第六节行列式按行(列)展开.pdf

线 性 代 数中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations第一章行列式第一章行列式张 奎张 奎中国劳动关系学院中国劳动关系学院Email:zhangkui6线 性 代 数中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations第一章行列式第一章行列式第一章第一章线 性 代 数中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations第一章行列式第一章行列式第六节行列式按行(列)展开第六节行列式按行(列)展开一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式二、行列式按行(列)展开法则二、行列式按行(列)展开法则三、小结思考题三、小结思考题线 性 代 数中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations第一章行列式第一章行列式,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa+=333231232221131211aaaaaaaaa例如例如()3223332211aaaaa=()3321312312aaaaa+()3122322113aaaaa+333123211333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa+=+=一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式线 性 代 数中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations第一章行列式第一章行列式在阶行列式中，把元素所在的第行和第列划去后，留下来的阶行列式叫做元素的在阶行列式中，把元素所在的第行和第列划去后，留下来的阶行列式叫做元素的余子式余子式，记作，记作nijaij1 nija.Mij()()，记，记ijjiijMA+=1叫做元素的叫做元素的代数余子式代数余子式ija例如例如44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD=44424134323114121123aaaaaaaaaM=()()2332231MA+=.23M=线 性 代 数中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations第一章行列式第一章行列式,44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD=,44434134333124232112aaaaaaaaaM=()()1221121MA+=.12M=,33323123222113121144aaaaaaaaaM=()().144444444MMA=+.个代数余子式对应着一个余子式和一行列式的每个元素分别个代数余子式对应着一个余子式和一行列式的每个元素分别线 性 代 数中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations第一章行列式第一章行列式引理引理一个阶行列式，如果其中第行所有元素除外都为零，那末这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即一个阶行列式，如果其中第行所有元素除外都为零，那末这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即ijijAaD=niijaija44434241332423222114131211000aaaaaaaaaaaaaD=()().14442412422211412113333aaaaaaaaaa+=例如例如线 性 代 数中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations第一章行列式第一章行列式证证当位于第一行第一列时当位于第一行第一列时,ijannnnnaaaaaaaDLMMMLL21222211100=即有即有.1111MaD=又又()1111111MA+=,11M=从而从而.1111AaD=在证一般情形在证一般情形,此时此时线 性 代 数中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations第一章行列式第一章行列式第一章行列式第一章行列式nnnjnijnjaaaaaaaDLLMMMLLMMMLL1111100=,1,2,1行对调第行第行行依次与第的第把行对调第行第行行依次与第的第把 iiiD()()得得nnnjnnijiiijiaaaaaaaDLLMMMLLMMMLL1,1,11,11001=ijaija线 性 代 数中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations第一章行列式第一章行列式,1,2,1对调列第列第列列依次与第的第再把对调列第列第列列依次与第的第再把 jjjD得得()()()()nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaDLLMMMLLMMMLL1,11,1,1110011=ija线 性 代 数中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations第一章行列式第一章行列式()()nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaLLMMMLLMMMLL1,11,1,12001+=()()nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaLLMMMLLMMMLL1,11,1,1001+=ijaija线 性 代 数中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations第一章行列式第一章行列式nnnjnijnjaaaaaaaDLLMMMLLMMMLL1111100=中的余子式=中的余子式.ijM在余子式仍然是中的在行列式元素在余子式仍然是中的在行列式元素ijnnjnnjnijijiijijaaaaaaaaaLLMMMLLMMMLL1,11,1,100ijaija线 性 代 数中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations第一章行列式第一章行列式故得故得()()nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaDLLMMMLLMMMLL1,11,1,1001+=().1ijijjiMa+=于是有于是有nnjnnjnijijiijaaaaaaaLLMMMLLMMMLL1,11,1,100,ijijMa=ijaija线 性 代 数中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations第一章行列式第一章行列式定理定理行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即ininiiiiAaAaAaD+=L2211()ni,2,1L=证证nnnniniinaaaaaaaaaDLLLLLLLLLLLLLL212111211000000+=+=二、行列式按行（列）展开法则二、行列式按行（列）展开法则二、行列式按行（列）展开法则二、行列式按行（列）展开法则线 性 代 数中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations第一章行列式第一章行列式nnnninaaaaaaaLLLLLLLLLLL2111121100=nnnninaaaaaaaLLLLLLLLLLL2121121100+nnnninnaaaaaaaLLLLLLLLLLLL211121100+ininiiiiAaAaAa+=L2211()ni,2,1L=线 性 代 数中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations第一章行列式第一章行列式例例例例1 13351110243152113=D03550100131111115()312 cc+34cc+解解解解D线 性 代 数中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations第一章行列式第一章行列式0551111115)1(33=+0550261155526)1(31=+5028 =.40=12rr+线 性 代 数中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations第一章行列式第一章行列式证证证证用数学归纳法用数学归纳法21211xxD=Q12xx =,)(12=jijixx）式成立时（当）式成立时（当12=n例例例例2 2证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式=1112112222121).(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxDLMMMLLL)1(线 性 代 数中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations第一章行列式第一章行列式，阶范德蒙德行列式成立）对于假设（，阶范德蒙德行列式成立）对于假设（11 n)()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxDnnnnnnnnn=LMMMMLLL就有提出，因子列展开，并把每列的公按第就有提出，因子列展开，并把每列的公按第)(11xxi 线 性 代 数中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations第一章行列式第一章行列式)()()(211312jjininnxxxxxxxxD =L).(1jjinixx =223223211312111)()(=nnnnnnxxxxxxxxxxxxLMMMLLLn-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式线 性 代 数中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations第一章行列式第一章行列式 1 形式形式:按升幂排列,幂指数成等差数列按升幂排列,幂指数成等差数列.2 结果结果:可为正可为负可为零可为正可为负可为零.3 共共n(n-1)/2项的乘积项的乘积.对于范德蒙行列式,我们的任务就是利用它计算行列式,因此要牢记范德蒙行列式的形式和结果.对于范德蒙行列式,我们的任务就是利用它计算行列式,因此要牢记范德蒙行列式的形式和结果.你能识别出范德蒙行列式吗？你能识别出范德蒙行列式吗？你会用范德蒙行列式的结果做题吗？你会用范德蒙行列式的结果做题吗？关于范德蒙行列式注意以下三点关于范德蒙行列式注意以下三点线 性 代 数中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations第一章行列式第一章行列式如：如：6427181691443121111=D)34)(14)(13)(24)(23)(21(=12=11114321)4()3()2()1()4()3()2()1(22223333=aaaaaaaaaaaaD?6416412793111118421=D12又如：又如：线 性 代 数中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations第一章行列式第一章行列式33332222)4()3()2()1()4()3()2()1(43211111=aaaaaaaaaaaaD33332222)1()2()3()4()1()2()3()4(12341111=aaaaaaaaaaaa!1!2!3=12=线 性 代 数中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations第一章行列式第一章行列式推论推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即.ji,AaAaAajninjiji=+02211L,11111111nnnjnjininjnjnjjaaaaaaaaAaAaLMMLMMLMMLL=+=+证证行展开，有按第把行列式行展开，有按第把行列式jaDij)det(=线 性 代 数中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations第一章行列式第一章行列式,11111111nnniniininjninjiaaaaaaaaAaAaLMMLMMLMMLL=+=+可得换成把可得换成把),1(nkaaikjkL=行第行第 j行第行第 i,时当时当ji ).(,02211jiAaAaAajninjiji=+L同理同理).(,02211jiAaAaAanjnijiji=+L相同相同线 性 代 数中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations第一章行列式第一章行列式关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质=;,0,1jijiDDAaijnkkjki当当当当 =;,0,1jijiDDAaijnkjkik当当当当 =.,0,1jijiij当，当其中当，当其中线 性 代 数中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations第一章行列式第一章行列式例例例 计算行列式例 计算行列式277010353 =D解解解解27013=D.27=按第一行展开，得按第一行展开，得27005+77103+线 性 代 数中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations第一章行列式第一章行列式0532004140013202527102135=D例例例 计算行列式例 计算行列式解解解解0532004140013202527102135=D线 性 代 数中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations第一章行列式第一章行列式66027013210=()()6627210=().1080124220=53241413252()()53204140132021352152=+13rr+)122 rr+线 性 代 数中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations第一章行列式第一章行列式1.行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.=;,0,.21jijiDDAaijnkkjki当当当当 =;,0,1jijiDDAaijnkjkik当当当当 =.,0,1jijiij当，当其中当，当其中三、小结三、小结三、小结三、小结线 性 代 数中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations第一章行列式第一章行列式思考题思考题阶行列式设 阶行列式设nnnDnLMOMMMLLL00103010021321=求第一行各元素的代数余子式之和求第一行各元素的代数余子式之和.11211nAAA+L线 性 代 数中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations第一章行列式第一章行列式思考题解答思考题解答解解第一行各元素的代数余子式之和可以表示成第一行各元素的代数余子式之和可以表示成nAAA11211+LnLMOMMMLLL001030100211111=.11!2 =njjn