传染病模型.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,传染病模型,致命的瘟疫,在人类历史上，天花和黑死病、痢疾、霍乱等瘟疫都留下了惊人的死亡数字。,公元前,1100,多年前，印度或埃及出现急性传染病天花。公元前,3,前,2,世纪，印度和中国流行天花。公元,165,180,年，罗马帝国天花大流行，,1,4,的人口死 亡。,6,世纪，欧洲天花流行，造成,10,的人口死亡。,17,、,18,世纪，天花是欧洲最严重的传染病，死亡人数高达,1.5,亿。,19,世纪中叶，中国福建等地天花流行，病死率超过,1,2,。,1900,1909,年，俄国因天花死亡,50,万人。,据史书记载，霍乱于,1817,年首次在印度流行，,1823,年传入俄国，,1831,年传入英国。,19,世纪初至,20,世纪末，大规模流行的世界性 霍乱共发生,8,次。,1817,1823,年，霍乱第一次大规模流行，从“人类霍乱的故乡”印度恒河三角洲蔓延到欧洲，仅,1818,年前后便使英国,6,万余人丧生。,1961,年出现第七次霍乱大流行，始于印度尼西亚，波及五大洲,140,多个国家和地区，据报告患者达,350,万。,1992,年,10,月，第八次霍 乱大流行，席卷印度和孟加拉国部分地区，在短短,2,3,个月就报告病例,10,余万，死亡人数达几千人，随后波及许多国家和地区。,疟疾每年在全球有五亿宗病例，导致超过,100,万人死亡，大部份在非洲发生。世界卫生组织指出疟疾平均每,30,秒杀死一个,5,岁以下的儿童；疟疾也是导致非洲经济一直陷于困境的主要原因之一。,第一次世界性鼠疫大流行：始于公元,6,世纪，源自中东，流行中心为近东地中海沿 岸，持续近,60,年，高峰期每天死亡万人，死亡总数近,1,亿人。,公元前,430,前,427,年，雅典发生鼠疫，近,1,2,人口死亡，整个雅典几乎被摧毁。,第二次世界性鼠疫大流行：史称“黑死病”，,1348,1351,年在欧洲迅速蔓 延，患者,3,5,天内即死，,3,年内丧生人数达,6200,万，欧洲人口减少近,1,4,，其中威尼斯减,70,，英国减,58,，法国减,3,4,。此次“黑死病”延续到,17,世纪才消弭。,第三次世 界性鼠疫大流行：,1894,年，香港地区爆发鼠疫，波及亚洲、欧洲、美洲、非洲和澳洲的,60,多个国家，死亡逾千万人。其中，印度最严重，,20,年内死亡,102,万多人。,1918-1919,年，爆发了席卷全球的流感疫病，导致,2,000-5,000,万人死亡，是历史上最严重的流感疫症。,流行性感冒简称流感，是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病，能引起心肌炎、肺炎、支气管炎等多种并发症,极易发生流行，甚至达到世界范围的大流行。,目前的,H5N1,型病毒株仅能通过禽类传染给人体，必须防范它与人类的流行性感冒病毒株接触进行基因重组，突变出“人传人”的禽流感病毒。禽流感一旦在人际传播，数亿人生命将受到威胁。,自,2003,年来全世界已有,14,个国家,357,人感染了禽流感病毒，其中,219,人因感染了该病毒而死亡。,HIV,是艾滋病的病原体，主要通过体液、血液传播。艾滋病联合规划署和世界卫生组织在“,2006,艾滋病流行最新情况”报告中说，世界上每隔,8,秒钟就有一人感染,HIV,，全球每天有,1.1,万人感染,HIV,，与此同时，每天有,8000,名感染者丧命。,SARS,（,Severe Acute Respiratory Syndrome,，严重急性呼吸道综合症,俗称：非典型肺炎）是,21,世纪第一个在,23,个国家和地区范围内传播的传染病。,2002,年,11,月,16,日中国广东佛山发现第一个非典型肺炎的病例。截至,2003,年,7,月,11,日，全球共,8069,名患者，死亡人数达,775,，死亡率约为,12%,。,目前已经找到治疗方法，中国和欧盟科学家联手，成功找到了,15,种能有效杀灭非典病毒的化合物。香港大学的新近研究表明，蝙蝠可能是,SARS,病毒野生宿主,英格兰德比郡的小村亚姆,(Eyam),有一个别号，叫“瘟疫之村”。但这个称呼并非耻辱，而是一种荣耀。,1665,年,9,月初，村里的裁缝收到了一包从伦敦寄来的布料，,4,天后他死了。月底又有,5,人死亡，村民们醒悟到那包布料已将黑死病从伦敦带到了这个小村。在瘟疫袭来的恐慌中，本地教区长说服村民作出了一个勇气惊人的决定：与外界断绝来往，以免疾病扩散。此举无异于自杀。一年后首次有外人来到此地，他们本来以为会看到一座鬼村，却惊讶地发现，尽管全村,350,名居民有,260,人被瘟疫夺去生命，毕竟还有一小部分人活了下来。,故事,问题提出,本世纪初，瘟疫常在世界上某地流行，随着,人类文明的不断进步，很多疾病，诸如天花、霍,乱已经得到有效的控制然而，即使在今天，一,些贫穷的发展中国家，仍出现传染病流行的现象,医疗卫生部门的官员与专家所关注的问题是：,（,1,）如何描述传染病的传播过程,（,2,）如何分析受感染人数的变化规律,（,3,）如何预报传染病高潮的到来,人们不可能去做传染病传播的试验以获取数据，从医疗卫生部门得到的资料也是不完全和不充分的。不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，弄清这些特点需要相当多的病理知识，这里更不可能从医学的角度来分析各种传染病的传播，所以，我们只能按照一般的传播机理建立模型。,问题分析,不同类型传染病的传播过程有不同的特点。,故不可能从医学的角度对各种传染病的传播过程一,一进行分析，而是按一般的传播机理建立模型,由于传染病在传播的过程涉及因素较多，在分,析问题的过程中，不可能通过一次假设建立完善的,数学模型,思路是：先做出最简单的假设，对得出的结果,进行分析，针对结果中的不合理之处，逐步修改假,设，最终得出较好的模型。,现通过疾病传播过程中若干重要因素之间的联系建立微分方程加以讨论，研究传染病流行的规律并找出控制疾病流行的方法显然是一件十分有意义的工作。,描述传染病的传播过程,分析受感染人数的变化规律,预报传染病高潮到来的时刻,预防传染病蔓延的手段,按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型,假设已感染人数,(,病人,),i,(,t,),每个病人每天有效接触,(,足以使人致病,),人数为,每个病人每天可使,s,(,t,),个健康者变为病人。,模型,1,假设,建模,?,若有效接触的是病人，则不能使病人数增加,必须区分已感染者,(,病人,),和未感染者,(,健康人,),（,SI,模型）,(1),人群分为易感染者（,Susceptible,）和已感染者（,Infective,）两类，以下简称健康者和病人。时刻,t,这两类人在总人数中所占的比例分别记为,s,(,t,),和,i,(,t,),。,即,那么 健康者为,:,Ns(t),病 人为,:,Ni(t),假设,模型,2,根据假设，每个病人每天可使,s,(,t,),个健康者变为病人。因为病人数为,Ni,(,t,),，所以每天共有,Ns,(,t,),i,(,t,),个健康者被感染，即病人数,Ni,(,t,),的增加率为,Ns,(,t,),i,(,t,),。于是得到人员流程图如下,t,Nsi,t,N,t,t,N,D,=,-,D,+,l,),i,（,),i,(,得出：,模型建立,据假设,2,在时刻,t,，,有病人数为,),(,t,Ni,，,病人数变为,),(,t,t,Ni,D,+,，,每个病人每天可使,),(,t,s,l,个健康者变,成病人,.,故每天共有,),(,),(,t,i,t,Ns,l,个健康者被,感染，,那么,Ni,的增量就变为,Nsi,l,；,（,1,）,在,即,Nsi,dt,di,N,l,=,又由假设,1,和设,0,=,t,时的比例,0,i,，则,得到模型,建模,求解,Logistic,模型,1/2,t,m,传染病高潮到来时刻,t,m,(,日接触率,),t,m,病人可以治愈！,?,1/2,1/2,1/2,1/2,3.,模型的分析讨论,由式,(4.3),、,(4.4),及图,4-1,可知,:,(1),当,时，,达到最大值,，这个时刻为,(4.5),这时病人人数增加得最快，预示着传染病高潮的到来，是医疗卫生部门关注的时刻,.,t,m,与,成反比，因为日接触率,表示该地区的卫生水平，,越小卫生水平越高，所以改善保健设施，提高卫生水平可以推迟传染病高潮的到来,.,(2),当,t,时，,i,1,，即所有人终将被感染，全变为病人，这显然不符合实际情况，其原因是模型中没有考虑到病人可以治愈,.,4.2,模型,SIS,模型,有些传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很低，可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变为健康者，健康者还可以再被感染变为病人，我们就这种情况建立的模型称为,SIS,模型,.,1.,模型的假设,SIS,模型的假设条件,(1),、,(2),与,SI,模型的假设相同，增加的条件,(,即条件,(3),为,:,(3),病人每天被治愈的占病人总数的比例为,，称为日治愈率，病人治愈后成为仍可被感染的健康者，则是这种传染病的平均传染期,.,2.,模型的建立与求解,考虑到假设,(3),，,SI,模型的式,(4.1),应修正为：,(4.6),式,(4.2),不变，于是式,(4.3),应改为：,(4.7),方程,(4.7),的解可表示为：,(4.8),3.,模型的分析讨论,定义,(4.9),注意到,和 的含义可知，,是一个传染期内每个病人的有效接触的平均人数，称接触数，由式,(4.8),和,(4.9),容易得到，当,t,时，,(4.10),根据式,(4.8),(4.10),可以画出,i,(,t,),t,的图形如图,4-2,所示,.,接触数,1,是一个阈值，当,1,时病人比例,i,(,t,),越来越小，最终趋于零，这是由于传染期内经有效接触从而使健康者变为病人的人数不超过原来病人人数的缘故；当,1,时，,i,(,t,),的增减性取决于,i,(0),的大小，但其极限值,i,(),1,1,随,的增加而增加,.,SI,模型可视为本模型的特例,.,4.3,模型,SIR,模型,1.,模型的假设,大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力，所以治愈后的人既非健康者,(,易感染者,),也不是病人,(,已感染者,),，他们已经退出传染系统,.,这种情况下的模型假设条件为：,(1),人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者,(Removed),三种，称,SIR,模型,.,三类人在总人数,N,中所占的比例分别为,s,(,t,),、,i,(,t,),和,r,(,t,),；,(2),病人的日接触率为,，日治愈率为,，,/,.,2.,模型的建立与求解,由条件,(1),，有,s,(,t,),i,(,t,),r,(,t,),1(4.11),根据条件,(2),，方程,(4.6),仍成立,.,对于病愈免疫的移出者而言，应有,(4.12),再记初始时刻的健康者和病人的比例分别是,s,0,(0),和,i,0,(0)(,不妨设移出者的初始值,r,0,0),，则由式,(4.6),、,(4.11),和,(4.12),，,SIR,模型的方程可以写为：,(4.13),方程,(4.13),无法求出,s,(,t,),和,i,(,t,),的解析解，我们转到相平面,s,i,上来讨论解的性质,.,相轨线的定义域,(,s,，,i,),D,应为：,D,(,s,，,i,)|,s,0,，,i,0,，,s,i,1(4.14),在方程,(4.13),中消去,d,t,，并利用式,(4.9),，可得,(4.15),容易求出方程,(4.15),的解为：,(4.16),则在定义域,D,内，相轨线如图,4-3,所示,.,图中箭头表示了随着时间,t,的增加,s,(,t,),和,i,(,t,),的变化趋向,.,图,4-3,3.,模型的分析讨论,下面根据式,(4.13),、,(4.16),和图,4-3,分析,t,时,s,(,t,),、,i,(,t,),和,r,(,t,),的变化情况,(,它们的极限值分别记作,s,，,i,和,r,).,(1),首先，由式,(5.4.13),，,，而,s,(,t,)0,，故,s,存在；由式,(5.4.12),知，,，而,r,(,t,)1,，故,r,存在；再由式,(5.4.11),知,i,存在,.,其次，若,i,0,，则由式,(4.12),，对于充分大的,t,，有,，这将导致,r,，与,r,存在相矛盾,.,故不论初始条件,s,0,，,i,0,如何，病人终将消失，即,i,0(4.17),从图,4-3,上看，不论相轨线从,p,1,或从,p,2,出发，它终将与,s,轴相交,.,(2),最终未被感染的健康者比例是,s,，在式,(4.16),中令,i,0,，得到,s,是方程,(4.18),在 内的单根，在图,4-3,中,s,是相轨线与,s,轴在 内交点的横坐标,.,(3),若,，则,i,(,t,),先增加，当,时，,i,(,t,),达到最大值,然后,i,(,t,),减小且趋于零，,s,(,t,),则单调减小至,s,.,(4),若,，则,i,(,t,),减小且趋于零，,s,(,t,),则单调减小至,s,.,可以看出，如果仅当病人比例,i,(,t,),有一段增长的时期才认为传染病在蔓延，那么 是一个阈值，当,时传染病就会蔓延,.,而减小传染期接触数,，即提高阈值 ，使得,，传染病就不会蔓延,(,健康者比例的初始值,s,0,是一定的，通常可认为,s,0,1),，我们注意到在,中，人们的卫生水平越高，日接触率,越小，医疗水平越高，日治愈率,越大，于是,越小，所以提高卫生水平和医疗水平有助于控制传染病的蔓延,.,从另一方面看，,是传染期内一个病人传染的健康者的平均数，称为交换数，其含义是一个病人被,s,个健康者交换,.,所以当,，即,s,0,1,时，必有,s,1.,既然交换数不超过,1,，病人比例,i,(,t,),绝不会增加，传染病就不会蔓延,.,我们看到在,SIR,模型中接触数,是一个重要参数,.,可以由实际数据估计，因为病人比例的初始值,i,0,通常很小，在式,(4.18),中略去,i,0,可得,(4.19),于是当传染病结束而获得,s,0,和,s,以后，由式,(4.19),能算出,.,另外，对血样作免疫检验也可以根据对检验无反应和有反应，估计出,s,0,和,s,，然后计算,.,4.,模型验证,本世纪初在印度孟买发生的一次瘟疫中几乎所有病人都死亡了,.,死亡相当于移出传染系统，有关部门记录了每天移出者的人数，依此实际数据，,Kermack,等人用这组数据对,SIR,模型作了验证,.,首先，由方程,(4.11),、,(4.13),可以得到,(4.20),(4.21),当,时，取式,(4.21),右端,e,r,泰勒展开的前,3,项，在初始值,r,0,0,下的解为：,(4.22),其中,.,从式,(4.22),容易算出,(4.23),然后取定参数,s,0,、,等，画出式,(4.23),的图形，如图,4-4,中的曲线，实际数据在图中用圆点表示,.,可以看出，理论曲线与实际数据吻合得相当不错,.,图,4-4,5.SIR,模型的应用,下面介绍,SIR,模型的两个应用,.,1),被传染比例的估计在一次传染病的传播过程中，被传染人数的比例是健康者人数比例的初始值,s,0,与,t,的极限值,s,之差，记作,x,，假定,i,0,很小，,s,0,接近于,1,，由式,(4.18),可得,(4.24),取对数函数泰勒展开的前两项有,(4.25),记,，,可视为该地区人口比例超过阈值的部分,.,当,时式,(4.25),给出,(4.26),这个结果表明，被传染人数比例约为,的,2,倍,.,对一种传染病，当该地区的医疗和卫生水平不变，即,不变时，这个比例就不会改变,.,而当阈值提高时，,减小，于是这个比例就会降低,.,2),群体免疫和预防根据对,SIR,模型的分析，当,时传染病不会蔓延,.,所以为制止蔓延，除了提高卫生和医疗水平，使阈值变大以外，另一个途径是降低,s,0,，这可以通过如预防接种使群体免疫的办法做到,.,忽略病人比例的初始值,i,0,，有,s,0,1,r,0,，于是传染病不会蔓延的条件,可以表示为,:,(4.27),这就是说，只要通过群体免疫使初始时刻的移出者比例,(,即免疫者比例,),r,0,满足式,(4.27),，就可以制止传染病的蔓延,.,这种办法生效的前提条件是免疫者要均匀分布在全体人口中，实际上这是很难做到的，据估计在印度等国天花传染病的接触数,5,，由式,(4.27),知至少要有,4/5,的人接受免疫才行,.,据世界卫生组织报告，即使花费大量资金提高,r,0,，也因很难做到免疫者的均匀分布，使得天花直到,1977,年才在全世界根除,.,而有些传染病的,更高，根除就更加困难,.,模型,3,传染病无免疫性,病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染,增加假设,SIS,模型,3,）病人每天治愈的比例为,日,治愈率,建模,日接触率,1/,感染期,一个感染期内,每个病人的有效接触人数，称为,接触数,。,模型,3,i,0,i,0,接触数,=1,阈值,感染期内,有效接触感染的健康者人数不超过病人数,1-1/,i,0,模型,2(SI,模型,),如何看作模型,3(SIS,模型,),的特例,i,di/dt,0,1,1,0,t,i,1,1-1/,i,0,t,1,di,/,dt,1/,i,(,t,),先升后降至0,P,2,:,s,0,1/,i,(,t,),单调降至0,1/,阈值,P,3,P,4,P,2,S,0,SIR,模型,预防传染病蔓延的手段,(,日接触率,),卫生水平,(,日,治愈率,),医疗水平,传染病不蔓延的条件,s,0,1/,的估计,降低,s,0,提高,r,0,提高阈值,1/,降低,(=,/,),群体免疫,模型检验,医疗机构一般依据,r(t),来统计疾病的波及人数，从广义上理解，,r(t),为,t,时刻已就医而被隔离的人数，是康复还是死亡对模型并无影响。,由模型（,12)(14),计算可得：,SIR,模型,可计算出方程（,24,）的近似解,曲线,在医学上被称为疾病传染曲线。,右图给出了上式曲线的图形，可用医疗单位每天实际登录数进行比较拟合得最优曲线。,图,10,（见,P143,）记录了,1905,年下半年至,1906,年上半年印度孟买瘟疫大流行期间每周死亡人数，不难看出两者有较好的一致性。,SIR,模型,被传染人数的估计,记被传染人数比例,x,s,0,i,0,P,1,i,0,0,s,0,1,小,s,0,1,提高阈值,1/,降低,被传染人数比例,x,s,0,-,1/,=,综上所述，模型,4,指出了传染病的以下特征：,（,1,）当人群中有人得了某种传染病时，此疾病并不一定流传，仅当易受感染的人数与超过阀值时，疾病才会流传起来。,（,2,）疾病并非因缺少易感染者而停止传播，相反，是因为缺少传播者才停止传播的，否则将导致所有人得病。,（,3,）种群不可能因为某种传染病而绝灭。,第一：对问题不断深入研究后，针对不同情况,逐步修改假设，是模型逐渐符合实际；,第二：较全面的研究了传染病的几个问题；,第三：建模过程中计算机技术和建模方法结合 使用。,模型的评价,