高等数学电子教案：第12章-无穷级数.doc

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第十二章 无穷级数
§1 常数项级数的概念和性质
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目
的
掌握常数项级数的概念及级数收敛的定义及性质。
教学
重点
及
突出
方法
级数收敛的概念及性质。
教学
难点
及
突破
方法
级数收敛的性质，几何级数的收敛性，调和级数的敛散性。
相关
参考
资料
《高等数学（第三册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社
P1-P9
《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，P266-P271
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教学思路、主要环节、主要内容
12.1 常数项级数的概念和性质
1．常数项级数的定义
设已给数列则式子
或其简写为叫做无穷级数,记前n项和为，当n无限增大时，若数列具有有限的极限S，即则称无穷级数收敛，其极限值S称为级数的和，并记为 ； 若没有极限，就称无穷级数发散。
2．无穷级数的基本性质
(1) 若级数收敛于S，则每一项乘以一个不为零的常数k，则级数收敛于kS。
(2) 设有两个收敛级数：，
则级数 收敛于和。
(3)在级数的前面部分去掉或加上有限项，不影响级数的敛散性，但是其级数和会发生相应变化。
(4)收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和S。
(5)常数项级数收敛的必要条件：若级数收敛，则当n趋于无穷大时，它的一般项必趋近于零。
因而若级数的一般项不趋于零，则级数一定发散，但反之不然，亦即如果级数的一般项趋于零，则级数未必收敛。
叫等比级数，又称几何级数，其中,q叫做级数的公比，当时，几何级数收敛；当时级数发散。
称为调和级数，此级数是发散的。
3．柯西收敛原理
定理：级数收敛的充分必要条件为：对任意给定的正数ε，总存在自然数N，使得当n>N时，对于任意的自然数p，都有成立。
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第十二章 无穷级数
§2 常数项级数的审敛法
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目
的
掌握正项级数、交错级数的审敛法及绝对收敛及条件收敛的概念。
教学
重点
及
突出
方法
正项级数、交错级数的审敛法及绝对收敛及条件收敛。
教学
难点
及
突破
方法
正项级数、交错级数的审敛法及绝对收敛及条件收敛。
相关
参考
资料
《高等数学（第三册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社P11-P44
《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，P271-P285
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12.2 常数项级数的审敛法
  定理：正项级数收敛的充分与必要条件是部分和数列{Sn}上有界。
正项级数的审敛准则
  准则一（比较判别法）：设有两个正项级数及，而且un≤vn(n=1,2,…).如果收敛，那末也收敛；如果发散，那末也发散。
推论1:设和都是正项级数,如果级数收敛,且存在自然数N,使当n>N时有un≤kvn (k>0)成立,则级数收敛；如果级数发散,且当n>N时有un≥kvn (k>0)成立,则级数发散。
推论2:设是正项级数,如果有p>1时 un≤1/np(n=1,2…),则级数收敛;如果un≥1/n (n=1,2,…),则级数发散。
准则二：设有两个正项级数与，如果那末这两个级数或者同时收敛，或者同时发散。
准则三（比值审敛法）：设有正项级数.如果极限存在，那末当λ＜1时级数收敛，λ＞1时级数收敛。
定理(莱布尼兹定理):如果交错级数满足条件:(1):un≥un+1 (n=1,2,3,…) (2): ,则级数收敛，且其和s≤u1,其余项rn的绝对值|rn|≤un+1.
定义：绝对收敛：对于级数,如果级数收敛的话，则称为绝对收敛。
条件收敛：如果发散，但却是收敛的，则称为条件收敛。
关系：绝对收敛级数必为收敛级数，但反之不然。
P级数：当p>1时收敛；当p≤1时发散。
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第十二章 无穷级数
§3 幂级数
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掌握函数项级数与数项级数的关系，收敛点与收敛域，幂级数的收敛半径与收敛域，微分与积分运算性质，幂级数的和函数。
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重点
及

突出
方法
幂级数的收敛半径与收敛域，幂级数的和函数。
教学
难点
及
突破
方法
幂级数的收敛半径与收敛域，幂级数的和函数。
相关
参考
资料
《高等数学（第三册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社P44-P88
《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，P286-P300
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12.3 幂级数
函数项级数的概念：  设有函数序列，f1(x),f2(x),…,fn(x), …，其中每一个函数都在同一个区间I上有定义，那末表达式f1(x)+f2(x)+…+fn(x)+…称为定义在I上的函数项级数。
具有如下形式的函数项级数：
 它们的各项都是正整数幂的幂函数.这种级数称为幂级数，其中an(n=0,1,2,…)均为常数。
显然，当上面级数中的变量x取定了某一个值x0时，它就变为一个常数项级数。
定理（阿贝尔定理）：如果级数当x=x0(x0≠0)时收敛，则适合不等式|x|<|x0|的一切x使这幂级数绝对收敛。反之，如果级数当x=x0时发散，则适合不等式|x|〉|x0|的一切x使这幂级数发散。
幂级数的审敛准则：设有幂级数.如果极限，那末，当|x|R时，幂级数发散，其中R=1/ρ可以是零，也可以是+∞.
由上面的准则我们可知：幂级数的收敛区间是关于原点对称的区间|x|内可以积分，并且有逐项积分公式：

积分后所得的幂级数与原级数有相同的收敛半径。
  由以上这些性质可知：幂级数在其敛区内就像普通的多项式一样,可以相加,相减,可以逐项求导,逐项积分。
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第十二章 无穷级数
§4函数展开成幂级数§5 函数幂级数展开式的应用
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掌握函数展开成幂级数的方法：直接法和间接法。
了解函数幂级数展开式的应用。
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重点
及
突出
方法
函数展开成幂级数的间接展开法。
教学
难点
及
突破
方法
函数展开成幂级数的间接展开法；求收敛域。
相关
参考
资料
《高等数学第三册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社P90-P108
《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，P300-P303
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12.4 函数展开成幂级数
若函数f（x）在点x0的某一邻域内具有直到（n+1）阶导数，则在该邻域内f（x）的n阶泰勒公式为：
其中：，称为拉格朗日余项。
函数展开成幂级数的充分必要条件是：函数的n阶泰勒公式中的余项趋于零。此时函数展开式称为泰勒级数。
在泰勒公式中，取x0=0，得：

这个级数称为麦克劳林级数。函数f（x）的麦克劳林级数是x的幂级数，那么这种展开是唯一的，且必然与f（x）的麦克劳林级数一致。
注意：如果f（x）的麦克劳林级数在点x0=0的某一临域内收敛，它不一定收敛于f（x）。因此，如果f（x）在x0=0处有各阶导数，则f（x）的麦克劳林级数虽然能做出来，但这个级数能否在某个区域内收敛，以及是否收敛于f（x）都需要进一步验证
几种初等函数的麦克劳林的展开式
1.指数函数ex ：  
2.正弦函数的展开式：

3.函数(1+x)m的展开式

4.函数1/（1-x）的展开式：

一般情况下函数展开成幂级数采用间接展开法，即利用简单的函数的展开式、幂级数在收敛域内可逐项求导及可逐项求积分的性质以及变量代换等对复杂函数进行展开。
11.5 函数幂级数展开式的应用
利用幂级数展开式可以进行近似计算，即在展开式的有效区间上，函数值可以近似地利用这个级数按精确度要求计算出来。
欧拉公式：； ，
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第十二章 无穷级数
§7 傅里叶级数
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掌握周期为2π周期函数展开成傅里叶级数概念及方法，
掌握奇函数和偶函数的傅里叶级数展开及定义在区间[0,π]上的函数展开成正弦级数或余弦级数。
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重点
及
突出
方法
定义在[-π，π]上的函数的傅里叶级数展开，
函数展开成正弦级数或余弦级数，主要方法是将定义在区间[0π]上的函数作奇延拓或偶延拓，然后求其傅里叶级数。
教学
难点
及
突破
方法
定义在[-π,π]上的函数的傅里叶级数展开，
函数展开成正弦级数或余弦级数及函数的奇延拓或偶延拓。
相关
参考
资料
《高等数学（第三册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社
《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社
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12.7 傅里叶级数
三角函数族的正交性：
记T={1，cosnx，sinmx|m,n∈N}，则T的任意两个函数在[-π,π]上正交，即有：
1.； 2.
3. ；4.
定义：设周期为2π的函数f(x)在[-π,π]可积和绝对可积，则其傅里叶级数为：

其中：

收敛定理（狄利克雷充分条件）：设f(x)是周期为2π的周期函数，如果它满足：
1. 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；
2. 在一个周期内至多只有有限个极值点
则f(x)的傅里叶级数收敛，并且：当x是f(x)的连续点时，级数收敛于f(x);
当x是f(x)的间断点时，级数收敛于[f(x-0)+f(x+0)]/2.

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教学思路、主要环节、主要内容
正弦级数和余弦级数
一、 奇函数和偶函数的傅里叶级数
设周期为2π的函数f(x)在[-π,π]可积和绝对可积，则
(i) 若f(x)为奇函数，则有
其中：
(ii) 若f(x)为偶函数，则有
其中：
二、函数展开成正弦级数或余弦级数
在实际应用中有时需要把定义在区间[0,π]上的函数f(x)展开成正弦级数或余弦级数.根据上一节的知识我们可以得到一下解决方法:
设函数f(x)定义在区间[0,π]上并且满足收敛定理条件，我们在开区间（-π，0）补充函数f(x)的定义得到定义在（-π,π）上的函数F(x),使得它在（-π,π）上成为奇函数(偶函数).按这种方法扩展函数定义域的过程成为奇延拓(偶延拓).然后用上一节的方法就可以得到函数傅里叶级数.限制x在（0,π]上,此时F(x)=f(x),这样便得到f(x)的正弦级数(余弦级数)展开式.

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第十二章 无穷级数
§8 周期为2l的周期函数的傅里叶级数
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掌握周期为2l周期函数展开成傅里叶级数概念及方法。[-l，l]
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重点
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突出
方法
定义在[-l，l]上的函数的傅里叶级数展开
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难点
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突破
方法
定义在[-l，l]上的函数的傅里叶级数展开
相关
参考
资料
《高等数学（第三册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社P160-P165，P173-P182
《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，P314
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教学思路、主要环节、主要内容
12.8周期为2l的周期函数的傅里叶级数
定理：设周期为2l的函数f(x)在[-l,l]满足收敛定理的条件，则其傅里叶级数展开式为：

其中：

当f(x)函数为奇函数时，
其中系数为：；
当f(x)函数为偶函数时，
其中系数为：。
傅里叶级数的复数形式
周期为2l的 函数f(x)的傅里叶级数的复数形式为：

其中

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第十二章 无穷级数
习题课
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通过习题课加深对所学知识的掌握。
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重点
及
突出
方法
对容易犯的错误进行分析，介绍一些做题技巧。

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难点
及
突破
方法
和函数的求法的做题技巧。
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参考
资料
《数学复习指南》2004版（理工），陈文登，黄先开，世界图书出版社，P204-P242
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教学思路、主要环节、主要内容
第十二章的习题分析及补充陈文登考研复习指导中的例题习题及历届考研题中的相关内容。

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总复习
课时
4
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的
掌握一学期所讲授的内容及教学重点。
教学
重点
及
突出
方法
串讲一学期所讲内容及总复习题。
教学
难点
及
突破
方法
串讲一学期所讲内容及总复习题。
相关
参考
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教学思路、主要环节、主要内容
分章讲解一学期所学内容及重点，讲解总复习题。