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第 1 讲 集合的概念与运算
（第课时）
神经网络
准确记忆！

重点难点
好好把握！

重点：1．集合概念的正确理解；2．集合的运算。
难点：1．含参数集合的运算；2．灵活应用集合运算中的相关性质。

考纲要求
注意紧扣！

1．理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；2．了解空集、全集、属于、包含、相等关系的意义；3．会用术语和符号正确表示简单的集合。
命题预测
仅供参考！

1．涉及集合概念及运算的选择题；2．含参数的集合的运算；3．综合运用。
考点热点
一定掌握！

1．集合的有关概念
集合：把确定的彼此不同的一些对象作为一个整体来考虑，便说这个整体是一个集合。
元素：集合中每个对象叫做集合的元素。集合的元素具有确定性、互异性和无序性。即一个元素与一个集合的关系只有两种，属于或不属于；集合中的任何两个元素都不相同；集合中的元素是没有先后顺序的。集合用大写字母表示，集合的元素用小写字母表示，元素属于集合记为 ，不属于集合记为 。
空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为。
例. 分别由所有自然数、整数、有理数、实数组成的集合分别叫做自然数集、整数集、有理数集、实数集。分别、、、表示。也用、分别表示正负实数集。
例. 实数集的性质
①有序性：任何两个实数和必定有下列三种关系中的一种，而且只能有一种：
，，。
②稠密性：对任何两个不等的实数和，都至少存在一个实数，使得：
或 。
③连续性：实数集的元素与数轴上的点是一一对应的。

2．集合的表示
⑴ 列举法：把集合的元素一一列举出来，写在大括号内，常用于有限集合，例如 。
⑵ 描述法：把集合中元素的公共属性写在大括号内，例如 {小于5的自然数}，还例如， 中的元素为函数 的函数值，为值域； 中的元素为函数 的自变量的取值，为定义域。
⑶ 区间法：用区间来表示集合。
例（1993年高考理科题）．已知集合 ， ，那么E∩F为区间：
. ；. ；. ；. 。
解：（略）

⑷ 图示法：画一个圆（也可用椭圆或矩形），用圆内的点表示集合的元素，圆外的点表示不是集合的元素，不同的圆表示不同的集合，如右图。
例（上海高考题）．已知集合 ，
，那么集合为
. ， ； . ； . ； . 。
解：∵ 为集合，且其元素为有序实数对，而答案、不是集合，故排除；答案是集合但不是实数对，故排除；故应选答案。

3．集合之间的关系
子集、真子集和全集：对于集合、，若的所有元素都属于，则叫的子集，叫全集，记为 。若中至少有一个元素不属于，则叫的真子集，记为 。
（查现行教材上对于子集、真子集的记法）
例如， ，因为是元素，而{}是只有一个元素的集合，与{}是两个不同的概念，当然不可能相等。实际上， 。
又例如， ，因为是空集，集合中没有元素，而{0}是有一个元素零的集合，二者当然不是一回事。
集合相等：对于两个集合和，如果，同时，则称、两个集合相等，记为。
注意：⑴ 集合与集合之间的关系用 、、或 来表示，元素与集合之间的关系用 或 来表示。
⑵ 两个集合和之间的关系必有下列四种关系中的一种，并且只能有其中一种：
①从属关系（即 ）；②相等关系（即 ）；③并列关系（即 ）；④重叠关系（即 ，但 且 ）。

这四种关系用集合图表示如下：
例（2002年新课程高考题）．
设集合则
（A） ； （B） ； （C） ； （D）
解：在中， ，在中， ，由于，那么 只能是奇数，故其所取实数个数少于 所取实数个数，∴ ，故应选。

4．集合的运算
交集：集合、，由既属于也属于的所有元素组成的集合叫做和的交集，记为 ，也就是说，与的交集是由、的所有公共元素所组成的集合；
并集：由属于或属于的所有元素组成的集合叫做和的并集，记为 ，注意与的公共元素在中只出现一次（集合元素的互异性）；
补集：集合是集合中的子集，集合中所有不属于的元素组成的集合叫做的补集，记为 ，实际上如果借用“差”的概念，。
例．设 ， ，,为何值时，
⑴ ；⑵ ；⑶ ，但；⑷ 。
解：∵ ， ，
⑴ 故当 时，，如图1；
⑵ 时， ，如图2；
⑶ 时，，但，如图3；
⑷ 不论为何值，都不可能，如图4。 图1

图2 图3 图4
点评：第⑴小题的答案如果只写 ，而没有将其解出来，那是不够的。
例（2004年湖南高考题）．设集合 ，，，那么点P（2，3）（ ）的充要条件是 （ ）
A． B．
C． D．
解：∵ ，∴ 必须适合 ，
∴ ，故应选。

5．集合运算的性质与常用结论
⑴ ；
⑵ ；
⑶ （）；
⑷ （）；
⑸ （）；
⑹ 若集合是集合的子集，则
， ， ， ；
， ， ， ；

6．集合思想的应用
集合问题与函数、方程、不等式等中学数学知识都有关系，要能运用集合思想进行数与形之间的转化。
例．已知集合P = { ( x，y ) | y = 2x + b }， Q = { ( xy ) | x2 + y2 －2x－4 = 0 }．如果集合PQ恰有四个不同的子集，那么实数b的取值集合为__________。
分析：本题关键在于认识“集合PQ恰有四个子集”的意义．
从图形角度看，集合P表示一条直线，Q表示一个圆，PQ为直线和圆的公共点的集合，PQ中所含元素的个数只可能是0或1或2。
由已知PQ恰有四个子集，故PQ中只可能有二个元素（例如，含有二个元素a,b的集合的子集为：空集，只含a的集合，只含b的集合，含a、b的集合），即直线和圆的公共点的个数为2（即直线和圆相交），以此为据来求b的取值集合。
直线方程变为 2x－y + b = 0 ，圆方程变为 (x－1)2 + y2 = 5 ，
∵ 直线和圆相交，∴ 圆心到直线的距离应该小于圆的半径，即 ，
解得 －7 < b < 3 。
∴ 实数b的取值集合为 { b | －7 < b < 3} 。
点评：① 正确识别集合语言以及由集合语言表述的数学命题的意义，是集合内容的应用之一。
② 如果不记得点线距离公式，也可以把直线方程代入圆方程然后令来求出。

能力测试
认真完成！

1．命题“如果，那么。”的等价命题是
(A) 如果,那么。 (B) 如果,那么。
(C) 或。 (D) 如果，那么。
(E) 如果，那么。

2．数集 与数集 之间的关系是
(A) ；(B) ；(C) ；(D) 。

3．已知 ， ，则下列关系中正确的是
(A) ；(B) ；(C) ；(D) 、之间无包含关系。

4．已知集合 ， ，而且 ，，、，那么+的值等于
(A)-1； (B)-2； (C)0； (D)1。

5．已知集合适合 ，那么这样的集合有
(A)7个；(B)8个；(C)至少7个；(D)至多7个。

6．设 ，，，，,计算：
⑴ ⑵ ⑶ ⑷

⑸ ⑹ ⑺ ⑻

7．设 ， ，,计算：
⑴ ； ⑵ 。

8．已知集合P={(x，y)|y=x2－2x}，Q={(x，y)|y=kx－2}，若P∩Q≠Ø，求k的取值范围。
参考答案
仔细核对！

1
2
3
4
5
6
7
8

集合的有关概念
√

集合的表示
列举法

描述法

区间法

图示法

集合之间的关系
子集

√

真子集

√

全集

集合相等

√

集合的运算
交集

并集

补集

√

集合的综合应用

√

√
√

1．命题“如果，那么。”的等价命题是
(A) 如果,那么。 (B) 如果,那么。
(C) 或。 (D) 如果，那么。
(E) 如果，那么。
解：因为逆否命题与原命题等价，故选(B)。
解题错误：误选为(A)或(E)。
2．数集 与数集 之间的关系是
(A) ；(B) ；(C) ；(D) 。
解（84年高考题）：由下表可知应该选(C)。
n
…
-1
0
1
2
…
n
…
X
…
-

3
5
…
（2n+1）
…

k
…
-1
0
1
2
…
k
…
Y
…
-5，-3
,-
5,3
9,7
…
（4k1）
…

解题错误：误选为(A)或(D)。
3．已知 ， ，则下列关系中正确的是
(A) ；(B) ；(C) ；(D) 、之间无包含关系。
解：从 和 的图像上可以看出，后者比前者少一个点（1，0），而其余点相同，故选(B)。
解题错误：误选为 (A) 或 (D)。
4．已知集合 ， ，而且 ，，、，那么+的值等于
(A)-1； (B)-2； (C)0； (D)1。
解：由 可知 ，把2代入 得 ；
由 可知 ，把4代入 得 。
∴ ，故选(A)。
解题错误：误选为(D)。
5．已知集合适合 ，那么这样的集合有
(A)7个；(B)8个；(C)至少7个；(D)至多7个。
解：，故选(A)。
解题错误：误选为(D)。
6．设 ，，，，,计算：
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
⑸ ⑹ ⑺ ⑻
解：
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
⑸ ⑹ ⑺ {分数，无理数} ⑻ {正数，无理数}
解题错误：第⑺、⑻小题用几个集合的交集、并集来表示或者干脆做错。
7．设 ， ，,计算：
⑴ ； ⑵ 。
解：⑴ ；⑵ 或 。
8．已知集合P={(x，y)|y=x2－2x}，Q={(x，y)|y=kx－2}，若P∩Q≠Ø，求k的取值范围
解：
由 △=(2+k)2－8≥0 得 或 。