2013年普通高等学校全国招生统一考试数学(上海秋季卷)理科与答案(12).doc

2013年普通高等学校招生全国各省市统一考试数学试卷与答案
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2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海秋季卷）
数学（理科）解析与答案
一、填空题
1．计算：
【解答】根据极限运算法则，．
2．设，是纯虚数，其中i是虚数单位，则
【解答】．
3．若，则
【解答】．
4．已知△ABC的内角A、B、C所对应边分别为a、b、c，若，则角C的大小是_______________（结果用反三角函数值表示）
【解答】，故．
5．设常数，若的二项展开式中项的系数为，则
【解答】，故．
6．方程的实数解为________
【解答】原方程整理后变为．
7．在极坐标系中，曲线与的公共点到极点的距离为__________
【解答】联立方程组得，又，故所求为．
8．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示）
【解答】9个数5个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为．
9．设AB是椭圆的长轴，点C在上，且，若AB=4，，则的两个焦点之间的距离为________
【解答】不妨设椭圆的标准方程为，于是可算得，得．
10．设非零常数d是等差数列的公差，随机变量等可能地取值，则方差
【解答】，．
11．若，则
【解答】，，故．
12．设为实常数，是定义在R上的奇函数，当时，，若对一切成立，则的取值范围为________
【解答】，故；当时，
即，又，故．
13．在平面上，将两个半圆弧和、两条直线和围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分．记D绕y轴旋转一周而成的几何体为，过作的水平截面，所得截面面积为，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为__________
【解答】根据提示，一个半径为1，高为的圆柱平放，一个高为2，底面面积的长方体，这两个几何体与放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即的体积值为．
14．对区间I上有定义的函数，记，已知定义域为的函数有反函数，且，若方程有解，则
【解答】根据反函数定义，当时，；时，，而的定义域为，故当时，的取值应在集合，故若，只有．

二、选择题
15．设常数，集合，若，则的取值范围为（ ）
(A) (B) (C) (D)
【解答】集合A讨论后利用数轴可知，或，解答选项为B．
16．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）
(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件
【解答】根据等价命题，便宜Þ没好货，等价于，好货Þ不便宜，故选B．
17．在数列中，，若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素，（则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（ ）
(A)18 (B)28 (C)48 (D)63
【解答】，而，故不同数值个数为18个，选A．
18．在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为.若分别为的最小值、最大值，其中,,则满足（ ）.
(A) (B) (C) (D)
【解答】作图知，只有，其余均有，故选D．

三、解答题
19.（本题满分12分）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AD=1,A1A=1，证明直线BC1平行于平面DA1C，并求直线BC1到平面D1AC的距离.
【解答】因为ABCD-A1B1C1D1为长方体，故，
故ABC1D1为平行四边形，故，显然B不在平面D1AC上，于是直线BC1平行于平面DA1C；
直线BC1到平面D1AC的距离即为点B到平面D1AC的距离设为
考虑三棱锥ABCD1的体积，以ABC为底面，可得
而中，，故
所以，，即直线BC1到平面D1AC的距离为．

20．（6分+8分）甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得利润是元.
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.
【解答】(1)根据题意，
又，可解得
(2)设利润为元，则
故时，元．

21．（6分+8分）已知函数，其中常数；
（1）若在上单调递增，求的取值范围；
（2）令，将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图像，区间（且）满足：在上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的中，求的最小值．
【解答】(1)因为，根据题意有

(2) ，
或，
即的零点相离间隔依次为和，
故若在上至少含有30个零点，则的最小值为．

22．（3分+5分+8分）如图，已知曲线，曲线，P是平面上一点，若存在过点P的直线与都有公共点，则称P为“C1—C2型点”．
(1)在正确证明的左焦点是“C1—C2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；
(2)设直线与有公共点，求证，进而证明原点不是“C1—C2型点”；
(3)求证：圆内的点都不是“C1—C2型点”．
【解答】：（1）C1的左焦点为，过F的直线与C1交于，与C2交于，故C1的左焦点为“C1-C2型点”，且直线可以为；
（2）直线与C2有交点，则
，若方程组有解，则必须；
直线与C2有交点，则
，若方程组有解，则必须
故直线至多与曲线C1和C2中的一条有交点，即原点不是“C1-C2型点”。
（3）显然过圆内一点的直线若与曲线C1有交点，则斜率必存在；
根据对称性，不妨设直线斜率存在且与曲线C2交于点，则

直线与圆内部有交点，故
化简得，。。。。。。。。。。。。①
若直线与曲线C1有交点，则

化简得，。。。。。②
由①②得，
但此时，因为，即①式不成立；
当时，①式也不成立
综上，直线若与圆内有交点，则不可能同时与曲线C1和C2有交点，
即圆内的点都不是“C1-C2型点” ．

23．（3 分+6分+9分）给定常数，定义函数，数列满足.
（1）若，求及；（2）求证：对任意，；
（3）是否存在，使得成等差数列？若存在，求出所有这样的，若不存在，说明理由.
【解答】：（1）因为，，故，

（2）要证明原命题，只需证明对任意都成立，

即只需证明
若，显然有成立；
若，则显然成立
综上，恒成立，即对任意的，
（3）由（2）知，若为等差数列，则公差，故n无限增大时，总有
此时，
即
故，
即，
当时，等式成立，且时，，此时为等差数列，满足题意；
若，则，
此时，也满足题意；
综上，满足题意的的取值范围是．

22．（本题满分16分）本题共有3个小题．第1小题满分6分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．
如图，已知双曲线：，曲线：．是平面内一点，若存在过点的直线与、都有公共点，则称为“型点”．
（1）在正确证明的左焦点是“型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；
（2）设直线与有公共点，求证，进而证明原点不是“型点；
（3）求证：圆内的点都不是“型点”．

22．解：（1）C1的左焦点为，过F的直线与C1交于，与C2交于，故C1的左焦点为“C1-C2型点”，且直线可以为；
（2）直线与C2有交点，则
，若方程组有解，则必须；
直线与C2有交点，则
，若方程组有解，则必须
故直线至多与曲线C1和C2中的一条有交点，即原点不是“C1-C2型点”。
（3）显然过圆内一点的直线若与曲线C1有交点，则斜率必存在；
根据对称性，不妨设直线斜率存在且与曲线C2交于点，则

直线与圆内部有交点，故
化简得，。。。。。。。。。。。。①
若直线与曲线C1有交点，则

化简得，。。。。。②
由①②得，
但此时，因为，即①式不成立；
当时，①式也不成立
综上，直线若与圆内有交点，则不可能同时与曲线C1和C2有交点，
即圆内的点都不是“C1-C2型点”。

23．（本题满分18分）本题共有3个小题．第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．

给定常数，定义函数．数列，，，…满足．
（1）若，求及；
（2）求证：对任意，；
（3）是否存在，使得，，，…，…成等差数列？若存在，求出所有这样的；若不存在，说明理由．
23．解：（1）因为，，故，

（2）要证明原命题，只需证明对任意都成立，

即只需证明
若，显然有成立；
若，则显然成立
综上，恒成立，即对任意的，
（3）由（2）知，若为等差数列，则公差，故n无限增大时，总有
此时，
即
故，
即，
当时，等式成立，且时，，此时为等差数列，满足题意；
若，则，
此时，也满足题意；
综上，满足题意的的取值范围是。

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