福建省高三数学考前适应性训练试卷2-理.doc

福建省2012届高三考前适应性训练数学试卷理科2
第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．双曲线的一个焦点坐标是 （ ）
A． B． C． D．（1，0）
2．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，的值是 （ ）
A． B． C．8 D．-8
3．已知为虚数单位，为实数，复数在复平面内对应的点为M，则“”是“点M在第二象限”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知具有线性相关的两个变量之间的一组数据如下：

0
1
2
3
4

2.2
4.3
4.5
4.8
6.7
且回归方程是的预测值为 （ ）
A．8.4 B．8.3 C．8.2 D．8.1

5．用若干个棱长为1cm的小正方体叠成一个几何体，图1为其正视图，图2为其俯视图，若这个几何体的体积为7cm3，则其侧视图为 （ ）

6．已知集合的二项展开式中存在常数项，则等于 （ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
7．在区间上随机取一个数，则事件“”发生的概率为 （ ）
A． B． C． D．
8．已知不等式组表示的平面区域为D，若直线将区域D分成面积相等的两部分，则实数的值是 （ ）
A． B． C． D．
9．如图，从点发出的光线，沿平行于抛物线的对称轴方向射向此抛物线上的点P，反射后，穿过焦点射向抛物线上的点Q，再经抛物线反射后射向直线上的点N，经直线反射后又回到点M，则等于 （ ）
A．5 B．6
C．7 D．8
10．记集合，将M中的元素按从小到大排列，则第70个是 （ ）
A．0.264 B．0.265 C．0.431 D．0.432

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填写在答题卡的相应位置
11．已知 。

12．运行右边的程序框图，输出的是数列的前7项，若要使输出的结果是数列的前7项，则须将处理框A内的关系式变更为 。
13．在中，角A，B，C的对边分别是，若，则A= 。
14．集合中，每两个相异数作乘积，所有这些乘积的和记为，如：
，

，

则　　　　　　　　（写出计算结果）
15．已知函数对任意的都有，函数是奇函数，当时，，则方程在内所有的根之和等于 。
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，把解答过程写在答题卡的相应位置。
16．（本小题满分13分）
右图是某简谐运动的一段图象，其函数模型是，其中
（Ⅰ）根据图象求函数的解析式；
（Ⅱ）将图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若实数满足的值。

17．（本小题满分13分）
如图，点A，B，C是椭圆的三个顶点，D是OA的中点，P、Q是直线上的两个动点。
（Ⅰ）当点P的纵坐标为1时，求证：直线CD与BP的交点在椭圆上；
（Ⅱ）设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，，试判断以线段PQ为直径的圆是否恒过定点，请说明理由。

18．（本小题满分13分）
厦门市为了做好新一轮文明城市创建工作，进一步增强市民的文明意识，在市区公共场所张贴了各种文明公约，有关部门为了解市民对公约的熟知程度，对下面两个问题进行了调查：
问题一：乘坐公交车时，乘客应遵守哪些道德行为？
问题二：在公共场所，市民应注意哪些礼仪？
调查结果统计如下（被调查者至少回答两个问题中的一个）：

年龄段
问题一
问题二
回答正确人数
占本组人数的频率
回答正确人数
占本组人数的频率

15

10
0.5

15

12
0.4

28

24

30
0.6

0.8

0.9
42

已知同一年龄段中回答问题一与问题二的人数是相同的
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）为使活动得到市民更好的配合，调查单位采取如下鼓励措施：正确回答问题一者奖励价值20元的礼物；正确回答问题二奖励价值30元的礼物，有一家庭的两成员（大人42岁，孩子13岁）参与了此项活动，已知他们都只回答了一个问题，并且所回答的问题是不同的，若将频率近似看作概率，问这个家庭获得礼物价值的数学期望最大是多少？

19．（本小题满分13分）
某装修公司根据客户要求装饰一个墙角，施工设计时，在墙面交线AB与天花板ACD之间拉一条“定位线”EF（如图），已知墙面交线AB、AC、AD两两垂直，且AB=2，AC=AD=3。（单位：分米）
（Ⅰ若点E、F分别为AB、CD的中点，请指出此时直线EF与直线BC的位置关系（直接写出结论）；
（Ⅱ）若E、F分别在AB、天花板ACD上运动时，始终保持“定位线”EF的长为定值2，记EF的中点为G，试探究线段AG的长是否也为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，客户提出在点G处安装一盏装饰灯，为了美观和更好地散热，需将灯安装在与天花板ACD的距离为且与另两墙距离之和最大处，求此时直线AG平与面BCD所成角的正弦值。

20．（本小题满分14分）
已知函数
（Ⅰ）求处的切线方程；
（Ⅱ）若不等式恒成立，求的取值范围；
（Ⅲ）数列，数列满足的前项和为，求证：

21．本题有（1）、（2）、（2）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多2做，则按所做的前两题计分，作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。
（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
已知，若矩阵所对应的变换把直线变换为它自身。
（Ⅰ）求矩阵A；
（Ⅱ）求矩阵A的逆矩阵。

（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以O为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为，曲线的参数方程为，（为参数，）。
（Ⅰ）求C1的直角坐标方程；
（Ⅱ）当C1与C2有两个公共点时，求实数的取值范围。

（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲
已知函数
（Ⅰ）当时，求函数的定义域；
（Ⅱ）当函数的定义域为R时，求实数的取值范围。

参考答案

一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．每题5分，满分50分．
1～5 ADCBC 6～10 DBCBA
二、填空题：本题考查基础知识和基本运算．每题4分，满分20分．
11． 12． 13．　　 14．322 15．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．本题主要考查三角函数图象性质、图象的平移、定积分运算等基础知识；考查运算求解能力及数形结合思想．满分13分．
解：（Ⅰ）由函数图象及函数模型知； -----------------1分
由，得，
由得； ---------------------------3分
由得．　　　　　　　　 ------------------------------5分
∴所求函数解析式为． -------------6分
（Ⅱ）将图象向左平移个单位长度，
得到函数的图象， ------------------------------------8分
∵ --------------------------------10分
， --------------------------------------------11分
∴，又， 解得． -------------------------13分
17．本题主要考查椭圆、圆与直线等基础知识，考查运算求解能力，推理论证能力及探究能力；考查函数与方程思想，数形结合思想，化归与转化思想．满分13分．
解：（Ⅰ）由题意，时，直线CD方程为，
直线BP方程为, --------------2分
由方程组 解得， -----------------------------------3分
+=+=1，
∴在椭圆上，
∴直线 CD 与BP的交点在椭圆上． --------------------------5分
（Ⅱ）∵∴，∴，
∴焦点，． -----------6分
设，，
---------------------8分
， ，
线段PQ为直径的圆圆心是的中点（4，），半径为，
圆的方程为 -------------------10分

-------------------------------12分
令，得 ∴ 或 ，
以线段为直径的圆恒过定点． -------------------------13分
18．本题主要考查统计、概率、随机变量的分布列及数学期望等基础知识；考查运算求解能力，分析与解决问题能力及应用意识；考查函数最值思想，必然与或然思想，分类与整合思想．满分13分．
解：（Ⅰ）由题意知，同一年龄段中回答问题一与回答问题二的人数是相同的，
∴ 且 --------------------------2分
解得： , ． ----------------------------4分
（Ⅱ）又由表知：　可得　． -----------------------5分
∴42岁大人回答问题一、二的正确率分别为，
13岁孩子回答问题一、二的正确率分别为． ---------------------------6分
（ⅰ）当大人回答第一个问题，小孩回答第二个问题时，记这个家庭所获奖品价值为元，
则的可取值为 0，20，30，50　．其分布列为

----------------------8分
∴ ． ----------------------9分
（ⅱ）当小孩回答第一个问题，大人回答第二个问题时，记这个家庭所获奖品价值为元，
则的可取值为 0，20，30，50．其分布列为

-------------------------------------------------11分
∴ ．----------12分
答：这个家庭获得礼物价值的数学期望最大是39元． ------------------------13分
19．本题主要考查异面直线、直线与平面垂直、空间距离公式等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力、应用向量知识解决数学问题的能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．
解： （Ⅰ） 直线EF与直线BC的位置关系是 异面 ； -------------2分
（Ⅱ）解法一：取EF中点G，连接AF、AG，则由已知墙面交线AB、AC、AD两两垂直，
得：AB⊥面ACD， ---3分
从而：EA⊥AF -----------------------------------4分
∴ EF是Rt△EAF的斜边，∴AG=EG=GF=1,
即：当E、F分别在棱AB、天花板ACD上运动时，AG的长为定值１．-----------------6分
解法二：分别以AC、AD、AB为x、y、z轴建系，如图，设G（x,y,z）, -----------3分
则E（0,0,2z）、F（2x,2y,0）, 由 --------------4分
即有为定值． 　　　　--6分
（Ⅲ）分别以AC、AD、AB为x、y、z轴建系，如图，设G（x,y,）, 　--------------7分
x
z
G
B
D
C
A
E
F
y
由（Ⅱ）有，
从而，而点G到另两个墙面的
距离之和为． 由，
∴，即
当且仅当时取等号 ----------------10分
此时
设面BCD的法向量为，由得 ----------11分
设直线AG与平面BCD所成角为，有
即：直线AG与平面BCD所成角的余弦值为---------------------------------------13分
注：“”的证明若采用柯西不等式、三角换元、直线和圆的关系等方法求解，同样给分．
20．本题主要考查函数与导数，函数图象与性质，数列等基础知识；考查学生抽象概括能力，推理论证能力，创新能力；考查函数与方程思想，有限与无限思想，分类与整合思想．满分14分．
解：（Ⅰ） ，，切点是，
所以切线方程为，即．　 -----------------3分
（Ⅱ）（法一），
当时， ，，单调递增，
显然当时，，不恒成立．　　 -------------------4分
当时， ，，单调递增，
，，单调递减，　　 -----------------------------6分
，，
所以不等式恒成立时，的取值范围 　　 --------------------8分
（法二）所以不等式恒成立，等价于，
令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增．　　 ---------------------------------6分
，．
所以不等式恒成立时，的取值范围． ---------------8分
（Ⅲ） ，，
，
， ---------------------10分
由（2）知，当时，恒成立，即，当且仅当取等号．
　，，
……， ---------------------12分

，
令，
则，
，
，． ---------------------------14分
21．（1）本题考查矩阵与变换、逆矩阵等基础知识，考查运算求解能力及化归与转化思想．
解： （Ⅰ） 法一：设为直线上任意一点其在的作用下变为
则 --------------------3 分
代入得：
其与完全一样得
则矩阵 ---------------------------------5分
法二：在直线上任取两点（2、1）和（3、3）， ---------------1分
则,即得点,
,
即得点, ------------------------------------------------3 分
将和分别代入得
则矩阵． ---------5 分
（Ⅱ）因为，所以矩阵M的逆矩阵为． -------------7分
（2）本题考查直线与圆的极坐标与参数方程，极坐标、参数方程与直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，化归与转化思想及数形结合思想．
解：（Ⅰ）曲线的极坐标方程为,
∴曲线的直角坐标方程为． -----------------------3分
（Ⅱ）曲线的直角坐标方程为,为半圆弧，
如下图所示，曲线为一族平行于直线的直线， ------------4分
当直线过点时，利用得，
舍去，则，
当直线过点、两点时，， ------------6分
∴由图可知，当时，
曲线与曲线有两个公共点． -----------------------7分
（3）本题考查绝对值不等式解法、最值求解等基础知识，考查推理论证能力及运算求解能力．
解：（Ⅰ）当时，要使函数有意义，
有不等式成立，------------------① -----------------------1分
当时，不等式①等价于，即，∴；-------------------2分
当时，不等式①等价于，即，∴； ---------------3分
当时，不等式①等价于，即，∴； --------------4分
综上函数的定义域为． ---------------------------------------5分
（Ⅱ）∵函数的定义域为, ∴不等式恒成立，
∴只要即可，又∵（或时取等号），
即，∴． ∴的取值范围是．--------7分

- 14 -
用心 爱心 专心