北京市密云区2022-2023学年数学九上期末学业水平测试试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．在中，，，则（ ）
A．60° B．90° C．120° D．135°
2．如图，在Rt△ABC中，AC=3，AB=5，则cosA的值为( )

A． B． C． D．
3．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x＝1对于下列说法：①abc＜0；②2a+b＝0；③3a+c＞0； ④当﹣1＜x＜3时，y＞0；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1），其中正确有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．解方程，选择最适当的方法是（ ）
A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法
5．如图，四边形ABCD内接于，它的一个外角，分别连接AC，BD，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
6．小明沿着坡度为的山坡向上走了，则他升高了（ ）
A． B． C． D．
7．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，设，，下列式子中正确的是（ ）

A． B．；
C． D．．
8．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围（ ）
A． B． C．且 D．且
9．如图，在△ABC中E、F分别是AB、AC上的点，EF∥BC，且，若△AEF的面积为2，则四边形EBCF的面积为 （　 　）

A．4 B．6 C．16 D．18
10．方程x2﹣3x＝0的根是（ ）
A．x＝0 B．x＝3 C．， D．，
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB于点P，若AB＝4，OP＝1，则弦CD所对的圆周角等于_____度．

12．如图，抛物线y＝﹣2x2+2与x轴交于点A、B，其顶点为E．把这条抛物线在x轴及其上方的部分记为C1，将C1向右平移得到C2，C2与x轴交于点B、D，C2的顶点为F，连结EF．则图中阴影部分图形的面积为______．

13．计算_________．
14．如图，在半径为2的⊙O中，弦AB⊥直径CD，垂足为E，∠ACD＝30°，点P为⊙O上一动点，CF⊥AP于点F．
①弦AB的长度为_____；
②点P在⊙O上运动的过程中，线段OF长度的最小值为_____．

15．若＝，则的值是_________．
16．如图，过反比例函数y=（x＞0）的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，若S△AOB=2，则k的值为___________

17．图甲是小张同学设计的带图案的花边作品，该作品由形如图乙的矩形图案设计拼接面成（不重叠，无缝隙）．图乙中，点E、F、G、H分别为矩形AB、BC、CD、DA的中点，若AB＝4，BC＝6，则图乙中阴影部分的面积为
_____．

18．若m+=3，则m2+=_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，中，，点是延长线上一点，平面上一点，连接平分.

（1）若，求的度数；
（2）若，求证:
20．（6分）如图，抛物线经过点A(1，0)，B(5，0)，C(0，)三点，顶点为D，设点E(x，y)是抛物线上一动点，且在x轴下方．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点E(x，y)运动时，试求三角形OEB的面积S与x之间的函数关系式，并求出面积S的最大值？
（3）在y轴上确定一点M，使点M到D、B两点距离之和d＝MD+MB最小，求点M的坐标．

21．（6分）解方程： -2（x+1）=3
22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点从点运动到点停止，连接，以长为直径作.

（1）若，求的半径；
（2）当与相切时，求的面积；
（3）连接，在整个运动过程中，的面积是否为定值，如果是，请直接写出面积的定值，如果不是，请说明理由.
23．（8分）如图，身高1.6米的小明站在距路灯底部O点10米的点A处，他的身高（线段AB）在路灯下的影子为线段AM，已知路灯灯杆OQ垂直于路面．
（1）在OQ上画出表示路灯灯泡位置的点P；
（2）小明沿AO方向前进到点C，请画出此时表示小明影子的线段CN；
（3）若AM=2.5米，求路灯灯泡P到地面的距离．

24．（8分）为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展，学校开展了多种社团活动．小明喜欢的社团有：合唱社团、足球社团、书法社团、科技社团（分别用字母A，B，C，D依次表示这四个社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．
（1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团B的概率是　 　．
（2）小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母．请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的概率．
25．（10分）如图 ，梯形ABCD中，，点在上，连与的延长线交于点G．
（1）求证：；
（2）当点F是BC的中点时，过F作交于点，若，求的长．

26．（10分）如图1，中，，是的中点，平分交于点，在的延长线上且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）如图2若四边形是菱形，连接，，与交于点，连接在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的所有等边三角形．

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】首先根据特殊角的三角函数值求出∠C，∠A的度数，然后根据三角形的内角和公式求出∠B的大小．
【详解】∵，，∴∠C=30°，∠A=30°，∴∠B=180°﹣30°﹣30°=120°．
故选C．
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值以及三角形的内角和公式．
2、B
【分析】根据余弦的定义计算即可．
【详解】解：在Rt△ABC中，
；
故选：B.
【点睛】
本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦是解题的关键．
3、C
【分析】由抛物线的开口方向判断a与1的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与1的关系，然后根据对称轴判定b与1的关系以及2a+b＝1；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c；然后由图象确定当x取何值时，y＞1．
【详解】解：①∵对称轴在y轴右侧，且抛物线与y轴交点在y轴正半轴，
∴a、b异号，c＞1，
∴abc＜1，故①正确；
②∵对称轴x＝﹣＝1，
∴2a+b＝1；故②正确；
③∵2a+b＝1，
∴b＝﹣2a，
∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜1，
∴a﹣（﹣2a）+c＝3a+c＜1，故③错误；
④如图，当﹣1＜x＜3时，y不只是大于1．
故④错误．
⑤根据图示知，当m＝1时，有最大值；
当m≠1时，有am2+bm+c＜a+b+c，
所以a+b＞m（am+b）（m≠1）．
故⑤正确．
故选：C．
【点睛】
考核知识点:二次函数性质.理解二次函数的基本性质是关键.
4、D
【解析】根据方程含有公因式，即可判定最适当的方法是因式分解法.
【详解】由已知，得方程含有公因式，
∴最适当的方法是因式分解法
故选：D.
【点睛】
此题主要考查一元二次方程解法的选择,熟练掌握,即可解题.
5、A
【分析】先根据圆内接四边形的性质得出∠ADC=∠EBC=65°，再根据AC=AD得出∠ACD=∠ADC=65°，故可根据三角形内角和定理求出∠CAD=50°，再由圆周角定理得出∠DBC=∠CAD=50°.
【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC=∠EBC=65°．
∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC=65°，
∴∠CAD=180°-∠ACD-∠ADC=50°，
∴∠DBC=∠CAD=50°，
故选：A．
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质，以及圆周角定理的推论，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．也考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．
6、A
【分析】根据题意作出图形，然后根据坡度为1：2，设BC=x，AC=2x，根据AB=1000m，利用勾股定理求解．
【详解】解：根据题意作出图形，
∵坡度为1：2，
∴设BC=x，AC=2x，
∴，
∵AB=1000m，
∴，
解得：，
故选A.

【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据坡度构造直角三角形然后求解．
7、C
【分析】由平行四边形性质，得，由三角形法则，得到，代入计算即可得到答案.
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∵，，
在△OAB中，有，
∴，
∴；
故选择：C.
【点睛】
此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键．
8、D
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得出且，求出即可．
【详解】∵关于的一元二次方程有实数根，
∴且，
解得：1且，
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，能得出关于的不等式是解此题的关键．
9、C
【解析】解：∵，
∴，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
∵△AEF的面积为2，
∴S△ABC=18，
则S四边形EBCF=S△ABC-S△AEF=18-2=1．
故选C．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质，难度不大．
10、D
【分析】先将方程左边提公因式x，解方程即可得答案．
【详解x2﹣3x＝0，
x（x﹣3）＝0，
x1＝0，x2＝3，
故选：D．
【点睛】
本题考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有：配方法、直接开平方法、公式法、因式分解法等，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键．

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、60或1．
【分析】先确定弦CD所对的圆周角∠CBD和∠CAD两个，再利用圆的相关性质及菱形的判定证四边形ODBC是菱形，推出,根据圆内接四边形对角互补即可分别求出和的度数．
【详解】如图，连接OC，OD，BC，BD，AC，AD，
∵AB为⊙O的直径，AB＝4，
∴OB＝2，
又∵OP＝1，
∴BP＝1，
∵CD⊥AB，
∴CD垂直平分OB，
∴CO＝CB，DO＝DB，
又OC＝OD，
∴OC＝CB＝DB＝OD，
∴四边形ODBC是菱形，
∴∠COD＝∠CBD，
∵∠COD＝2∠CAD，
∴∠CBD＝2∠CAD，
又∵四边形ADBC是圆内接四边形，
∴∠CAD+∠CBD＝180°，
∴∠CAD＝60°，∠CBD＝1°，
∵弦CD所对的圆周角有∠CAD和∠CBD两个，
故答案为：60或1．

【点睛】
本题考查了圆周角的度数问题，掌握圆的有关性质、菱形的性质以及判定定理是解题的关键．
12、1
【分析】由S阴影部分图形＝S四边形BDFE＝BD×OE，即可求解．
【详解】令y＝0，则：x＝±1，令x＝0，则y＝2，
则：OB＝1，BD＝2，OB＝2，
S阴影部分图形＝S四边形BDFE＝BD×OE＝2×2＝1．
故：答案为1．
【点睛】
本题考查的是抛物线性质的综合运用，确定S阴影部分图形＝S四边形BDFE是本题的关键．
13、
【分析】先分别计算特殊角的三角函数值，负整数指数幂，再合并即可得到答案．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】
本题考查的是特殊角三角函数的计算，负整数指数幂的运算，掌握以上知识点是解题的关键．
14、2． -1
【分析】①在Rt△AOE中，解直角三角形求出AE即可解决问题．
②取AC的中点H，连接OH，OF，HF，求出OH，FH，根据OF≥FH-OH，即，由此即可解决问题．
【详解】解：①如图，连接OA．

∵OA＝OC＝2，
∴∠OCA＝∠OAC＝30°，
∴∠AOE＝∠OAC+∠ACO＝60°，
∴AE＝OA•sin60°＝，
∵OE⊥AB，
∴AE＝EB＝，
∴AB＝2AE＝2，
故答案为2．
②取AC的中点H，连接OH，OF，HF，
∵OA＝OC，AH＝HC，
∴OH⊥AC，
∴∠AHO＝90°，
∵∠COH＝30°，
∴OH＝OC＝1，HC＝，AC＝2，
∵CF⊥AP，
∴∠AFC＝90°，
∴HF＝AC＝，
∴OF≥FH﹣OH，即OF≤﹣1，
∴OF的最小值为﹣1．
故答案为﹣1．
【点睛】
本题考查轨迹，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
15、．
【分析】根据等式的性质，可用a表示b，根据分式的性质可得答案．
【详解】解：由＝得，b=a，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出b=a是解题的关键，又利用了分式的性质．
16、1．
【详解】解：∵AB⊥x轴于点B，且S△AOB=2，
∴S△AOB=|k|=2，
∴k=±1．
∵函数在第一象限有图象，
∴k=1．
故答案为1．
【点睛】
本题考查反比例函数系数k的几何意义．
17、
【分析】根据S阴＝S菱形PHQF﹣2S△HTN，再求出菱形PHQF的面积，△HTN的面积即可解决问题．
【详解】如图，设FM＝HN＝a．

由题意点E、F、G、H分别为矩形AB、BC、CD、DA的中点，
∴四边形DFBH和四边形CFAH为平行四边形，
∴DF∥BH,CH∥AF，
∴四边形HQFP是平行四边形
又HP=CH=DP=PF，
∴平行四边形HQFP是菱形，它的面积＝S矩形ABCD＝×4×6＝6，
∵FM∥BJ，CF＝FB，
∴CM＝MJ，
∴BJ＝2FM＝2a，
∵EJ∥AN，AE＝EB，
∴BJ＝JN＝2a，
∵S△HBC＝•6•4＝12，HJ＝BH，
∴S△HCJ＝×12＝，
∵TN∥CJ，
∴△HTN∽△HCJ，
∴＝（）2＝，
∴S△HTN＝×＝，
∴S阴＝S菱形PHQF﹣2S△HTN＝6﹣＝，
故答案为．
【点睛】
此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知矩形的性质、菱形的判定与性质及相似三角形的性质.
18、7
【解析】分析：把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，即可求出答案．
详解：把m+=3两边平方得：（m+）2=m2++2=9，
则m2+=7，
故答案为：7
点睛：此题考查了分式的混合运算，以及完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．

三、解答题(共66分)
19、（1）；（2）详见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的性质及角平分线的性质证得∠A=∠BCE，再利用角的和差关系及外角性质可证得∠ABC=∠DCE，从而得到结果；
（2）根据∠ABC=∠DBE可证得∠ABD=∠CBE，再结合（1）利用ASA可证明与全等，从而得到结论．
【详解】解：（1），
，
又平分，
，
，
又，，
；
（2）由（1）知，
，
，即，
在与中，，
≌（ASA），
．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，外角性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质定理是解题关键．
20、（1）y＝x2﹣4x+；（2）S＝﹣（x﹣3）2+（1＜x＜1），当x＝3时，S有最大值；（3）(0，﹣)
【分析】（1）设出解析式，由待定系数法可得出结论；
（2）点E在抛物线上，用x去表示y，结合三角形面积公式即可得出三角形OEB的面积S与x之间的函数关系式，再由E点在x轴下方，得出1＜x＜1，将三角形OEB的面积S与x之间的函数关系式配方，即可得出最值；
（3）找出D点关于y轴对称的对称点D′，结合三角形内两边之和大于第三边，即可确定当MD+MB最小时M点的坐标．
【详解】解：（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，则
，解得：．
故抛物线解析式为y＝x2﹣4x+．
（2）过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，如图1所示．

E点坐标为(x，x2﹣4x+)，F点的坐标为(x，0)，
∴EF＝0﹣(x2﹣4x+)＝﹣x2+4x﹣．
∵点E（x，y）是抛物线上一动点，且在x轴下方，
∴1＜x＜1．
三角形OEB的面积S＝OB•EF＝×1×(﹣x2+4x﹣)＝﹣(x﹣3)2+(1＜x＜1＝．
当x＝3时，S有最大值．
（3）作点D关于y轴的对称点D′，连接BD′，如图2所示．

∵抛物线解析式为y＝x2﹣4x+＝(x﹣3)2﹣，
∴D点的坐标为(3，﹣)，
∴D′点的坐标为(﹣3，﹣)．
由对称的特性可知，MD＝MD′，
∴MB+MD＝MB+MD′，
当BM、D′三点共线时，MB+MD′最小．
设直线BD′的解析式为y＝kx+b，则
，解得：，
∴直线BD′的解析式为y＝x﹣．
当x＝0时，y＝﹣，
∴点M的坐标为(0，﹣)．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数和一次函数解析式、轴对称的性质、利用二次函数求最值等知识．解题的关键是：（1）能够熟练运用待定系数法求解析式；（2）利用三角形面积公式找出三角形面积的解析式，再去配方求最值；（3）利用轴对称的性质确定M点的位置．
21、
【分析】先将 -2（x+1）=3化成 -2（x+1）-3=0,再将x+1当作一个整体运用因式分解法求出x+1,最后求出x．
【详解】解：∵ 2（x+1）=3化成 -2（x+1）-3=0
∴（x+1-3）(x+1+1)=0
∴x+1-3=0或x+1+1=0
∴
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法,掌握整体换元法是解答本题的关键．
22、（1）；（2）；（3）是，
【分析】（1）若，则 ,代入数值即可求得CD,从而求得的半径.
（2）当与相切时，则CD⊥AB，利用△ACD∽△ABO，得出比例式求得CD，AD的长，过P点作PE⊥AO于E点，再利用△CPE∽△CAD，得出比例式求得P点的坐标，即可求得△POB的面积.
（3）①若 与AB有一个交点，则与AB相切，由（2）可得PD⊥AB，PD= ,则 ②若 与AB有两个交点，设另一个交点为F，连接CF,则∠CFD=90°，由（2）可得CF=3，过P点作PG⊥AB于G点，则DG= ，PG为△DCF的中位线，PG= , 则,综上所述，△PAB的面积是定值，为 .
【详解】（1）根据题意得：OA=8，OB=6，OC=3
∴AC=5
∵
∴
即
∴CD=
∴ 的半径为

（2）在直角三角形AOB中，OA=8，OB=6，
∴AB= ，
当与相切时，CD⊥AB，
∴∠ADC=∠AOB=90°，∠CAD=∠BAO
∴△ACD∽△ABO
∴ ，即
∴CD=3，AD=4
∵CD为圆P的直径
∴CP=
过P点作PE⊥AO于E点，

则∠PEC=∠ADC=90°，∠PCE=∠ACD
∴△CPE∽△CAD
∴
即
∴CE=
∴OE=
故P点的纵坐标为
∴△POB的面积=

（3）①若 与AB有一个交点，则与AB相切，
由（2）可得PD⊥AB，PD= ,则

②若 与AB有两个交点，设另一个交点为F，连接CF,则∠CFD=90°，
由（2）可得CF=3，
过P点作PG⊥AB于G点，则DG= ，PG为△DCF的中位线，PG= ,
则.

综上所述，△PAB的面积是定值，为 .
【点睛】
本题考查的是圆及相似三角形的综合应用，熟练的掌握直线与圆的位置关系，相似三角形的判定是关键
23、（1）见解析；（2）见解析；（3）8米
【解析】【试题分析】（1）点B在地面上的投影为M．故连接MB，并延长交OP于点P.点P即为所求；
（2）连接PD，并延长交OM于点N.CN即为所求；
（3）根据相似三角形的性质，易得：，即，
解得．从而得求.
【试题解析】
如图：

如图：

，
∽，
，即，
解得．
即路灯灯泡P到地面的距离是8米．  
【方法点睛】本题目是一道关于中心投影的问题，涉及到如何确定点光源，相似三角形的判定，相似三角形的性质，难度中等.
24、（1）；（2）见解析，.
【分析】（1）直接根据概率公式求解；
（2）利用列表法展示所有12种等可能性结果，再找出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】（1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团B的概率＝；
（2）列表如下：

A
B
C
D
A

（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）

（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）

（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）

由表可知共有12种等可能结果，小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的结果数为6种，
所以小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的概率为.
【点睛】
本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率
25、（1）证明见解析；（2）2cm
【分析】（1）根据梯形的性质，利用平行线的性质得到，然后由相似三角形的判定得到结论；
（2）根据点F是BC的中点，可得△CDF≌△BGF，进而根据全等三角形的性质得到CD=BG，然后由中位线的性质求解即可.
【详解】（1）证明：∵梯形，，
∴，
∴．
（2） 由（1），
又是的中点，
∴，
∴
又∵，，
∴，得．
∴，
∴．
【点睛
此题主要考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定及中位线的性质，比较复杂，关键是灵活利用平行线的性质解题.
26、（1）详见解析；（2）△ACF、、、
【分析】（1）在中，，是的中点，可得，再通过，得证，再通过证明，得证，即可证明四边形BCEF是平行四边形；
（2）根据题意，直接写出符合条件的所有等边三角形即可．
【详解】（1）证明：∵在中，，是的中点
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
又∵，
∴四边形BCEF是平行四边形；
（2）∵四边形是菱形
∴，
∵
∴
∴△BCE和△BEF是等边三角形
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴在△CDE和△CGE中

∴
∴
∴是等边三角形
∴
∴
∴
∴
∴
∴△ACF是等边三角形
∴等边三角形有△ACF，，，

【点睛】
本题考查了几何图形的综合问题，掌握直角三角形的斜边中线定理、平行的性质以及判定定理、平行四边形的性质以及判定、菱形的性质是解题的关键．