1、对几个矩阵不等式的探讨及应用
任德耀 指导老师:李建华
(河西学院数学与应用数学专业届班号, 甘肃张掖 )
摘要 本文主要对几个矩阵不等式给出证明,并给出具体例子说明这几个矩阵不等式在证明题中的的应用.
关键词 矩阵不等式 正定矩阵 对称矩阵
中图分类号 .
1 引言
矩阵是数学研究及其应用的一个重要工具,在数学学科和许多科学领域都有广泛的应用.而矩阵不等式在近些年来引起了许多学者的兴趣,一些经典不等式在矩阵中的推广及应用更是成为研究的热门问题.本文对几个矩阵不等式进行了深入研究,主要目的是给出了几个不等式的证明，并将其运用到证明题中.今后还将更深入的对
2、矩阵不等式进行研究.
2 预备知识
引理 设,则存在矩阵与,(即列无关,行无关),使.
引理 设均为正数，则
当且仅当时，等号成立.
引理 设正定，为对称矩阵，则存在可逆矩阵，且，使得
其中.
引理 设是阶正定实对称矩阵,则对任意的正数有
等号成立当且仅当
3 对几个矩阵不等式的证明
定理 设依次为矩阵，则.
证明 由分块矩阵的初等变换知
又初等变换不改变分块矩阵的秩及引理1，知：
从
3、而 .
定理2 设正定，，则
（1）
当且仅当时等号成立.
证明 因正定，有引理3知，存在可逆矩阵，且，使得
（2）
其中,因此
（3）
又因
于是不等式（1）等价于
由已知条件及引理2知（3）式成立，从而定理得证，等号成立的条件是：当且仅当（3）式等号成
4、立，即有 ，代入（2），得
即
在（1）中令，即得（1）.
推论 设正定，则
当且仅当时，等号成立.
定理 设为阶正定实对称矩阵,则对任意正数有
当时,等式成立当且仅当,当时,等式成立当且仅当
证明 当时,由引理4得证
当时,设为正数且则
上式中的为阶单位矩阵,因为是阶正定实对称矩阵,所以
5、
实质为阶正定实对称矩阵,而,所以
即, ,证毕.
推论 设阶正定实对称矩阵，则
当时,等式成立当且仅当.当时,等式成立当且仅当
证明 用归纳法，当时显然成立.假设当时已成立，则当时有
即当时成立，得证.
4 几个矩阵不等式的应用
例1 设都是矩阵，证明：若，那么.
证明 由，于是以，由定理1得
.
例2 设是三个阶方阵，证明：若，则.
证明 由和
6、定理1知
另一方面
故 .
例3 求证：对满足条件的所有实数及有不等式
成立，并求出等号成立的条件.
证明 由题设知，2阶实矩阵
是正定的，且原不等式等价于
由推论1有
即
故原不等式成立，当且仅当，即时，等号成立.
例4 证明不等式
证明 取为一阶矩阵，则，由推论2
得到
两
7、边平方得
得证.
5 小结
本文对三个矩阵不等式进行了研究，证明了三个矩阵不等式在一定条件下成立，并得出其推论.然后又将三个矩阵不等式或其推论运用到证明题中，充分说明了该矩阵不等式的存在和成立.本文只是对三个矩阵不等式进行了研究，不具备代表性，未来还将对更多的矩阵不等式进行更深入的研究.
参 考 文 献
[1]王莲花,梁保松.不等式的一个证明及其应用.安阳师范学院学报[J]，2004(5).
[2]方献亚.正定实对称矩阵的几个不等式.数学通报[J],1985(3).
[3]郑维英.一个矩阵不等式的改进及应用.鞍山钢铁学院学报[J],2000(5).
[4]胡海清.线性代数解题分析[M].长沙：湖南科学技术出版社,1985.
[5]王松桂，吴密霞，贾忠贞.矩阵不等式（第二版）[M].北京：科学出版社,2006.
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