydAsinα)cosα-（σydAsinα）sinα = 0 ( a )
由Σt = 0，得到
ταdA+(τxdAcosα)cosα-（σxdAcosα）sinα
+(τydAsinα)sinα-（σydAsinα）cosα = 0 ( b )
由式( a )和( b )就可以分别推导出σα和τα的计算公式。
在推倒过程中可以首先利用切应力互等定理τx =τy，将式（a）改写为
σα + 2τxsinαcosα—σxcos2α—σysin2α= 0
代入以下的三角函数关系：
cos2α = ，sin2α=
sin2α= 2sinαcosα
就可以得到
σα+τx sin2α-σx( )-σy( ) = 0
经过整理后，便为
σα = + cos2α- τxsin2α (6-1)
同理，可以由式（b）推导得
τα= sin2α+ τxcos2α (6-2)
式（6-1）和（6-2）就是对处于二向应力状态下的单元体，根据σx 、σy、τx求σα和τα的解析法公式。
[例7—1] 一平面应力状态如例图10-7所示，试求其外法线与x轴成30 角斜截面上的应力。
[解] 根据正应力、切应力和α角的正负规定，有σx = 10MPa，τx =- 20 MPa，σy =-20 MPa，α = 30，将各数据代入式(10-1)和（10-2）得
σ30 = （ + cos60 + 20sin60 ）MPa
= MPa = 19.82MPa
τ30= sin60 - 20cos60)MPa
= MPa = 2.99 MPa
结果为正，表示实际应力的方向与图中假设方向一致，如图（b）所示。

[例7—2] 试计算图10-8a所示的矩形截面简支梁，在点k处α= - 30的斜截面上的应力的大小和方向。

[解] （1）计算截面m — m上的内力。
支座反力YA =YB = 10kN，画出内力图如(图10-8b)所示。截面m-m上的内力为：
M = （10 ×103×300 ×10-3 ）N·m = 3000N·m = 3kN·m
FQ = 10 kN
（2）计算截面m-m上点k处的正应力σx、σy和切应力τx 、τy。
由式（10-2）计算σx ；
I= mm=27300000mm = 27.3×10-6m4
σx = = N/m2= 2.2×106 N/m2 = 2.2MPa
根据梁受纯弯曲时纵向各层之间互不挤压的假定，可以近似地认为
σy = 0
计算τx 和τy；
τx = = N/m2= 1.1×106N/m2
= 1.1 MPa
τy = -τx = -1.1 MPa
在点k处取出单元体，并且将σx、σy、τx 、τy的代数值表示在单元体上，如图10-8c所示。
计算点k处α = - 30的斜截面上的应力。
将上面已求出的σx、σy、τx 、τy的代数值和α =- 30代入式（ 6-1 ）和 （6-2 ）就可以求得：
σα = 〔 + cos2(-30) - 1.1sin2(-30)〕MPa
= （1.1 + 1.1 × + 1.1×）MPa = 2.60MPa
τα = 〔sin2(-30) + 1.1cos2(-30)〕MPa
= 〔1.1×(-) + 1.1 × 〕MPa= -0.40MPa
将求得的σα和τα表示在单元体上，如图10-8c所示。
将图10-8c所表示的单元体上的应力情况反映到梁AB上，则得如图10-8d所示。仔细观察图10-8c和d 的对应关系，可以加深我们对应力状态概念的理解。
二、主应力的计算和主平面确定
根据上面导出的斜截面上的正应力和剪应力的计算公式，还可确定这些应力的最大值和最小值。
将公式（6—1）对取导数，得：

令此导数等于零，可求得σα达到极值时的值，以表示，即有

化简，得
(6—3)
或 (6—4)
由此可求出的相差90º的两个根，也就是说有相互垂直的两个面，其中一个面上作用的正应力是极大值，用表示，称为最大正应力，另一个面上的是极小值，用表示，称为最小正应力。可以求得，它们的值分别为
(6—5)
不难得到 (6—6)
将公式（6—2）对取导数，得：

令此导数等于零，可求得达到极值时的值，以表示，即有

化简，得
(6—7)
由此也可求出的相差90º的两个根，也就是说有相互垂直的两个面，其中一个面上作用的切应力是极大值，用表示，称为最大切应力，另一个面上的是极小值，用表示，称为最小切应力。可以求得，它们的值分别为
(6—8)
比较(10—3) 和(10—7)，可得
(6—9)
因此，2和2相差90º，和相差45º，即最大正应力的作用面和最大切应力作用面的夹角为45º。
从公式(6—5)还可得到
(6—10)
即最大切应力等于两个主应力之差的一半。

[例7—3] 试分别确定，E、F两点的主平面的位置及主应力。

（1）E点
①主平面位置

②最大应力最小应力

③主应力：

（2）F点

①主平面位置