小题压轴题专练8-椭圆(1).docx

小题压轴题专练8一椭圆（1）
一、单选题22
1.如图，椭圆土崖疣l（a>b>0）的两焦点为Fi, Fz，长轴为A1A2,短轴为B&.若 a2 b2
以F1F2为直径的圆内切于菱形A1B2A2&，切点分别为A, B，C, D,则菱形
的面积Si与矩形ABCD的面积Si的比值为（）A

A
•零3
B.*
C.
D.

解：由题意可知菱形A\B2AiB\的面积S\=2ab,
设矩形 ABC。中，|8C|=2〃，\AB\=2m,易知△ A\OB\ 和左DF\O 相似，则be

be
b n又因为 |OD|2 = c2 =,可得〃7 =ac , n =,
所以矩形ABCD的面积S户4皿=普兴：,'a2+b2
. S1 a2+b2 a2 1
因为 OO_LA|Bi,可得 ab=c^j^2b1=a2 - c2,即/ - 3a1c1+c4=0,故选：c.

9. 己知椭圆弓+卜的左、右顶点分别"B, F为椭圆C的右焦点，圆孔),2=9上有一动点户，户不同于A, B两点，直线以与椭圆C交于点Q , kj, k?分别为直线HP,
QF的斜率则&的取值范围是()k,
A, (-°°，W)o
3
C.(-气)22
解：椭圆C:土 +匕=1的焦点在X轴上，"=3, b = 2yfi, c = l,右焦点"(1,0),98
由户在圆^+),2=9上则PA.LPB,1
则5=-1，则4=-!，# =幸KAP K2 K2
设03蝴，2国M),则5 =；籍二8-8cy?s‘Q
9cos20 + 6 cos。一 3 9cos20 + 6 cos。一 3设，= cos。，/c(-IJ),则幻坎二与土，= —
"-9z2+6r-3 k28尸一88 4(r-l)
b2
(x + a), a(a + c)
,2>2
令工=0,则)，=——，.•MO,/—), a+ca+c
直线的方程为、=——-—(x-a),
a(ci + c)
直线PP的方程为x = c , 点N(c,
b2(a-c)^,
a(a + c)
VZe(-11) > /./-I e(-2,0) > —e(-oo,--), /. — e(-coT-),且不等于 0. r-12 右 4
故选：D.
10. 己知O为坐标原点，A, B分别是椭圆。:二+二=1(“>/?>0)的左，右顶点，抛物线 a bEiy2 = 2 px(p>0)与椭圆C在第一象限交于点P,点P在x轴上的投影为P，,且有
()p)击同* (其""的连线与，轴交于点m酗与冲的交点n恰为
PP的中点，则椭圆C的离心率为()
A.立
B.勿
C.-
D.-
2
2
3
3
解：由户在X轴上的投影为F,且有异.史-=clOP'l
22>2可得户的横坐标为C, •. ； +土 = 1, ." = 土工, a~ b~a
抛物线£:/= 2px(p>0)与椭圆C在第一象限交于点P
.2/. P(C—) > •.•A(-aO)，削。,0), .••直线必的方程为

b2
•.•N恰为 PP'的中点，:.2xbAa~C)
a{a + c) a整理可得" = 则弋4
二、多选题椭圆C:j +），2=1的左、右焦点分别为F、, F2, O为坐标原点，则以下说法正确的是（ ）
A. 过点的直线与椭圆C交于A , 8两点，则MB%的周长为8
B. 椭圆C上存在点P,使得PF；・PF； = （）
C. 椭圆C的离心率为！
2
D. 尸为椭圆C上一点,。为圆x2+y2=l± 一点，则点P, Q的最大距离为3解：对于选项A：由椭圆定义可得：|A% + |A%|=|84I + |86|=2q = 4,因此AA捋的周
长^\AFl\ + \BF2\ + \AB\^AFi\ + \BFl\+\AF2\ + \BF2\=4a = S ,所以选项A正确;对于选项B：设P（m,n）,则普+ 〃2=[,且_2鼬？ 2,又鸟（项,0） , %危,0）, 所以 PFj = （一 -nu -n）, PF? = （,
因 11 匕地= （—后一"1）（0一 〃 7）+ 〃2=,〃2+1一号一3 =牛一2 = 0,解得〃?=炎&司一2, 2],故选项B正确；
3对于选项C：因为/=4, b2=\,所以c2=a2-b2=3,即c =后,所以离心率e = - = ^~, a 2
所以选项C错误；对于选项。：设P3 , y,）,则点户到圆x2+y2 = l的圆心的距离为
I P。1= Jy + y/ = SM + k = $-3y；, 因为-啜h I,所以|PQL,心=|PO|,心+1 =也3 + 1=3,所以选项。正确，
故选：ABD.
2 2已知椭圆C:「+ 土 = 1（〃＞。＞0）的左、右焦点分别为鸟、F,,左、右顶点分别为4、 a~ b~
A2, P为椭圆C上异于A” &的任一点，则下列结论正确的有（）
A. 椭圆C与椭圆C'一+」一=1有相同的焦点E+1 屏+1
B. 直线V，外的斜率之积为-£•
C. 存在点P满足|辫|・|P%|=2疽
D. 若左PF\D为等腰直角三角形，则椭圆C的离心率为g或75-1解：选项A：在椭圆中由半焦距的求法可得：E_〃=3 + ］）_（/ + ［）,故A正确，
选项 8：由己知 A （-。,0）,人2（。,0）,设 P（x,y）,则％

则％
左，所以kpk叫
,故B正确,
选项C：由椭圆的定义可得I PP； I +1 P但1= 2“..2j|P%|Pg|,
所以IPgllP&l,,/,当旦仅当| PF. |=| PF21时取等号,故C错误，选项。：若P为直角顶点，则有Sa = 2c ,所以离心率e = - = —, a 2
若点4或F，为直角顶点，|P4l=^ = 2c,则离心率e = V2-l,故。正确, a故选：ABD.

11. 我们通常称离心率是的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆 2
22C:=+ 4 = 1（。＞人＞0） , A，A,, B\,勺分别为左、右、上、下顶点，氏，凡分别为左、 a~ b~
右焦点，P为椭圆上一点，下列条件中能使椭圆C为“黄金椭圆”的是（）

A. \AiF[\-\F2A2 H^l2
B. =90°
C. PF}Lx轴，且 PO/M2B,
D. 四边形鸟的内切圆过焦点乌，F2解：由椭圆 C:二 + 七=1(。">0),可得 A(-a,0), A,(“,0), %0,b), 0(0")，已(-c,0), a~ h~
W，°)，对于A，IA氏II凡A闩氏尺F，即为（。一 c）J（2c）2,所以a-c = 2c,即e = -=~,不符 a 3
题意，A错误;对于 B,若 4鸟&=90。,贝即(a + c)2=a2+(a2+b2),所以
c2 +ac-a2 =0 ,即有?+^-l = 0,解得《=吏二1（土吏舍去），符合题意，小正确；
22,2
对于C,若PFt lx轴，且PO//A耳，所以P（-c,—）, a£
由kpo=k.«B，可得—,解得b = c,又cr - b~ 4- c2,所以e = 2 = _^_ =豆，不符题-c -aa J 2c 2
意,故C错误；对于。，若四边形4坊4气的内切圆过焦点已，f2,
即四边形的内切圆的半径为c,则ab = c>la2+b2 ,结合b2=a2-c\所以疽-3。2子+次=0,即『_3决+1=0,解得疽=2±匝（舍去）或-2=四2虫，所以
22。=吏三，故。正确.
2故选：BD.
12. 我们通常称离心率为9E 的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆 2
乂2 \，2C:- + ^- = \（a>b>0） , A，A,,再,玖为顶点、,4，F,为焦点，户为椭圆上一点，满 6T b"
足下列条件能使椭圆C为黄金椭圆”的有（）

A. |侦|, |昭|, I&4J为等比数列
B. 匕已气人2=9。°
C. PF. ± a轴，且 PO/ jA、B\
D. 四边形AMBi的内切圆过焦点《，F2解：A中若成等比数列则(2c)2 = (« - c)(a - c),即2c = a-c或2c = c-々(舍)，解得：
£ =所以人不正确；a 32
B若匕氏8』2=90。，则由射影定理可得：OB~ = Fp.OA2,即 b2 = ca > 所以 c2 +ac-a2 = 0 f 即芝+。一 1=(), e-e (0,1),
解得。=足1；所以B正确；2
、 £C若PFt±x轴，如图可得P(-c±—),又PO//XB,，则斜率相等，所以-^-=—,即8 = c, a"-c -a
_b^或一土 =-力，显然不符合，
-c所以e = £ =、°=虫,所以C不正确；
a Jc2+c2 2。，因为四边形为菱形，若命题正确则内切圆的圆心为原点，由圆的对称性可知，
圆心到直线人古的距离等于c,因为直线& 的方程为：4 +】=1 ,即版+此一泌=0 ,所以原点到直线的距离〃 =■ ab , a b\ja2 +b2
由题意知：.ab =c,又b2 =a2-c2,整理得：/(后一亍)*?©/-/), 4-3/+]=(), sla2+b2^2e(0,l),解得*=2Z史.，所以。=2三匝=冬1,所以。正确，
2V 22故选：BD.

三、填空题2
13. 己知氏，E是椭圆C:& +)，2=1(“> 1)的两个焦点，且椭圆上存在一点尸，使得/F" 上,若点心，N分别是圆£>:J+(),_3)2=3和椭圆C上的动点，则当椭圆C的 3
离心率取得最小值时，|初V| +1昭|的最大值是_4 + 3^3_.
解：如图，当动点尸在椭圆长轴端点处沿椭圆孤向短轴端点运动时，户对两个焦点的张角』F\PF,渐渐增大，当且仅当户点位于短轴端点e处时，
张角匕氏P%达到最大值.
由椭圆上存在一点P,使得ZF\PF广气,可得△ 怙灼中，.色，可得Rt A P()OF2中，匕。£)外..4,
3 3
sinZO^/s.-sin —=—, 即f..羽，32 ci 2
椭圆离心率e的最小值为虫■，由b = 1，a2 —c2 =1 , — =>解得ci = 2 , c = J5 ,2a 2
I员I。: / + (,_3尸=3 的圆心 D(0,3),半径 r = y/3 ,明 | + | 昭 |=2" = 4, |"| + |昭|=4+|协|"片 |, 而|初V|-|M[|的最大值，可求|ON|-|%|的最大值,
当。，K，N共线时，| MN)TNF」取得最大值4 + V5+|D/:；|=4 +占+ 2后=4 + 3占, 故答案为：4 + 3后.

14. 己知过椭圆E：y + y2 =1的左焦点尸的直线/交厅于A, B两点，则\AF\+2\BF\的最 小值为_1+巫 解：如图，由椭圆E:亍+= |,得〃 =>/2 , Z? = 1,则c = 1.
所以左焦点F的坐标为(-1,0),设直线/的方程为工=叫，-1,人3 , )\), 8(*2，刈)，
x = my 一 1由，/,得("广 + 2)>'2 - 2mv -1 = 0,
—+)广=1
2 -△ = (-2m)2 + 4(m2 + 2) = 8(m2 +1),
*+2
由根与系数的关系得％ + y2 =—t——，)以=-22响"”2照）=（点+点）（"叫町）=3 +盗+箫..3 + 2仰希1 箫=3 + 2〃
当且仅当I AF |=V2 |BF|时等号成立,所以|时|+2|欧|..•嘿L1 +字
所以|AF|+2|BF|的最小值^1 + —4
故答案为："孕.
15. 己知椭圆方程为：—+ /=1 ,仙为椭圆过右焦点F的弦，则|AF|+2|必|的最小值4
解：由『y如，得心，7,则椭圆的离心率"争右准线方程为小=半 如图’过人作初金于协则揣蝉，① 设旭的倾斜角为。， 则\AM\=\CF\-\AF\cos0 = ^--j3-\AF\cosO = ^—\AF\cos0,②联立①②，可得\AF\= —同理可得|时|=———，
2 + V3cos6>2-V3cos<94-3cos20

4-3cos20
.•.| af | +21 BF |=—辛—+ —手—2 -后5 4 + 2&0S。 2 +V3 cos 6^ 2-j3cos0
6 + V5cosO
4一3。骚,解得哙芋或者#易堕
C 乙C 乙

解得哙芋或者#易堕
C 乙C 乙
.a2 3屿
• • 二
22
c 乙

31 I匝
• •= 1 4*-—
s2 2
故选：D.
2.如图，己知白纸上有一椭圆C,它焦点为4，F2,长轴A4，短轴B、Bz，P是椭圆上一点，将白纸沿直线4用折成90。角，则下列正确的是（ ）
①当尸在B| （或％）时，PF】+ P灼最大.
②当p在A （或人）时，pf, + pf2最小.

A. ®®B.①C. ®D.都不正确解：设翻折前椭圆方程为：马+ £ = 1，
a' b~如图所示建立空间直角坐标系，根据对称性，不妨设P（O,/?cos^,^sin0,^G[O,y],
F«c, 0, 0） , F2（0 ,0, c） >贝ij PFX + PF2 = Vc2 +b2 cos2 0 + a2 sin^ +cos'。+ （"sin、- c）?
=\]a2 +c2 sin2 0 ++/ sin? 0- 2t\sin8 = \/a2 +c2 sin2 0 +。- csin。,令cosO = t, /e[-l > 1],.E0F"滂、,削盘％_3广%日2
6 + V3/
1 34-2^2aoA
2寸（6+四）.6；云+12当且仅当6 + V3r = —即1 = 4店-6占时上式取等号.
6 + >/3/33 + 2〃
~1~

3 + 2〃
~1~
.WI+2例的最小值为半.
故答案为:
18-已知椭圆C令身B3的左、右焦点分别为〜&点p为椭圆c上不与左 右顶点重合的动点，设/, G分别为△ Pg命的内心和重心.当直线/G的倾斜角不随着点尸的运动而变化时，椭圆c的离心率为」或!
解：当直线/G的倾斜角不随着点P的运动而变化时，取P特殊情况在上顶点时，内切圆的 圆心在y轴上，重心也在），轴上， 由此可得不论尸在何处，GI始终垂直于x轴或平行于x轴, ⑺设内切圆与边的切点分别为Q, N, A,如图所示:设P在第一象限，坐标为：（与，丸）连接PO,则重心G在PO上，连接77并延长交X轴于M点，连接3并延长交x轴于N, 则GNlx轴，作所垂直于x轴交于f,
可得重心G（迪，业）所以/的横坐标也为五，|彼|=迪，3333
由内切圆的性质可得，PG = PA, RQ=RN , NL=AF*所以
PFi_PF? = (PQ + QFJ-(PA + AF?) = F]N- NF? = (FQ v ON) -(OF? - ON) = 2ON =骂,而 P4 + P%=2“，所以 /＞片=.+芸 PFi=a_%,
市角平分线的性质可得竺=沮，pf2 mf2
。+迪CM即一 =£±2叫，所以可得om=4,
。-迪 c — °M3。
3所以可得 MN = ON - OM = & -国= d）X , 3 3a 3a
所以僦=彼-彼=与-竺=尝£国，3a 3a
所以井*斜，即心含
•P£ = — c 3a

PF厄=?(PFi + F『2 + PFJ IN =• PE，即^(2« + 2c)~^-.y0=^2c-.y0（ii）若GH/x轴时，设P（&，无），可得重心G（*，乎），/的纵坐标也是号,
由三角形的面积可得：S
pm=；(|P%I + I4%I + |P%I)・|/N|=!|£%|・|PE|,2。％,

2。％,
可得:

所以这时离心乳亏=?

故答案为：捉!.

附加几何思维判断题（填“ J ”或“ X ”）
（）1.若两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线互相平行。
（）2.若两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线互相平行。
（）3.和两条异面直线都垂直的直线是这两条异面直线的公垂线。
（）4.两条直线都平行于同一平面，则这两条直线平行。
（）5.若两平面与同一直线等角，则这两个平面平行。
（）6.若一条直线平行于一个平面，则该直线与平面内所有直线都平行。
（）7.若•条直线与平面中无数条直线都平行，则该直线平行于该平面。
（）8.AB为平面外的线段，若点A、点B到平面的距离相等，则AB平行于平面。
（）9.若-个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等。
）10.若直线a平行于直线b,则a平行于过b的所有平面。
一 ccos。＜ 0 , 侔）2+血2。
故当。=0,即当户在BA
或功）时，PK + PF?最大,
故6» = |时，当P在4（
或人）时，PF}+PF2最小.

设 = yja2 + c2 sin' 0 +。一 csinO ,则广0）=「血如。s。“os。
\la2 +c2 sin2 0故函数单调递减,

3. 己知A0 ,）［）, B（x2 ,力）是椭圆4J+），2=1上两个不同点，且满足4为也+）［），2=!，则|2小+刃一1| + |2邑+力一11的最大值为（）
A. >/6 — 2
B. 4
C. x/6 + 2
D. 2>/6
解：己知人3，）D，Bg，力）是椭圆4亍+ ）,2=1上两个不同点,
则4x(2 += 1,4x22 + y22 = 1,设 2x = m » y = n » Cg, q) ,, %), O为坐标原点,则 0C = (m,,%), OD = (m2,m2),
= 1,〃上？ + ,亍=1 ,且 niyniy + q，?？ = ?,...C、。两点均在圆m2+n2=\的圆上,且ZCOD = 60°,
ACOD为等边三角形且| CD |=1,根据点到直线的距离公式，知旦嵯!二11 +竺亏尸1 =凹*111 +匹带111
为C、。两点到直线x+.y-l = 0的距离《、％之和•
设CD的中点为E, E到直线x +），-1 = 0的距离义,则 4+%=2么” 2(|E0| +

则 4+%=2么” 2(|E0| +
=扼+右,

.•.4+%的最大值为龙+右, •■- 12工［+ 3?| — 11 +1 2x2 + )% -11= '^/2x(x/2 + 73) = >/6 + 2 ,
故选：C.
4. 如图，a , 0 , /是由直线/引出的三个不重合的半平面，其中二面角a-/-/?大小为60。,/在二面角a-1-p内绕直线/旋转，圆C在/内，且圆C在。，，内的射影分别为椭圆。，
G.记椭圆G，G的离心率分别为弓，%,则e；+e；的取值范围是（）
a r1 3、 A-扫解：显然圆在两平面内的射影均为椭圆，且椭圆的长轴都为圆的直径，设圆的直径为2,要
求椭圆的离心率，关键是求出其短轴， 现将问题平面化，如图所示，设AI3=2 ,在平面。内的投影为AA ,在面/?内的投影为总功, 设g = e，如吒），则WH 土 2,则 43= ABcosQ, A/ = 2cos(—-。)，
3所以寸

所以寸
4 = ^ = l-cos^, £ 工=* = 1履(土。)，
a- ara- ar3
I3
sin
则 qj； = l-c。方+1应§-8) = JcoW+=c。方-。血。淑-沙 3gsin 必、"-抑(2。+ 印
因为 Og竺,所以 20 + -e(-,—),贝 lJsin(2^ + -)e(-, I],366662
所以］一扣(20 +族乌，分,故选：C.
N
已知椭圆「：r +J = l(〃>/?>0)内有一定点P(l,l),过点户的两条直线4，/,分别与椭 a' b~
圆「交于人、C和2、。两点，旦满足AP = APC, BP = APD,若人变化时，直线C。的 斜率总为-！，则椭圆「的离心率为()4
A.曳
B.-
C.也
D.直
2
2
2
5
解：设 A（f，））、B（x2 , ），2）、。（工3，y3） ' 割玉，以），由 AP = APC ,即（I -x（, 1 - y\） = A（x3 -1 » y3 -1） > 则 + Ax3 = 1 + 2 » y{ += 1 + 2 >
由 BP = APD ,同理可得：x2 + A.r4 = 1 + 2 , y2 + 2y4 = 1 + A .
则（J| +，2）+ 2（巧 + 力）=（工1 + 工2）+ "（沔 + J），将点A, B的坐标代入椭圆方程作差可得：土2.= 一史空兰_,
为一易 / >1 + >2由题意可得：AB//CD, .•.顷=，3=一\.
则 a2（yt +y2） = 4Z?2（x, +x2）①，同理可得：〃（丹+义）=4/?2（玉+易），
Aa2（y3 + y4） = 4Ab2（x3 +x4）,②① + ②得：a2l（y, + >*2） + A（y3 + 力）1 = 4歹［0 + 易）+ 么凡 + 易）】， /. a21（X］ + x2） + Z（x, + x4）］ = 4b2 ［（为 +功 + 2（x3 + x4）］ >
/. a2 = 4b',
则椭圆的离心率e = f a
V3
2
己知椭圆方■ +方=1（。>人>0）的左、右焦点分别为F” F2,尸为椭圆上不与左右顶点 重合的任意一点，I, G分别为△Pg%的内心和重心，当/G_L#轴时，椭圆的离心率为（
解：如图所示，设P（N>,为），不妨设*>0.
氏(一。,0), E(c,0).

则°（专，号）’*侦轴，设三角形内切圆的半径为,•.
由三角形内切圆的性质可得：:r（2a + 2c） = ?・2可得：PD2+ID2=PI2.
二(。-C)2 + (")2 =(与 尸 + (J'。尸,a+c3a+c
与椭圆g W = 1(。W>0)比较可得：a2=-(a-c)2, a~ b~4
7c \:.a = -(a-c),可得一=—.
5. 设直线/:3x + 4y-6 = 0,椭圆C: —+ /=1,将椭圆C绕着其中心O逆时针旋转90° （旋4
2转过程中椭圆C的大小形状不变，只是位置变化）到与椭圆C':匕+亍=1重合，则旋转过
4程中椭圆C与直线/交于A，B两点,则|A8|的最大值为（）
A. §
B. 73
c. 2
D. 2>/2
5

3

解：由运动的相对性，可把椭圆视为不动，直线/绕原点旋转,
原点到直线/的距离为° ,设直线在旋转过程中的方程为、=々+ 〃?,其中7^h=s'
联立宜线y = kx + m与椭圆C的方程得(* + k?)x2 +2kinx + nf -!=()»△=状 + \-trr

△=状 + \-trr
(Alc-W
25
由弦长公式得\AB\=

由弦长公式得\AB\=
64k2-il 773—
25 •山 +1 二4』(64-尸)(1 + 岸) _■?—~~
4
...I AE司-甲 + 斗+ 16 =

...I AE司-甲 + 斗+ 16 =
2 25 5 —X ——=—
5 6 3

故选：C.
8.已知椭圆G：E + W = l（q>4>0）与双曲线G：M-写=1（"，>。，">°）有相同的焦 缶 b：/ b[
点F], L，点尸是两曲线在第一象限的交点，且在氏户上的投影等于IK「|, q,勺分
别是椭圆q和双曲线G的离心率，贝IJ9祥+e；的最小值是（）
A. 4B. 6C. 8D. 16
解：如图所示，设半焦距为c.
点尸是两曲线在第一象限的交点，且KE在鸟D上的投影等于| *产|,
PF\EPF«
设 | PR |= in , | PF21= n .则 tn + n = 2q , m -n = 2q .
(ni + n)2 -(m-n)222
..inn == a. -ay.
4-
在中,由勾股定理可得:4c2=m2+n2=(m+n)2-2mn = 4af -2(^-a^).
两边同除以己得2-十可得：异芸.
2/-1-2/
⑵一 1尸
令＜=ZG(0.1).则 g(t)= 9t + -^—
2/ — 1
昨)= 9 +
(6—3)2-12
(2—1)2
4(3/— 2)(3/— 1)
(2—1)2-
可知：/=|时，函数奴。取得极小值即最小值.

因此9《+矽的最小值是8.